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1、精选优质文档-倾情为你奉上复变函数论教学大纲一、课程基本信息中文名称：复变函数论英文名称：Theory of Functions of Complex Variable课程编号：B课程类别：专业主干课总学时数：48学 分：3适用专业：数学与应用数学开课系部：数学与信息技术学院先修课程：数学分析,高等代数，解析几何二、课程性质与教学目的复变函数是数学、物理及电子类各专业必修的一门基础课，其理论随着它的应用领域不断扩大而发展成为一门庞大的数学分支。一方面讲述复变函数的基本理论与方法，另一方面渗透复分析领域内的相关内容。教学目的使学生掌握复变函数的基本内容和方法，为进一步学习复分析，从事工程和电子应
2、用、科研及其它工作打好坚实基础。三、 课程教学基本要求 第一讲 复数及其运算 (2学时)1、复数的基本概念和表示方法内容：复数相关的基本概念，复数的6种表示方法要求：理解复数的相关基本概念，会用复数的6种表示方法互相变换，会准确计算刘种表示方法中复数的实部、虚部、模、辐角等。2、复数的运算内容：代数形式的四则运算，三角形式的乘除运算和幂运算，开方运算。要求：掌握复数的代数运算，理解复数的三角形式乘除运算，掌握三角形式的幂运算和开方运算。3、复数的几何意义内容：复数的坐标表示和向量表示的运算，复数几何意义，复数乘除幂和开方的几何意义。要求：理解复数的几何表示和几何意义，掌握复数乘法除法的几何意义
3、，会应用复数乘除的几何意义证明一些几何问题，了解复数幂和开方的几何意义。第二讲 复变函数的极限与连续 (2学时)1、复数列的极限内容：复数列极限的定义，复数列极限的充要条件，复数列极限的计算要求：理解复数极限的定义，掌握复数列极限的充要条件，会计算复数列的极限。2、复变函数的定义和极限内容：复变函数的定义，复变函数的定义域和值域，复变函数的分类，复变函数的极限，复变函数极限与实二元函数二重极限关系，计算复变函数的极限。要求：理解复变函数的定义，理解复变函数定义域和值域的关系，了解复变函数的分类，理解复变函数极限的定义和充要条件，掌握复变函数极限与实二元函数二重极限关系，会计算复变函数的极限3、
4、复变函数的连续性内容：连续性的定义，复变函数连续的性质，复变函数连续的充要条件，初等函数连续性。要求：理解连续性的定义，掌握复变函数连续的性质，理解复变函数连续的充要条件。掌握初等函数连续性。第三讲 复变函数的导数与微分 (2学时)1、复函数导数的定义内容：复函数导数的定义，复函数实部和虚部可导定义，导数的四则运算，导数的复合函数运算，导数的反函数运算，初等函数可导性要求：理解复函数导数的定义，掌握复函数实部和虚部的导数定义，掌握导数的四则运算，掌握导数的复合函数运算，理解导数的反函数运算，理解初等函数的可导性2、复函数的微分内容：复变函数微分的定义，复变函数的可导、微分和连续的关系，复变函数
5、导数和实二元函数导数的关系。要求：理解复变函数微分的定义，理解复变函数的可导、微分和连续的关系，理解复变函数导数和实二元函数导数的关系。3、复函数可微分的条件内容：柯西黎曼方程，可微分的必要条件可微分的充要条件，可微分的必要条件要求：掌握柯西黎曼方程，理解可微分的必要条件，理解可微分的充要条件，理解可微分的必要条件。第四讲 解析函数 (2学时)1、解析函数内容：函数在一点的定义、函数在区域内解析的定义，函数在闭区域上解析的定义，解析和可导的关系，奇点的定义，解析函数的条件概括，判断函数的解析性。要求：深刻理解解析函数定义，会用解析函数的条件判断函数的解析性。2、初等解析函数内容：指数函数定义，
