《分类计数原理与分步计数原理基础题(共12页).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《分类计数原理与分步计数原理基础题(共12页).doc（12页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选优质文档-倾情为你奉上 高二下数学基础题10.1 分类计数原理与分步计数原理1.某商场共有4个门，若从一个门进，另一个门出，不同走法的种数是（ ）.10 11 12 13 答案 解析 从一个门进去有4种方法.而从另一个门出来有3个方法，故共有43=12种.2.有5本不同的中文书，4本不同的数学书，3本不同的英语书，每次取一本，不同的取法有（ ）种.3 12 60 不同于以上的答案答案 解析 每次取一本书分三类：取一本中文书有5种，取一本数学书有4种，取一本英语书有3种，共有5+4+3=12种.3.现有四件不同款式的上衣与三件不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的选法数为（
2、 ）.7 64 12 81答案 解析 因为在四件上衣中任取一件有4种不同的取法，再由三件长裤中取一件有3种不同的取法，要完成配套，则由分步计数原理可得，共有43=12种不同的取法.4.商店里有15种上衣，18种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子，共有 种不同的选法.要买上衣、裤子个一件，共有 种不同的选法.答案 33 270解析 买上衣有15种选法；买裤子有18种选法.买一件上衣或一条裤子有15+18=33种选法.买上衣一件和裤子一件，有1518=270种选法.5.从1到200的自然数中，各个位数上都不含有数字8的自然数有 个.答案 162解析 根据题意可分三类：第一类：一位数中除8以外符合要求
3、的数有8个；第二类：二位数中，十位数字除0、8以外有8种选法，个位数字除8外有9种填法（数字允许重复），所以二位数中有89=72（个）符合题意；第三类：百位数字为1，十位数字和个位数字除8以外均为9种填法.另外200这个数也满足题意，所以由分类计数原理，共有8+72+99+1=162个.6.某座山，若从东侧通往山顶的道路有3条，从西侧通往山顶的道路有2条，那么游人从上山到下山共有多少种不同的走法？答案 25解析 完成从上山到下山这件事可分为四类：（1）从东侧上山，且从东侧下山，走法有33种；（2）从东侧上山，从西侧下山，走法有32种；（3）从西侧上山，从东侧下山，走法有23种；（4）从西侧上山
4、，且从西侧下山，走法有22种，据分类计数原理知，符合条件的走法共有33+32+23+22=25种.7.设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有（ ）50种 49种 48种 47种答案 8.从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ ）300种 240种 144种 96种答案 解析 能去巴黎的有4个人，依次能去伦敦、悉尼、莫斯科的有5个、4个、3个，不同的选择方案有：4543=240种，选9.如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色
5、，要求相同区域不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答）答案 72解析 先排1区，有4种方法；再排2区，有3种方法；接着排3区，有2种排法.下面对4区涂色情况进行分类；若4区与2区同色，有1种方法，此时5区有2种方法，若4区与2区不同色，则1、2、3区不同色，故4区也只有1种方法，此时5区只有1种方法.故共有432（12+11）=72（种）.10.某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位、个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0.千位、百位上都不能取0.这样设计处理的密码共有 （ ）90个
