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1、精选优质文档-倾情为你奉上误差理论与数据处理复习要点第一章 绪论一、误差的基本概念1、误差的定义及表示方法（1）（绝对）误差=测得值-真值，结果可正可负。（2）修正值：为消除系统误差而用代数法加到测量结果上的值。修正值真值-测得值，与误差值大小相等、符号相反。（3）相对误差=绝对误差/真值绝对误差/测得值，结果可正可负。（4）引用误差=示值误差/测量范围上限=（示值-实际值）/量程2、误差来源测量装置误差（标准量具、仪器、附件）；环境误差（温度、湿度、气压）；方法误差；人员误差。3、误差分类1）系统误差（多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变；或在条件改变时，按一定规律变化的误差）；2）随机
2、误差（多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差）；3）粗大误差（超出在规定条件下预期的误差）。二、精度1、精度：反映测量结果与真值接近程度的量，误差小精度高。2、精度的分类：1）精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可用测量的不确定度来表示；2）精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度；3）准确度（正确度）：反映测量结果中系统误差的影响程度。精密度和准确度无关；精确度高，则精密度与准确度都高。三、有效数字与数据运算1、有效数字：含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非零数字，称为第一位有效数字。从第
3、一位有效数字起至最末一位数字止的所有数字，都是有效数字。2、数字舍入原则：（1）舍去部分数值保留部分末位的半个单位，末位数加1；（2）舍去部分数值保留部分末位的半个单位，末位数不变；（3）舍去部分数值保留部分末位的半个单位，末位数凑成偶数。3、数据运算规则：（1）加减运算时，以小数位数最少的数据位数为准，其余各数据可多取一位小数，结果应与小数位数最少的数据小数位相同；（2）乘除运算时，以有效位数最少的数据位数为准，其余各数据多取一位数字，结果应与有效位数最少的数据小数位相同；（3）平方或开方运算，按乘除运算处理；（4）对数运算，n为有效数字的数据应用n为对数表，或用（n+1）为对数表，以免损失
4、精度；（5）三角函数运算，所取函数值的位数随角度误差的减小而增多，对应关系如下。角度误差（”）1010.10.01函数值位数5678第二章 误差的基本性质与处理一、随机误差1、随机误差产生的原因：测量装置方面、环境方面、人员方面。2、若测量列中不包含系统误差和粗大误差，则随机误差具有以下特征：（1）对称性：绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等；（2）单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现次数多；（3）有界性：在一定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定界限；（4）抵偿性：随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零。3、算术平均值（1）x=lin（近似认为是被测量的真值L0）。
5、残余误差：vi=li-x（2）算术平均值的校核：vi=li-nx，当求得的x为未经凑数的准确数时，有vi=0。残余误差代数和的绝对值应符合：1）当n为偶数时，vin2A；2）当n为奇数时，vi(n2-0.5)A。4、等精度测量的标准差：（1）单次等精度测量的标准差：=i2n，i=li-L0（测得值与真值之差）；贝塞尔公式：=vi2n-1 评定单次测量不可靠性的参数：标准差（=vi2n-1）、或然误差（23vi2n-1）、平均误差（45vi2n-1）（2）测量列算术平均值的标准差x=n，测量次数越大，测量精度越高，n10较为适宜。评定算术平均值的精度标准：标准差（x=n）、或然误差（P=23vi
6、2n(n-1)）、平均误差（T45vi2n(n-1)）（3）标准差的其他计算方法1）别捷尔斯法：x=1.253vinn-1；2）极差法：=ndnn234567891011121314151617181920dn1.131.692.062.332.532.702.852.973.083.173.263.343.413.473.533.593.643.693.743）最大误差法：=imaxKn，真值已知vimaxKn，真值未知5、等精度测量的极限误差（1）单次测量的极限误差正态分布时，limx=3，t=3，P=99.73%；一般地，limx=t，t是置信系数。t=2.58，P=99% ；t=2，P
