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1、湖南理科高考750分得分723分的状元真功夫：姚老师电话：15274470417 第51讲离散型随机变量的分布列、期望与方差 “一对一” 高中数学培优2016高考一轮复习（理科）第51讲离散型随机变量的分布列、期望与方差 辅导老师： 高考总分750分，高考得分723分 的湖南高考状元的数学老师电话： 15274470417 第51讲离散型随机变量的分布列、期望与方差【学习目标】1了解离散型随机变量的期望、方差、标准差的概念，会求某些简单的离散型随机变量的概率分布2会根据离散型随机变量的分布列求期望、方差或标准差，并能解决一些实际问题3理解超几何分布、二项分布的试验模型，会将某些特殊离散型随机变
2、量的分布列、期望与方差转化化归为二项分布求解【知识要点】1离散型随机变量的分布列(1)随机变量如果随机试验的每一个试验结果都可以用一个确定的数字表示，数字随着试验结果的变化而变化的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，等来表示(2)离散型随机变量对于随机变量可能取到的值，可以按一定顺序一一列出，这样的变量就叫离散型随机变量(3)分布列设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，xi，xn，而每一个值的概率为P(Xxi)pi (i1，2，n)则称表为随机变量X的概率分布列(4)分布列的两个性质0pi1，i1，2，n. p1p2pn12两点分布如果随机变量X的分布列为 (其中0p1)，q1p，则
3、称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布列 3超几何分布列在含有M件次品数的N件产品中，任取n件，其中含有X件次品数，则事件Xk发生的概率为P(Xk)，k0，1，2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*，称此分布列： P1Y的数学期望为EY550.1650.2750.16850.5476.4，Y的方差为DY(5576.4)20.1(6576.4)20.2(7576.4)20.16(8576.4)20.54112.04.由以上的计算结果可以看出，DXDY，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小另外，虽然EXEY，但两者相差不大故花店一天应购进16枝玫瑰花答案二：花店一天应购进17枝
4、玫瑰花理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y的数学期望为EY550.1650.2750.16850.5476.4.由以上的计算结果可以看出，EX10且nN*)，其中女校友6位，组委会对这n位校友制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率等于，求n的值；(2)当n12时，设选出的2位校友中女校友人数为，求的分布列和E.【解析】(1)由题可知，所选两人为“最佳组合”的概率，则，化简得n225n1440，解得n9(舍去)或n16，故n16.P2(2)由
5、题意得，的可能取值为0，1，2.则P(0)，P(1)，P(2).E0121.【点评】超几何分布的特征是：(1)样本空间的N个元素可分为两类元素，其中一类元素共M个(MN)；(2)从N个元素中取出n个元素，随机变量是这n个元素中含某类元素的个数考点 二、二项分布及其应用例题2. (2013福建)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X3的概率；(2
6、)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【解析】方法一：(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响记“这2人的累计得分X3”的事件为A，则事件A的对立事件为“X5”，因为P(X5)，所以P(A)1P(X5)，即这两人的累计得分X3的概率为.所以P(A)1P(X5)，即这两人的累计得分X3的概率为.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)由已知可得，X1B，X
7、2B， P37某公司规定：员工的销售津贴按季度发放，如果员工没有完成季度销售任务，则在其相应季度的销售津贴中扣除500元，但每个员工全年最多扣除1000元销售津贴设某员工完成季度销售任务的概率为0.8，且每个季度是否完成销售任务是相互独立的，计算(结果精确到0.01)：(1)一年内该员工连续两个季度扣销售津贴的概率；(2)一年内该员工恰好两个季度扣销售津贴的概率；(3)一年内该员工平均扣多少销售津贴7.【解析】用Ai表示一年内该员工第i个季度完成销售任务，由已知有：P(Ai)0.8，P()0.2，i1，2，3，4，且A1，A2，A3，A4相互独立(1)一年内该员工连续两个季度扣销售津贴的概率为
8、P1P()P(A1)P(A1A2)P()P()P(A1)P()P()P(A1)P(A2)P()P()0.220.80.220.820.220.04(10.80.82)0.10.(2)设一年内该员工有X个季度完成销售任务，由题设知X服从二项分布B(4，0.8)一年内该员工恰好两个季度扣销售津贴，即一年内该员工至少有两个季度没有完成销售任务，故其概率为P21P(X3)P(X4)140.830.20.84120.840.18.(3)设一年内该员工扣Y元销售津贴，Y0，500，1 000.P(Y0)0.840.409 6，P(Y500)40.830.20.409 6，P(Y1 000)1P(Y0)P(