6、指数函数的性质、三角函数与双曲函数性质，三角函数和双曲函数的性质。要求：熟悉指数函数、三角函数与双曲函数的基本性质以及和实函数的区别，理解三类基本初等函数的映照性质。3、初等多值函数内容：根式函数、对数函数、幂函数与反三角函数。要求：了解初等多值函数。能将初等多值函数分解为若干个单值函数。掌握对数函数的计算和反三角函数的计算。第五讲 复变函数的积分 (2学时)1、复变函数积分的概念内容：有向曲线的参数方程，复变函数积分的定义、复变函数在曲线上的积分和实二元函数的第二型曲线积分的关系。要求：理解并掌握复变函数积分的概念，掌握复变函数和实二元函数在曲线上积分的关系。2、复变函数积分的计算内容：利用
7、定义计算复变函数的积分，利用第二型曲线积分计算复变函数的积分，利用曲线的复参数方程计算复变函数的积分。要求：熟练掌握复变函数的积分计算并能灵活应用各种方法。3、复变函数积分的性质内容：复变函数积分的基本性质，复变函数积分的估值要求：灵活运用复函数积分的基本性质，理解复变函数的估值性质。第六、七讲 柯西积分定理与柯西积分公式 (4学时)1、柯西积分定理内容：柯西积分定理、任意闭曲线上的柯西积分定理，解析函数的积分与路径无关性质，不定积分和原函数、牛顿-莱布尼茨公式，柯西积分定理的推广。要求：熟练掌握柯西积分定理，并能灵活应用，掌握柯西积分定理的推广形式，掌握不定积分和原函数的性质。3、柯西积分公
8、式及其推论内容：柯西积分公式、柯西积分的定义，平均值定理，解析函数的无穷可微性、柯西不等式与刘维尔定理、代数学基本定理，摩勒拉定理。要求：灵活运用柯西积分公式，深刻理解解析函数的无穷可微性，掌握柯西不等式与刘维尔定理，掌握代数学基本定理，掌握摩勒拉定理。第八讲 解析函数与调和函数关系 (2学时)1、调和函数的概念及其性质内容：调和函数的定义、调和函数的性质、调和函数的应用。要求：理解并掌握调和函数的定义和性质，了解调和函数的应用。2、调和函数与解析函数的关系内容：解析函数实部虚部的调和性质，调和函数作为实部虚部构成的解析函数条件。要求：熟练掌握柯调和函数与解析函数的关系。3、拉普拉斯方程的解答
9、内容：拉普拉斯方程的定义，拉普拉斯方程的应用，拉普拉斯方程的复变函数解答。要求：理解并掌握拉普拉斯方程定义，了解拉普拉斯方程的应用，会求拉普拉斯方程的复变函数解法。4、复数边界积分方程内容：特殊边界围成区域的拉普拉斯方程边界积分方程介绍。要求：了解复数边界积分方程的一般理论。第九讲 复势理论及其应用 (2学时)1、复变函数表示复势内容：复势的定义、向量和复数、解析函数实部和虚部与向量函数，平面向量场。要求：理解并掌握复势的定义，会用解析函数实部和虚部表示向量函数，熟悉平面向量场的解析函数表示法。2、流体中的复势应用内容：不可压缩流体中的流速函数的解析函数表示，无源场解析函数表示，无旋场解析函数
10、表示，既无源又无旋场解析函数表示，有源点场的解析函数表示，有涡点场的解析函数表示要求：熟练掌握流体中各种场的解析函数表示。3、静电场中的复势应用内容：电场强度的向量表示，电场线和等势线，静电场的复势表示。要求：理解并掌握电场中的复势理论，会用解析函数表示静电场中的电场线和等势线。第十讲 复数项级数和复函数项级数 (2学时)1、复数项级数收敛的定义内容：复数项级数定义、复数项级数的收敛定义，复数项级数绝对收敛和条件收敛，复数项级数收敛的性质，复数项级数的求和，复数项级数和实数项级数的关系。一致收敛的复函数项级数、解析函数项级数。要求：理解复数项级数定义和复数项级数的收敛定义，掌握复数项级数绝对收
11、敛和条件收敛，掌握复数项级数收敛的性质，会计算复数项级数的求和，理解复数项级数和实数项级数的关系。2、复函数项级数收敛和一致收敛的定义内容：复函数项级数定义，和函数定义，复函数项级数收敛和一致收敛的定义，复函数项级数一致收敛的柯西收敛准准和优级数判别法，内闭一致收敛定义要求：理解复函数项级数定义，和函数定义，理解复函数项级数收敛和一致收敛的定义，掌握复函数项级数一致收敛的柯西收敛准准和优级数判别法，理解内闭一致收敛定义。3、解析函数项级数的导数性质内容：解析函数可导性质要求：掌握解析函数可导性质。第十一讲 解析函数的幂级数展开 (2学时)1、幂级数内容：幂级数的定义，幂级数的敛散性、收敛半径R
