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1、精选优质文档-倾情为你奉上高中数学培优2016高考一轮复习（理科）第51讲离散型随机变量的分布列、期望与方差 辅导老师： 高考总分750分，高考得分723分 的湖南高考状元的数学老师电话： 第51讲离散型随机变量的分布列、期望与方差【学习目标】1了解离散型随机变量的期望、方差、标准差的概念，会求某些简单的离散型随机变量的概率分布2会根据离散型随机变量的分布列求期望、方差或标准差，并能解决一些实际问题3理解超几何分布、二项分布的试验模型，会将某些特殊离散型随机变量的分布列、期望与方差转化化归为二项分布求解【知识要点】1离散型随机变量的分布列(1)随机变量如果随机试验的每一个试验结果都可以用一个确
2、定的数字表示，数字随着试验结果的变化而变化的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，等来表示(2)离散型随机变量对于随机变量可能取到的值，可以按一定顺序一一列出，这样的变量就叫离散型随机变量(3)分布列设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，xi，xn，而每一个值的概率为P(Xxi)pi (i1，2，n)则称表为随机变量X的概率分布列(4)分布列的两个性质0pi1，i1，2，n. p1p2pn12两点分布如果随机变量X的分布列为 (其中0p1)，q1p，则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布列 3超几何分布列在含有M件次品数的N件产品中，任取n件，其中含有X件次品数，则事件Xk发生的概
3、率为P(Xk)，k0，1，2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*，称此分布列： P1Y的数学期望为EY550.1650.2750.16850.5476.4，Y的方差为DY(5576.4)20.1(6576.4)20.2(7576.4)20.16(8576.4)20.54112.04.由以上的计算结果可以看出，DXDY，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小另外，虽然EXEY，但两者相差不大故花店一天应购进16枝玫瑰花答案二：花店一天应购进17枝玫瑰花理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y的数学期望为EY550.1650.2750.
4、16850.5476.4.由以上的计算结果可以看出，EX10且nN*)，其中女校友6位，组委会对这n位校友制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率等于，求n的值；(2)当n12时，设选出的2位校友中女校友人数为，求的分布列和E.【解析】(1)由题可知，所选两人为“最佳组合”的概率，则，化简得n225n1440，解得n9(舍去)或n16，故n16.P2(2)由题意得，的可能取值为0，1，2.则P(0)，P(1)，P(2).E0121.【点评】超几何分布的特征是：(1)样本空间的N个元素可分为两
5、类元素，其中一类元素共M个(MN)；(2)从N个元素中取出n个元素，随机变量是这n个元素中含某类元素的个数考点 二、二项分布及其应用例题2. (2013福建)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【解析】方法一：(1)由已知得，
6、小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响记“这2人的累计得分X3”的事件为A，则事件A的对立事件为“X5”，因为P(X5)，所以P(A)1P(X5)，即这两人的累计得分X3的概率为.所以P(A)1P(X5)，即这两人的累计得分X3的概率为.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)由已知可得，X1B，X2B， P37某公司规定：员工的销售津贴按季度发放，如果员工没有完成季度销售任务，则在其相应季度的销售津贴中扣除500元，但每个员工全年
7、最多扣除1000元销售津贴设某员工完成季度销售任务的概率为0.8，且每个季度是否完成销售任务是相互独立的，计算(结果精确到0.01)：(1)一年内该员工连续两个季度扣销售津贴的概率；(2)一年内该员工恰好两个季度扣销售津贴的概率；(3)一年内该员工平均扣多少销售津贴7.【解析】用Ai表示一年内该员工第i个季度完成销售任务，由已知有：P(Ai)0.8，P()0.2，i1，2，3，4，且A1，A2，A3，A4相互独立(1)一年内该员工连续两个季度扣销售津贴的概率为P1P()P(A1)P(A1A2)P()P()P(A1)P()P()P(A1)P(A2)P()P()0.220.80.220.820.2
8、20.04(10.80.82)0.10.(2)设一年内该员工有X个季度完成销售任务，由题设知X服从二项分布B(4，0.8)一年内该员工恰好两个季度扣销售津贴，即一年内该员工至少有两个季度没有完成销售任务，故其概率为P21P(X3)P(X4)140.830.20.84120.840.18.(3)设一年内该员工扣Y元销售津贴，Y0，500，1 000.P(Y0)0.840.409 6，P(Y500)40.830.20.409 6，P(Y1 000)1P(Y0)P(Y500)0.180 8.所以EY5000.409 61 0000.180 8385.60，即一年内该员工平均扣385.60元销售津贴P
9、126受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下：将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列； (3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由6.【解析】