6、99个 100个 112个答案 解析 千位上数字的取法，百位上数字的取法，共有设计方案=100种，也即有100个密码.11.同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有 （ ）23种 11种 9种 6种答案 解析 设4人为甲、乙、丙、丁分步进行，第一步，让甲拿，有三种方法，第二步，没拿到卡片的人去拿，有三种方法，剩余两人只有一种拿法，所以共有33=9种方法.12.某市电话号码从7位升至8位，这一改变可增加 个拨号.13.把9个相同的球放入编号为1、2、3的箱子里，要求每个箱子放球的个数不小于其编号数，则不同的放法有 种.（用数字作答）答案
7、 10解析 要使每个箱子放球数不小于其编号数，即在1，2，3三个箱里至少要分别放进1，2，3个小球，这样只剩下3个任意放到三个箱子里，有三种情况.3个一组有3种放法，2个一组，另1个一组，种放法，一个一组，只有一种放法.共有3+6+1=10种. 10.2 排列1. 下列等式中部正确的是（ ）.A. B.C. D.答案 D解析 可判定D不正确.2. 有5个元素，从中选4个进行排列，其中，必须选入，且要求排在一起，此种排法共有（ ）.A.种 B.种 C.种 D.种答案 C解析 因为，必选，只要从，中取二个元素，有3种方法，其次，必须相邻，用捆绑式，有（种）方法.所以满足条件的排列为.3. 用数字0
8、，1，2，3，4能组成没有重复数字的且比20000大的五位奇数的个数有（ ）.A.3 B.30 C.72 D.18答案 B解析 第一类：3在个位时，在排首位有，其余三位为，则三位数为.第二类：1在个位，排首位有，其余三位为，则组成三位数为.综合可知三位奇数是+=56=30.4. 书架上摆放着6本书，现要再插入3本书，则不同插法的种数为（ ）.A. B. C. D.答案 C解析 原有6本书算作6个隔断，隔出7个空，（中间5个，两端2个），把7个空视为位置，把3本书视为元素，采用元素添位置的方法解答本题，即插空法.三本书逐本插入书架上.第1本可插放在原来6本书之间和两端的7个位置之一上，有7种插法
9、.第1本书插入后，书架上有7本书，所以第二本书有8种插法.同样，第三本书有9种插法.所以插法总数为.5. 8次射击，命中3次，其中恰有2次连续命中的情形有 种.答案 30解析 将连续2次命中和一次命中看成2个不同的元素，插入5个没有命中的6个空档中，共有种.6. 9个人排成三排，每排3个，其中甲、乙两人要排在第一排，丙要排在第二排，丁要排在第三排，则总共有 种排法.答案 4320解析 第一类丁安排在第三排第三位第一步：先安排甲、乙两人共有，第二步：安排丙有，第三步：安排其他人有，因此共有2160种.第二类丁安排在第二排第三位，第一步：先安排甲、乙两人有种，第二步：安排乙有种，第三步：安排其他人
10、有种，共有1440种.第三类丁安排在第一排第三位，第一步：先安排甲、乙有种，第二步：安排乙有种，第三步：安排其他人有种，共有720种.据分类计数原理得，共有4320种.7.用09这十个数字组成没有重复数字的正整数（1）共有几个三位数?（2）末位数字是4的三位数有多少？（3）求所有三位数的和;（4）四位偶数有多少？（5）比5231大的四位数有多少？解：(1) 百位不能为 “0”,因此共有个;（2）末位为4,百位不能为 “0”,因此共有=64个（3）考虑各数位上的数字之和,可得所有三位数的和为:（4）分末位数字是否为0两种情况考虑。种；（5）千位上为9,8,7,6的四位数各有个;千位上是5,百位上
11、为3,4,6,7,8,9的四位数各有个; 千位上是5,百位上为2,十位上为4,6,7,8,9的四位数各有个; 千位上是5,百位上为2,十位上为3且满足要求的共有5个,因此共有2392种。8. 由0,1,2,3,4,5共六个数字组成没有重复数字的六位数,问其中小于50万又不是5的倍数的数共有几个?解:先将0和5放到中间4个数位上,然后再排其他数字,故共有个数符合要求.9.由数字1，2，3，4组成多少个无重复数字的三个数？并写出所有的三位数.解析 从1，2，3，4这四个数字中，每次取出三个，按照百位、十位、个位的顺序排列起来，一共有种不同的排法，即共有24个不同的三位数，这些三位数是：123，12
12、4，132，134，142，143，213，214，231，234，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432.10.用0，1，2，3，4五个数字：（1）可组成多少个五位数；（2）可组成多少个无重复数字的五位数；（3）可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数；（4）可组成多少个无重复数字的五位奇数；（5）在没有重复数字的五位数中，按由小到大的顺序排，42130是第几个数、第61个数是多少？（6）可以组成多少个无重复数字的且奇数在奇数位上的五位数.解析 （1）各个数位上数字允许重复，故采用分步计数原理，个；（2）考虑特殊位置“万位”，从1、