7、=95.44%；t=1.96，P=95%。（2）算术平均值的极限误差正态分布时，limx=3x；测量列的测量次数较少时，按“学生氏”分布或t分布计算limx=tx，t是置信系数。自由度v=n-1，是显著水平，常取=0.01,0.02,0.05。解题步骤：1）求算术平均值x；2）求残余误差：vi=li-x；3）求标准差、x；4）计算极限误差limx6、不等精度测量（1）权：说明测量结果的可靠程度。（2）权的确定：测量次数pi=ni；权与其相应的标准差平方成正比p1:p2:pm=1x12:1x22:1xm2（3）加权算术平均值：x=pixipi；当p1=p2=pm时，x=pximp=xim简化计算
8、，x=x0+pi(xi-x0)pi，x0为接近xi的任选参考值。（4）单位权（5）加权算术平均值的标准差：x=pi=pivxi2m-1pi=pivxi2(m-1)pi7、随机误差的其他分布：均匀分布、反正弦分布、三角形分布、2分布、t分布、F分布。二、系统误差1、系统误差产生的原因：测量装置方面的因素、环境方面的因素、测量方法的因素、测量人员方面的因素。2、系统误差的特征：在同一条件下，多次测量统一测量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或是在条件改变时，误差按照一定规律变化。系统误差的统计规律：1）在多次重复测量同一测量值时，系统误差不具有抵偿性，它是固定的或服从一定函数规律的误差；2）系统误
9、差即是服从某一确定规律变化的误差。系统误差的分类：不变的系统误差、线性变化的系统误差、周期性变化的系统误差、复杂规律变化的系统误差。3、系统误差的发现方法：（1）实验对比法：是改变产生系统误差的条件进行不同条件的测量，以发现系统误差，适用于不变的系统误差；（2）残余误差观察法：1）若残余误差大体上是正负相同，且无显著变化规律，则无根据怀疑是存在系统误差；2）若残余误差数值有规律地递增或递减，且在测量开始与结束时误差符号相反，则存在误差；3）若残余误差符号有规律地逐渐由负变正，再由正变负，且循环交替重复变化，则存在周期性系统误差。（3）残余误差校核法：1）用于发现线性系统误差将测量列中前k个残余
10、误差相加，后（n-k）个残余误差相加（当n为偶数，取k=n/2；n为奇数，k=n+1/2）两者相减，若差值显著不为0，则有理由认为测量列存在线性系统误差（马利科夫准则）；若=0，可能存在系统误差。2）用于发现周期性系统误差若有一等精度测量列，按测量先后顺序将残余误差排列为v1，v2，vn，（阿卑-赫梅特准则）令u=vivi+1=v1v2+v2v3+vn-1vn，若un-12，则认为测量列中含有周期性系统误差。（4）不同公式计算标准差比较法对等精度测量，可用不同公式计算标准差：1）按贝塞尔公式1=vi2n-1；2）按别捷尔斯公式2=1.253vin(n-1)。令21=1+u，若u2n-1，则怀疑
11、存在系统误差。（5）计算数据比较法对同一量进行多组测量，得到很多数据，通过多组计算数据比较，若不存在系统误差，其比较结果应满足随机误差条件，否则可认为存在系统误差。任意两组结果xi和xj之间不存在系统误差的标志是：xi-xj2i2+j2（6）秩和检验法将独立测得的两组数据，混合后，按大小顺序重新排列，取测量次数较少的那一组，数出它的测得值在混合后的次序（即秩），再将所有测得值的次序相加，即得秩和T。1）当n1、n210时，若T-Tt=中的t，若算出t3，则可认为它含有粗大误差，应予以剔除。（2）罗曼诺夫斯基准则当测量次数较少时，按t分布的实际误差分布范围来判别粗大误差，较为合理。首先剔除一个可
12、疑的测量值，然后按t分布检验被剔除的测量值是否含有粗大误差。若xj-xk,则认为xj含有粗大误差，剔除xj是正确的；x、为剔除xj后的测量值的平均值和标准差，k是t分布的检验系数k(n,)，n是测量次数。（3）格罗布斯准则设对某量作多次等精度独立测量，得x1，x2，xn当xi服从正态分布时，x=1nx，vi=xi-x，=v2n-1，将xi按大小顺序排列成顺序统计量xi，而x1x2xn若认为x1可疑，则有g1=x-x1；若认为xn可疑，则有gn=xn-x。当g(i)g0(n,)，即判别该测量值含有粗大误差，并予以剔除。（4）狄克松准则（无需求出标准差）xi是x1，x2，xn的顺序统计量，当xi服
13、从正态分布时，得到xn的统计量 n7， r10=xn-xn-1xn-x1 8n10， r11=x(n)-x(n-1)x(n)-x(2) 当xn的统计量rF0.01(1,N-2)，则认为回归是高度显著的（或称在0.01水平上显著）；2）若F0.05(1,N-2)FF0.01(1,N-2)，则称回归是显著的（或称在0.05水平上显著）；3）若FF0.1(1,N-2)，一般认为回归不显著的，此时y对x的线性关系不密切。（3）残余方差与残余标准差残余方差：2=QN-2残余标准差：=QN-2残余标准差越小，回归直线的精度越高。（4）方差分析表来源平方和自由度方差F 显著性回归U=(yi-y)2=blxy12=Q/(N-2)F=U/1Q/(N-2)残余Q=(yi-yi)2=lyy-blxyN-2总和S=(yi-y)2=lyyN-1专心-专注-专业