12、的求法、幂级数和的解析性判断。要求：掌握幂级数的收敛半径求法及其性质，判断幂级数和函数的解析性。2、解析函数的泰勒（Taylor）展式内容：泰勒定理、幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况、一些初等函数的泰勒展式要求:掌握解析函数的泰勒展式，会求初等函数的泰勒展式。第十二讲 解析函数的唯一性定理和零点孤立性（含最大模原理） (2学时)1、解析函数零点的孤立性内容：解析函数零点的孤立性、解析函数零点的阶数判断，解析函数恒为零的判断条件要求：明确解析函数零点的孤立性，会判断解析函数零点的阶数，会证明解析函数恒为零的命题。2、 解析函数的唯一性定理内容：解析函数唯一性定理，解析函数唯一性定理的推论及其应
13、用，解析函数局部和整体关系的分析。要求：掌握解析函数唯一性定理，会应用解析函数唯一性定理及其推论，了解解析函数局部和整体关系的分析3、 最大模原理内容：最大模原理，解析函数恒为常数的定理，反证法的应用最大模原理证明复变函数命题，最大模原理与实函数最大值的关系。内容：理解最大模原理，会用最大模原理证明解析函数恒为常数，会用反证法和最大模原理证明复变函数命题，了解最大模原理与实函数最大值的关系。第十三讲解析函数在圆环上的洛朗级数展开 (2学时)1、解析函数的洛朗展式内容：双边幂级数、解析函数的洛朗展式、洛朗级数与泰勒级数的关系、解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式。要求：会求解析函数的洛朗展式，理解
14、洛朗展式和泰勒展式的关系。第十四讲孤立奇点分类 (2学时)1、解析函数的孤立奇点内容：孤立奇点的三种类型、可去奇点、施瓦茨（Schwarz）引理、极点、本性奇点、皮卡（Picard）定理。要求：切实掌握孤立奇点的三种类型及其判断方法和性质，了解皮卡（Picard）定理。第十五讲无穷远点孤立奇点的性质与整函数 (2学时)1、解析函数在无穷远点的性质内容：解析函数在无穷远点的性质。要求：了解解析函数在无穷远点的性质，会判断无穷远点孤立奇点类型。2、整函数与亚纯函数的概念内容：整函数、亚纯函数要求：了解整函数与亚纯函数的概念及其性质第十六讲孤立奇点留数的定义与计算 (2学时)1、留数内容：留数的定义
15、及留数定理、留数的求法、函数在无穷远点的留数要求：掌握留数定理及其留数求法，理解无穷远点留数和有限点留数的关系，理解留数和复变函数积分的关系。第十七、十八讲 用留数计算定积分和辐角原理 (4学时)1、用留数定理计算实积分内容：计算型积分、计算型积分、计算 型积分、积分路径上有奇点的积分、应用多值函数的积分。要求：会用用留数定理计算实积分，了解积分路径上有奇点的积分和应用多值函数的积分。2、辐角原理及其应用内容：对数留数、辐角原理、儒歇定理。要求：理解辐角原理，掌握儒歇定理。第十九讲 共性映射定义、存在性和边界对应性质(2学时)1、解析变换的特性内容：解析变换的保域性、解析变换的保角性-导数的几
16、何意义、单叶解析变换的共形性。要求：掌握解析变换的特性，深刻理解导数的几何意义，明确共形映射的概念。2、关于共形映射的黎曼存在定理和边界对应定理内容：黎曼存在定理、边界对应定理。要求：了解黎曼存在定理和边界对应定理。第二十讲 分式线性变换的性质和特点(2学时)1、分式线性变换内容：分式线性变换及其分解、分式线性变换的共形性、分式线性变换的保交比性。要求：掌握分式线性变换及其性质。第二十一讲 初等函数共性映射的综合应用 (2学时)1、某些初等函数所构成的共形映射内容：幂函数与根式函数、指数函数与对数函数、由圆弧构成的两角形区域的共形映射、儒可夫斯基函数的单叶性区域要求：深刻理解某些初等函数所构成
17、的共形映射。第二十二讲 解析延拓 (2学时)1、解析延拓的概念与幂级数延拓内容：解析延拓的概念、解析延拓的幂级数方法要求：了解解析开拓的概念和一般原理。2、透弧解析延拓、对称原理内容：透弧直接解析延拓、黎曼-施瓦茨对称原理。要求：了解透弧解析延拓，了解对称原理。3、完全解析函数及黎曼面的概念内容：完全解析函数、单值性定理、黎曼面的概念。要求：了解完全解析函数及黎曼面的概念。第二十三讲 调和函数应用问题(2学时)1、平均值定理与极值原理内容：平均值定理、极值原理。要求：了解平均值定理与极值原理。2、泊松积分公式与狄利克雷问题内容：泊松积分公式、狄利克雷问题、单位圆内狄利克雷问题的解、上半平面内狄