13、2、3、4中任选一个填入万位，共有4中填法，其余四个位置，4个数字全排列为，故共有个；另外，考虑特殊元素“0”，先排0，从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入，有种填法，然后将其余四个数字在剩余4位置上全排列为种，故共有个；（3）构成3的倍数的三位数，各个位上数字之和是3的倍数，将0、1、2、3、4按除以3的余数分成3类，按照取0和不取0分类：取0，从1和4中取一个数，再取2进行排列，先填百位，其余任意排，故有种；不取0，则只能取3，从1和4中再任取一类，再取2，然后进行全排列为，所以共有=8+12=20个；（4）考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1、3中选一个填入个位有种填法，然后从剩余
14、3个非0数中选一个填入万位，有种填法，包括0在内还有3个数在中间三位置上全排列，排列数为，故共有个；（5）按分类计数原理，当万位数位1、2、3时均可以，共有个数.当万位数为4，千位数为0、1的均满足，共有，当万位数字为4，千位数字为2，而百位数字为0和1的均满足，共有，所以42130是第+=88个数.万位是1、2的各有个数，万位是3，千位是0、1的各有个数，所以共有个数，故第61个数为32014；（6）运用排除法，先将1、3在奇数位上排列，有种排法；再将其余3个偶数在剩余3个位置上全排列，共有种，而其中1、3在个位和百位上，而万位上为0的不合题意，有种，所以符合条件的共有个.11.在3000与
15、8000之间.（1）有多少个没有数字重复且能被5整除的奇数.（2）有多少个没有数字重复的奇数.解析 （1）能被5整除的奇数，个位上只能是5，按条件千位上可以是3、4、6、7中的任意一个，其余两个数字可以是余下数字中的任意两个. （个）.（2）按题要求，个位可以是1、3、5、7、9中任意一个，千位上可以是3、4、5、6、7中的任意一个.因为个位数字与千位数字不能重复，所以可分以下两类：第一类：个位是1、9，千位可以是3、4、5、6、7中任意一个，这样的奇数有： （个）.第二类：个位是3、5、7，千位是4、6或3、5、7中与个位不重复的数字中的任意一个，满足上述条件的奇数有 （个）.12. 从0、
16、1、3、5、7中取出不同的三个作系数，（1）可组成多少个不同的一元二次方程？（2）其中有实数根的有几个？解（1）：只能在1、3、5、7中取一个有种，b、c可在余下的4个中任取两个，有种，故可组成二次方程=48个。（2）方程要有实根，需，c=0 时，、b可在1、3、5、7中任取两个，有种；，b只能取5、7，b取5时，、c只能取1、3，共有个；b取7时，、c可取1、3或1、5，有2个，所以有实数根的两次方程共有+2=18个。13. 从0、1、2、3、4中取出不同的三个数字组成一个三位数，所有这些三位数的个位数字的和是多少？解：1、2、3、4在个位上出现的次数相等，故（1+2+3+4）=9014.在
17、4000至7000之间有多少个四个数字均不相同的偶数？解析 千位数字取4或6，与千位数字取5时找符合条件的四位数的方法数不一样，为此应分两类研究.分两类.第一类：千位数字为4或6时，千位数字有两种选法，个位数字有4种选法，百位、十位数字共有种选法，此时共有 =448个符合要求；第二类：千位数字式5，同上分析知，共有=280个符合要求.根据分类计数原理，共有448+280=728个数符合要求.15.由0、1、2、3、4、5可组成多少个无重复且大于的数？解析 符合题意的数是：（1）形如：5和4的数有（个）.（2）形如：35和34的数有（个）.（3）形如325的数有（个）.（4）形如3245的数有（
18、个）.（5）32450有1个.共有（个）.16.用1、2、3、4、5五个数字可以组成比20000大且百位数字不是3的没有重复数字的五位数共有多少个？解法一：从特殊位置考虑有两种情况：3在万位的有个，3不在万位，则万位有种选法，选定后百位有种选法，其余各位共有排法种，共有+=78（个）.解法二：（间接法）2、3、4、5中某一个在万位的各有个，其中3在百位，2、4、5在万位的各有各，所以符合条件的共有（个）.解法三：1、2、3、4、5五个数字共组成个五位数，1不在首位，3不在百位的各有个，3在首位1在百位的有，满足条件的共有（个）.17. 由1、4、5、四个数字组成没有重复数字的四位数，若所有这些
