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1、精选优质文档-倾情为你奉上二次函数知识点梳理及经典练习【知识点梳理】一、基本概念：1二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项二、二次函数基本形式1. 二次函数基本形式：的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值2.的
2、性质：（上加下减）的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值3. 的性质：（左加右减）的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值4.的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶
3、点坐标； 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：方法2：沿轴平移:向上（下）平移个单位， 变成（或）沿轴平移：向左（右）平移个单位， 变成 （或）2. 平移规律： “值正右移，负左移；值正上移，负下移”即“左加右减，上加下减”四、二次函数与的比较从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中五、二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点、（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
4、画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.六、二次函数的性质1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值七、二次函数解析式的表示方法1.二次函数解析式表示方法：（1）一般式：（，为常数，）；（2）顶点式：（，为常数，）；（3）两根式：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才
5、可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.2.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般有如下几种情况：（1） 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；（2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；（3）已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；（4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数: 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； 当时，抛物线开口向下，的值越小，开
6、口越小，反之的值越大，开口越大总结：决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口大小2. 一次项系数: 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴 在的前提下，当时，即抛物线的对称轴在轴左侧；当时，即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的右侧 在的前提下，结论刚好与上述相反，即当时，即抛物线的对称轴在轴右侧；当时，即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的左侧总结：在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置符号判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，即“左同右异”.3. 常数项 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； 当时，抛物线与
7、轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负 总结：决定了抛物线与轴交点的位置 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于轴对称： 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是；2. 关于轴对称： 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是；3. 关于原点对称： 关于原点对称后，得到的解析式是； 关于原点对称后，得到的解析式是；4. 关于顶点对称：（即：抛物线绕顶点旋转180） 关于顶点对称后，得到的解
8、析式是；关于顶点对称后，得到的解析式是5. 关于点对称： 关于点对称后，得到的解析式是 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，习惯上先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式十、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.图像与轴的交点个数：（1） 当时，图像与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根这两点间的距离. （2）当时，图像与轴只有一个交点；
9、 （3）当时，图像与轴没有交点.当时，图像落在轴的上方，无论为任何实数，都有；当时，图像落在轴的下方，无论为任何实数，都有 2. 抛物线的图像与轴一定相交，交点坐标为，； 3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图像与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图像的位置判断二次函数中，的符号，或由二次函数中，的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图像关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身
10、就是所含字母的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：抛物线与轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根抛物线与轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根抛物线与轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.【基础题型概览】一、二次函数的基本概念1、y=mxm2+3m+2是二次函数，则m的值为（ ）A、0，-3B、0，3C、0D、-32、关于二次函数y=ax2+b，命题正确的是（ ）A、若a0,则y随x增大而增大B、x0时y随x增大而增大。C、若x0时，y随x增大而增大 D、若a0则y有最大值。3、若函
11、数y=(m2+2m7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为 。二、简单作图1、抛物线，五点法作图。 2、y=ax2+bx+c，a0，c0 ，0,b2时,y随x的增大而增大；当x2时，y随x的增大而减少；则x1时,y的值为 。2.已知二次函数y=x2(m+1)x+1，当x1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 _ .3.已知二次函数y=x2+3x+的图象上有三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)且3x1x2x3，则y1,y2,y3的大小关系为_.八、函数之间的交点1.抛物线y=x2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为 。2.直线y=7x+1与抛物线y=x2