18、利克雷问题的解。要求：了解泊松积分公式与狄利克雷问题。3、调和函数的应用实例分析。第二十四讲 复变函数数值积分和实验操作 (2学时)1、复变函数数值积分分析和实验操作内容：复变函数曲线上积分转化为定积分，定积分的数值积分，Matlab实战操作复变函数的数值积分。要求：掌握Matlab操作数值计算复变函数积分的方法。2、留数定理方法数值计算复积分内容：留数的数值计算和Matlab实验操作，用留数定理计算复积分的Matlab实验操作。要求：掌握Matlab的留数定理方法计算复积分。3、级数展开方法数值计算复积分 内容：幂级数展开方法逐项积分，数值计算复积分。 要求：掌握幂级数展开法计算复积分的方法
19、。四、有关教学环节的要求 以课堂教学与多媒体教学为主，自学为辅。考核方式：考试；采用闭卷考试形式进行。五、学时分配 学时详细分配表章节主要内容各教学环节学时分配作业题量备注讲授习题讨论课外小计 1复数及其运算200027道2复变函数的极限与连续200027道3复变函数的导数与微分200026道4解析函数200026道5复变函数的积分200027道6柯西积分定理与柯西积分公式4000410道7解析函数与调和函数关系200027道8复势理论及其应用200023道9复数项级数和复函数项级数200027道10解析函数的幂级数展开200027道11解析函数的唯一性定理和零点孤立性（含最大模原理）2000
20、23道12解析函数在圆环上的洛朗级数展开200026道13孤立奇点分类 200026道14无穷远点孤立奇点的性质与整函数200027道15孤立奇点留数的定义与计算200028道16用留数计算定积分和辐角原理4000414道17共性映射定义、存在性和边界对应性质200023道18分式线性变换的性质和特点200027道19初等函数共性映射的综合应用200024道20解析延拓200024道21调和函数应用问题200024道22复变函数数值积分和实验操作200026道合计4800048139道六、 主要教学参考书 复变函数论，钟玉泉编，北京：高等教育出版社，1997。复变函数，余家荣编，北京：高等教育
21、出版社,2014。复变函数和积分变换，华中科技大学数学系主编，北京:高等教育出版社，2008。复变函数和积分变换， 苏变萍等主编，北京:高等教育出版社，2003。复变函数，方企勤主编，北京：北京大学出版社，2017。复变函数论，路见可编，武汉：武汉大学出版社。万物皆复数，蔡贞东著，九州：九州出版社，2011。复变函数第四版，陆庆乐著，北京：高等教育出版社，1996。复变函数，王绵森著，北京：高等教育出版社，2008。复分析导论，著，译，北京：高等教育出版社，2011。单复变函数论（英文版），（） 著，北京：高等教育出版社，2017。复变函数论方法拉夫连季耶夫,沙巴特；施祥林,夏定，北京：高等教
22、育出版社，2006。复变函数，严镇军著，合肥：中国科学技术大学出版社，2001。复变函数，路见可，钟寿国，刘士强著，武汉：武汉大学出版社，2007。复变函数，冯志新，沈永祥编，北京：北京大学出版社，2012。复变函数，卢玉峰，刘西民编，北京：高等教育出版社，2016。复变函数，杨贺菊，姚卫编，北京：清华大学出版社，2015。复变函数及应用（英文版），布朗（JamesWardBrown）著，北京：机械工业出版社，2008.七、大纲编写依据与说明根据2018年7月修订的数学与应用数学专业培养方案与信息与计算科学专业培养方案的要求，以及我院地方性、教学型、应用型的特色，并参考了其它国内同类高校相同专业的课程设置，制定了该课程的教学大纲。执笔教师:刘俊俏 教研室主任： 教学系（部）主任：专心-专注-专业