19、四位数的各数位上的数字之和为288，则数= .答案 =2可组成没有重复数字的四位数个，而每个四位数各数字之和为1+4+5+=10+，24（10+）=288，=2.18.一天要排语文、数学、英语、生物、体育、班会六节课（上午四节，下午二节），要求上午第一节不排体育，数学课排在上午，班会课排在下午，问共有多少种不同的排课方法？解法一:（从数学课入手）（第一类）数学排在第一节，班会课排在下午，其余四科任排，得（第二类）数学排在上午另三节中的一节，班会排在下午，体育排在余下（不会第一节）三节中的一节，其余三科任排，得共有排法（种）解法二（从体育课入手）（第一类）体育课在上午 （第二类）体育课在下午 共
20、有排法（种）分析 注意特殊的位置和特殊的元素先考虑。19.（1）10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有多少种不同的坐法？（2）6个人走进放有10把椅子的屋子，每个人必须且只能坐一把椅子，则共有多少种不同的坐法？解析 （1）坐在椅子上的6个人是走进屋子的10个人中的任意6个人.若我们把人抽象的看成元素，将6把椅子当成6个不同的位置，则原问题便抽象为：从10个元素中任取6个元素占据6个不同的位置，显然是从10个元素中任取6个元素的排列问题.可见，共有种坐法.（2）同（1）恰好相反，被坐的6张椅子是10把中的任意6把.将椅子看成元素，6个人看成6个不同的位置，本质上与（
21、1）相同.这种看法显然同生活中的看法相反，它正说明了排列中“元素”和“位置”的相对性.本题也有种坐法.20.沪宁铁路线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门为沪宁线上的这六个大站应准备（这六个大站间）多少种不同的火车票？解析 对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张车票对应于一个起点站和一个终点站.因此，每张火车票对应于从6个不同元素（大站）中取出2个元素（起点站和终点站）的一种排列.所以问题归结为求从6个不同元素中每次取出2个不同元素的排列数. （种）.21.三种不同的蔬菜品种种子，放在四种不同的土质的地里种植，每块地里只能种植一种，有多少种不
22、同的种植方法？解析 将三种不同的种子，放在地里种植，由于土质不同，故在第一种种子有四个选法，而第二种种子有3种选法，第三种种子有2种选法，故种植方法总数有种.22.四名男生和三名女生排成一排：（1）一共有多少种不同的排法？（2）甲站在正中间的不同排法有多少种？（3）甲、乙二人必须站在两端的排法有多少种？（4）甲、乙二人不能站在两端的排法有多少种？（5）甲不站排头，乙不站排尾的排法有多少种？（6）四名男生站在一起，三名女生站在一起有多少种排法？（7）男女相间的排法有多少种？（8）女生部相邻的排法有多少种？（9）甲、乙两人中间间隔两人的排法有多少种？（10）甲排在乙的右边有多少种不同的排法？解析
23、（1）种；（2）种（甲已定位）；（3）先排甲、乙，再排其余5人.（种）；（4）先排甲、乙，再排其余5人. （种）；（5）解法一：因为甲不站在排头，乙不站在排尾，甲、乙是特殊元素，排头和排尾是特殊位置，不妨先考虑排头的站法，分下面两种情况：乙站在排头，共有种不同的排法.乙不再排头，因为甲也不站在排头，所以排头的站法有种，再考虑排尾，由于有一个人站在排头，乙又不能站在排尾，因此排尾的站法有种，中间5个位置的站法有种，所以乙不在排头的排法有种.所以甲不在排头，乙不在排尾的排法共有+=3720（种）.解法二：不考虑受条件限制，男女生7名的排法有种，而甲站在排头的排法有种，乙站在排尾的排法有种，甲在排头
24、和乙在排尾的排法都不合题中要求，在总数中减去这两种排法的数目，但是甲在排头的排法中有乙在排尾的情况，乙在排尾的排法中也有甲在排头的情况，所以在中已两次去掉甲在排头乙在排尾的数目，所以甲不在排头乙不在排尾的排法共有（种）.（6）解法一：男生站在前四个位置上有种站法，女生站在后三个位置上有种站法，男女生站在一排是分两步完成的，因此这种站法共有.而女生站在前三个位置上，男生站在后四个位置上也有种站法，所以四名男生站在一起，三名女生也站在一起的排法共有=288（种）.解法二：把站在一起的四名男生和三名女生看成两个整体，先排男生、女生这两个整体有种排法，然后排四名男生有种排法，最多排三名女生，有种排法，