10、(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A.则P(A).(2)依题意得，X1的分布列为X2的分布列为(3)由(2)得，E(X1)1232.86(万元)，E(X2)1.82.92.79(万元)因为E(X1)E(X2)，所以应生产甲品牌轿车P11所以E(X1)2，E(X2)2，从而E(2X1)2E(X1)，E(3X2)3E(X2).因为E(2X1)E(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大方法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响记“这两人的累计得分X3”的事件为A，则事件A包含有“X0”“X2”“X3”三个两两互斥的
11、事件，因为P(X0)，P(X2)，P(X3)，所以P(A)P(X0)P(X2)P(X3)，即这两人的累计得分X3的概率为.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下：所以E(X1)024，E(X2)036.因为E(X1)E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大【点评】二次分布的题设情境是试验或可化为独立重复试验P4考点 三、离散型随机变量的分布列、数学期望与方差例题3. (2013浙江)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分(1
12、)当a3，b2，c1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量为取出此2球所得分数之和，求的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量为取出此球所得分数若E，D，求abc.【解析】(1)由题意得，2，3，4，5，6.P(2)，P(3)，P(4)，P(5)，P(6).所以的分布列为所以E，D，P54某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E_(结果用最简分数表示)4.【解析】可取0，1，2，因此P(0)，P(1)，P(2)，E012.5设p为非负实数，随机变量X的概率分布列
13、为：则EX的最大值为_；DX的最大值为_5.【解析】由得0p，于是EX0p12p1显然EX的最大值为1；DX(0p1)2(1p1)2p(2p1)2当p0时，DX取得最大值，且最大值是1.P10考点集训1已知XB(n，p)，E(X)8，D(X)1.6，则n和p值分别为( )A100和0.08 B20和0.4C10和0.2 D10和0.81.【解析】XB(n，p)，E(X)np，D(X)np(1p)，从而有，解得n10，p0.8.2设随机变量的分布列为P(k)，k1，2，3，c为常数，则P(0.52.5)_2.【解析】由1，知c，P(0.52.5)P(1)P(2).3随机变量的分布列如下：则：(1
14、)x_；(2)P(3)_；(3)P(13)P(4)P(5)P(6)0.150.30.10.55.(3)P(14)P(1)P(2)P(3)0.10.250.10.45.P9化简得解得a3c，b2c，故abc321.考点 四、期望与方差的实际应用例题4. (2013重庆)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分
15、布列与期望E(X)【解析】设Ai表示摸到i个红球，Bj表示摸到j个蓝球，则 Ai(i0，1，2，3)与Bj(j0，1)独立(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1).(2)X的所有可能值为0，10，50，200，且P(X200)P(A3B1)P(A3)P(B1)，P(X50)P(A3B0)P(A3)P(B0)，P(X10)P(A2B1)P(A2)P(B1)，P(X0)1.综上知X的分布列为从而有E(X)010502004(元)P6【点评】分析求解离散型随机变量的分布列、期望和方差综合问题，关键是认真阅读、理解题意，然后由题意确定随机变量的可能取值，同时对所取的每一个值的实际背景理解到位后，才能正
16、确计算其概率，最后解决问题【基础检测】1设是服从二项分布B(n，p)的随机变量，又E()15，D()，则n与p的值为( )A60， B60， C50， D50，1.【解析】由B(n，p)，有E()np15，D()np(1p)，p，n60.2已知袋中装有6个白球、2个黑球，从中任取3个球，则取到白球个数的期望E()( )A2 B. C. D.2.【解析】取到的白球个数可能的取值为1，2，3.所以P(1)；P(2)；P(3).因此取到白球个数的期望E()23.3已知随机变量X的分布列为：则E(6X8)等于_3.【解析】E(X)10.220.430.40.20.81.22.2，E(6X8)6E(X)
17、862.2813.2821.2.4已知随机变量的分布列如下：其中a，b，c成等差数列，若E()，则D()的值是_P74.【解析】a，b，c成等差数列，2bac.又abc1，E()1a1cca，a，b，c，D().方法总结1关于离散型随机变量分布列的计算方法如下：(1)写出的所有可能取值(2)用随机事件概率的计算方法，求出取各个值的概率(3)利用(1)(2)的结果写出的分布列2常见的特殊离散型随机变量的分布列(1)两点分布它的分布列为(p0q1)，其中0p1，且pq1；(2)二项分布它的分布列为(0p01p12p2kpknpn)，其中pkCnkpkqnk，k0，1，2，n，且0p1，pq1，pkCnkpkqnk可记为b(k；n，p)3对离散型随机变量的期望应注意：(1)期望是算术平均值概念的推广，是概念意义下的平均(2)E是一个实数，由的分布列唯一确定，即作为随机变量是可变的，可取不同值，而E是不变的，它描述取值的平均状态(3)Ex1p1x2p2xnpn直接给出了E的求法，即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加4对离散型随机变量的方差应注意：(1)D表示随机变量对E的平均偏离程度，D越大表明平均偏离程度越大，说明的取值越分散；反之D越小，的取值越集中，在E附近，统计中常用来描述的分散程度(2)D与E一样也是一个实数，由的分布列唯一确定P8专心-专注-专业