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1、精选优质文档-倾情为你奉上20已知抛物线x2=2py(p0)的焦点为F,直线x=4与x轴的交点为P,与抛物线的交点为Q,且(1)求抛物线的方程;(2)如图所示,过F的直线l与抛物线相交于A,D两点,与圆x2+(y1)2=1相交于B,C两点(A,B两点相邻),过A,D两点分别作我校的切线,两条切线相交于点M,求ABM与CDM的面积之积的最小值专心-专注-专业解:(1)由题意可知P(4,0),Q(4,),丨QF丨=+,由,则+=,解得:p=2,抛物线x2=4y;(2)设l:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立,整理得:x24kx4=0,则x1x2=4,由y=x2,求导y=,直线M
2、A:y=(xx1),即y=x,同理求得MD:y=x,解得:,则M(2k,1),M到l的距离d=2,ABM与CDM的面积之积SABMSCDM=丨AB丨丨CD丨d2,=(丨AF丨1)(丨DF丨1)d2,=y1y2d2=d2,=1+k21,当且仅当k=0时取等号,当k=0时,ABM与CDM的面积之积的最小值121已知函数f(x)=lnxx(1)证明:对任意的x1,x2(0,+),都有|f(x1)|;(2)设mn0,比较与的大小,并说明理由(1) 证明:因为f(x)=,故f(x)在(0,1)上是增加的,在(1,+)上是减少的,f(x)max=f(1)=ln11=1,|f(x)|min=1,设G(x)=
3、,则G(x)=,故G(x)在(0,e)上是增加的,在(e,+)上是减少的,故G(x)max=G(e)=1,G(x)max|f(x)|min,所以|f(x1)|对任意的x1,x2(0,+)恒成立;(2) 解: =,且=,mn0,10,故只需比较ln与的大小,令t=(t1),设G(t)=lnt=lnt,则G(t)=,因为t1,所以G(t)0,所以函数G(t)在(1,+)上是增加的,故G(t)G(1)=0,所以G(t)0对任意t1恒成立,即ln,从而有19(13分)设椭圆=1(ab0)的左、右焦点分别是F1和F2,离心率e=,点F2到右准线l的距离为()求a、b的值;()设M、N是右准线l上两动点,
4、满足=0当|MN|取最小值时,求证:M,N两点关于x轴对称解:(1)因为,F2到l的距离,所以由题设得,解得,由()证明:由,a=2得则l的方程为故可设=(2+,y1),=(2,y2),由=0知,3+y1y2=0,得y1y2=6,所以y1y20,|=|y1y2|=|y1+|=|y1|+,当且仅当时,上式取等号,此时y1=y2即M,N两点关于x轴对称20(14分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图象经过原点,且在x=1处取得极大值()求实数a的取值范围;()若方程f(x)=恰好有两个不同的根,求f(x)的解析式;()对于(2)中的函数f(x),若对于任意实数和恒有不等式|f(2sin)
5、f(2sin)|m成立,求m的最小值解:()f(0)=0c=0,f(x)=3x2+2ax+b,f(1)=0b=2a3,2分f(x)=3x2+2ax(2a+3)=(x1)(3x+2a+3),由f(x)=0x=1或因为当x=1时取得极大值,所以,所以a的取值范围是:(,3);4分()由下表:xx1x=1f(x)+00f(x)递增极大值a2递减极小值递增7分画出f(x)的简图:依题意得:,解得:a=9,所以函数f(x)的解析式是:f(x)=x39x2+15x;9分()对任意的实数,都有22sin2,22sin2,依题意有:函数f(x)在区间上的最大值与最小值的差不大于m,10分在区间上有:f(2)=
6、83630=74f(1)=7,f(2)=836+30=2f(x)的最大值是f(1)=7,f(x)的最小值是f(2)=83630=74,13分所以m81即m的最小值是8114分20已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F与椭圆C: =1的一个焦点重合,点A(x0,2)在抛物线上,过焦点F的直线l交抛物线于M、N两点(1)求抛物线C的方程以及|AF|的值;(2)记抛物线C的准线与x轴交于点B,若,|BM|2+|BN|2=40,求实数的值解:(1)依题意,椭圆中,a2=6,b2=5,故c2=a2b2=1,故,则2p=4,可得抛物线C的方程为y2=4x将A(x0,2)代入y2=4x,解得x0=1,故
7、(2)依题意,F(1,0),设l:x=my+1,设M(x1,y1)、N(x2,y2),联立方程,消去x,得y24my4=0所以,且,又,则(1x1,y1)=(x21,y2),即y1=y2,代入得,消去y2得,易得B(1,0),则,则=(m2+1)(16m2+8)+4m4m+8=16m4+40m2+16,当16m4+40m2+16=40,解得,故 21已知函数f(x)=axex(a1)(x+1)2(aR,e为自然对数的底数,e=2.)(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)仅有一个极值点,求a的取值范围 解:(1)由题知,f(x)=xex+2(x+1)2,f(x)=exxex+4
8、(x+1)=(x+1)(4ex),由f(x)=0得到x=1或x=ln4,而当xln4时,(4ex)0,xln4时,(4ex)0,列表得:x(,1)1(1,ln4)ln4(ln4,+)f(x)0+0f(x)极大值极小值所以,此时f(x)的减区间为(,1),(ln4,+),增区间为(1,ln4);(2)f(x)=aex+axex2(a1)(x+1)=(x+1)(aex2a+2),由f(x)=0得到x=1或aex2a+2=0(*)由于f(x)仅有一个极值点,关于x的方程(*)必无解,当a=0时,(*)无解,符合题意,当a0时,由(*)得ex=,故由0得0a1,由于这两种情况都有,当x1时,f(x)0,于是f(x)为减函数,当x1时,f(x)0,于是f(x)为增函数,仅x=1为f(x)的极值点,综上可得a的取值范围是0,1