25、根据乘法原理，共有=288（种）.（7）因为有四个男生、三个女生，所以男女相间就是在四个男生间的三个间隔里排女生.男生的排法有，女生的排法有，因此共有=144（种）.（8）先排不受条件限制的四名男生，有种不同的排法，四名男生间有三个间隔以及最前、最后位置；一共有五个位置，在这五个位置中来安插三名女生，有种排法，这样就可使三名女生不相邻，所以，女生部相邻的排法有=1440（种）.（9）先从五人（除甲、乙）中选二人排列有种排法，再将甲、乙排两端有，此四人视为一体与另3人排列有.=960（种）.（10）甲在乙的左、右两边机会对等，（种）.23.有7 名学生站成一排,下列情况各有多少种不同的排法。（1
26、）甲、乙必须排在一起;（2）若甲不在排头，乙不在排尾;（3）甲、乙、丙互不相邻;（4）甲、乙之间须隔一个人;（5）若甲必须在乙的右边（可以相邻，也可以不相邻），有多少种站法？（6）若将7人分成两排，前四后三，有多少种站法？解：（1）(捆绑法)； (2)；(3)(插空法); (4);(5); (6)分析 对于相邻问题，常用“捆绑法”；对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）；对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，（特殊元素先考虑）。24.在7名运动员中选4名运动员组成接力队，参加4100接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间两棒的安排方法共有多少种？解法一：可将接力队看成
27、由“不含有甲、乙两人”或“仅含有甲、乙中间一人”或“甲、乙两人都在内”这样三种情况.第一种情况：“甲、乙两人都不在接力队内”的选法是；第二种情况：“甲、乙两人中仅有一人在接力队内”的选法是；第三种情况：“甲、乙两人同时在接力队内”的选法是.解法二：也可采用排除法：先从7人中任选4人，接力有种方法，排除甲跑中间棒，排除乙跑中间棒，两加上多减去的部分，即：种.25.4个人有6个房间可供居住，每人可居住任一房间，恰有4个房间各有一人，有多少种不同的居住方式？解析 本题中“元素”比“位置”少，可用“位置”找“元素”方法求解.每一种居住方式对应于从6个元素中任取4个元素的一种排列，因此不同的居住方式共有
28、（种）.26.有10人排队，试问：（1）排成一排，有多少种不同的排法；（2）排成二排，每排5人，有多少种不同的排法；（3）排成三排，第一排2人，第二排3人，第三排5人，有多少种不同的排法？解析 （1）10人全排有.（2）解法一：先排第一排有，剩下5人排第二排种，则不同排法有=.解法二：可以看成排一排有.（3）解法一：先排第一排有（种）方法，再排第二排有，最后排第三排有种，则不同排法.解法二：可以看成排一排，有（种）方法.27.有4位男生，3位女生排队拍照，根据下列要求，各有多少种不同的排列结果.（1）若分成两排照相，前排3人，后排4人；（2）七个人排成一列，四个男生必须排在一起；（3）七个人排
29、成一列，且女生不能相邻；（4）七个人排成一列，但男生必须排在一起，女生也必须排在一起，且男甲和女乙不能相邻；（5）七个人排成一列，甲、乙相邻，丙、丁不相邻；（6）七个人排成一列，甲、乙间恰有两人.解析 （1）分二排照相实际上与排成一排照相一样，只不过把第47个位子看成第二排而已，所以实际上是7个元素的全排列问题，共有（种）.（2）采用“捆绑法”，即先把四个男生看成一个人，再与其余三个女生一起排队，这样有种不同排法，然后四个男生之间再排队，有种排法，因为是分步问题，应当用分步计数原理，所以有=576（种）.（3）采用“插空法”，把4个男生的位子拉开，在两端和他们之间放进5把椅子，如 男 男 男 男 男，再将3个女生放到这5个位子上，就保证任何女生都不会相邻了，这样女生有种排法，男生有种排法，因为是分步问题；应当用乘法原理，所以共有=1440（种）.（4）可分男左女右及男右女左两类情况考虑，同时排除男甲与女乙相邻的情况，因此共有（种）.（5）先采用“捆绑法”，再用“插空法”，将甲、乙看成一个人，与除丙、丁之外的3个人一起排队，然后在他们之间和左右两端共5个空位，插入丙、丁两个人，每个空位只排1人，共有（种）.（6）先排甲乙有种排法；再在甲、乙之间插入2个人有种；把先排好的这4个看成一个整体，再与剩余的3个人全排列，共有（种）.专心-专注-专业