12、+3x+5的图象有 个交点。九、关于二次函数的对称1.抛物线y=2x24x关于y轴对称的抛物线的关系式为 。2.抛物线y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线为y=2x24x+3，则a= b= c= _ 十、二次函数与x轴、y轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）1、如果二次函数yx24xc图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c （写一个即可）2、二次函数yx2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为 _3、抛物线y3x22x1的图象与x轴交点的个数是( ) A.没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点4、如图所示，二次函数yx24x3的图象交x轴于A、B两点，交y 轴于点C，
13、则ABC的面积为( ) A.6 B.4 C.3 D.15、已知抛物线y5x2(m1)xm与x轴的两个交点在y轴同侧，它们的距离平方等于为，则m的值为( ) A.2 B.12 C.24 D.486、若二次函数y(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方，则m 的取值范围是_. 7、已知抛物线yx2-2x-8.（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，且它的顶点为P，求ABP的面积。十一、二次函数的应用1、如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m。建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）
14、 A B C D 2、有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10m（1）建立如图1256所示直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）现有一辆载有救援物质的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km（桥长忽略不计）货车正以 40kmh的速度开往乙地，当行驶1小时，忽然接到通知；前方连降暴雨，造成水位以每小时025m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位到达最高点O时，禁止车辆通行）试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由，若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？ 3、已知如图 12
15、53，ABC的面积为2400 cm2，底边BC长为80cm，若点D在BC边上，E在AC边上，F在AB边上，且四边形BDEF为平行四边形，设BD=xcm，SBDEF=y cm2求：（1）y与x的函数关系式； （2）自变量 x的取值范围； （3）当x取何值时，y有最大值？最大值是多少？4、将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个，已知这个商品每个涨价1元，其销售量就减少10个。（1）问：为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时进货多少个？（2）当定价为多少元时，可获得最大利润？【中考题型例析】1. 二次函数解析式的确定例1.求满足下列条件的二次函数的解析式 (1)图象经过A(
16、-1,3)、B(1,3)、C(2,6); (2)图象经过A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8; (3)图象顶点坐标是(-1,9),与x轴两交点间的距离是6.2. 二次函数的图象例2.y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,则点M(a,bc)在( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限例3.已知一次函数y=ax+c二次函数y=ax2+bx+c(a0),它们在同一坐标系中的大致图象是( ). 3.二次函数的性质例4.对于反比例函数y=-与二次函数y=-x2+3,请说出他们的两个相同点:_,_;再说出它们的两个不同点:_,_.4.二次函数的应用例5.已知抛物线y=
17、x2+(2k+1)x-k2+k, (1)求证:此抛物线与x轴总有两个不同的交点. (2)设x1、x2是此抛物线与x轴两个交点的横坐标,且满足x12+x22=-2k2+2k+1. 求抛物线的解析式. 设点P(m1,n1)、Q(m2,n2)是抛物线上两个不同的点,且关于此抛物线的对称轴对称.求m+m的值.【过关斩将】一、选择题: 1.抛物线y=(x-2)2+3的对称轴是( ). A.直线x=-3 B.直线x=3 C.直线x=-2 D.直线x=2 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则点M(b,)在( ). A.第一象限; B.第二象限; C.第三象限; D.第四象限 3.已知二次函数y=a
18、x2+bx+c,且a0,则一定有( ). A.b2-4ac0 B.b2-4ac=0 C.b2-4ac4,那么AB的长是( ).A.4+m B.m C.2m-8 D.8-2m二、填空题 1.若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式,则 y=_. 2.请你写出函数y=(x+1)2与y=x2+1具有的一个共同性质_. 3.已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该抛物线的解析式为_. 4.已知二次函数的图象开口向下,且与y轴的正半轴相交,请你写出一个满足条件的二次函数的解析式:_. 5.已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为
19、-1,则a+c=_. 6.有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点: 甲:对称轴是直线x=4; 乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数; 丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式:_.三、解答题1.已知函数y=x2+bx-1的图象经过点(3,2). (1)求这个函数的解析式; (2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标;(3)当x0时,求使y2的x取值范围.2.已知抛物线y=- x2+(6- )x+m-3与x轴有A、B两个交点,且A、B两点关于y轴对称. (1)求m的值; (2)写出抛物线解析式及顶点坐标;(3)
20、根据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来.3.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于B、C两点,与y轴交于A点. (1)根据图象确定a、b、c的符号,并说明理由;(2)如果点A的坐标为(0,-3),ABC=45,ACB=60,求这个二次函数的解析式.四、综合应用1.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程.下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系). 根据图象(图)提供的信息,解答下列问题: (1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s(万
21、元)与时间t(月)之间的函数关系式;(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元;(3)求第8个月公司所获利润是多少万元?2.如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB的宽为20m,如果水位上升3m时,水面CD的宽是10m. (1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式;(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km的速度开往乙地,当行驶1小时时,忽然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处,当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行),试问:如果货车按原来速度行驶,能否完全通过此桥?若能,请说明理由;若不能,要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米?专心-专注-专业