9、Y500)0.180 8.所以EY5000.409 61 0000.180 8385.60，即一年内该员工平均扣385.60元销售津贴P126受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下：将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列； (3)该厂预计今后
10、这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由6.【解析】(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A.则P(A).(2)依题意得，X1的分布列为X2的分布列为(3)由(2)得，E(X1)1232.86(万元)，E(X2)1.82.92.79(万元)因为E(X1)E(X2)，所以应生产甲品牌轿车P11所以E(X1)2，E(X2)2，从而E(2X1)2E(X1)，E(3X2)3E(X2).因为E(2X1)E(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大方法二：(1)由已知得，小明中奖的概
11、率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响记“这两人的累计得分X3”的事件为A，则事件A包含有“X0”“X2”“X3”三个两两互斥的事件，因为P(X0)，P(X2)，P(X3)，所以P(A)P(X0)P(X2)P(X3)，即这两人的累计得分X3的概率为.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下：所以E(X1)024，E(X2)036.因为E(X1)E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大【点评】二次分布的题设情境是试验或可化为独立重复试验P4考点 三、离散型随机变量的分布列、数学期望与方差例
12、题3. (2013浙江)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分(1)当a3，b2，c1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量为取出此2球所得分数之和，求的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量为取出此球所得分数若E，D，求abc.【解析】(1)由题意得，2，3，4，5，6.P(2)，P(3)，P(4)，P(5)，P(6).所以的分布列为所以E，D，P54某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E
13、_(结果用最简分数表示)4.【解析】可取0，1，2，因此P(0)，P(1)，P(2)，E012.5设p为非负实数，随机变量X的概率分布列为：则EX的最大值为_；DX的最大值为_5.【解析】由得0p，于是EX0p12p1显然EX的最大值为1；DX(0p1)2(1p1)2p(2p1)2当p0时，DX取得最大值，且最大值是1.P10考点集训1已知XB(n，p)，E(X)8，D(X)1.6，则n和p值分别为( )A100和0.08 B20和0.4C10和0.2 D10和0.81.【解析】XB(n，p)，E(X)np，D(X)np(1p)，从而有，解得n10，p0.8.2设随机变量的分布列为P(k)，k
14、1，2，3，c为常数，则P(0.52.5)_2.【解析】由1，知c，P(0.52.5)P(1)P(2).3随机变量的分布列如下：则：(1)x_；(2)P(3)_；(3)P(13)P(4)P(5)P(6)0.150.30.10.55.(3)P(14)P(1)P(2)P(3)0.10.250.10.45.P9化简得解得a3c，b2c，故abc321.考点 四、期望与方差的实际应用例题4. (2013重庆)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二
15、、三等奖如下：其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X)【解析】设Ai表示摸到i个红球，Bj表示摸到j个蓝球，则 Ai(i0，1，2，3)与Bj(j0，1)独立(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1).(2)X的所有可能值为0，10，50，200，且P(X200)P(A3B1)P(A3)P(B1)，P(X50)P(A3B0)P(A3)P(B0)，P(X10)P(A2B1)P(A2)P(B1)，P(X0)1.综上知X的分布列为从而有E(X)010502004(元)P6【点评】分析求解离散型随机变量的
16、分布列、期望和方差综合问题，关键是认真阅读、理解题意，然后由题意确定随机变量的可能取值，同时对所取的每一个值的实际背景理解到位后，才能正确计算其概率，最后解决问题【基础检测】1设是服从二项分布B(n，p)的随机变量，又E()15，D()，则n与p的值为( )A60， B60， C50， D50，1.【解析】由B(n，p)，有E()np15，D()np(1p)，p，n60.2已知袋中装有6个白球、2个黑球，从中任取3个球，则取到白球个数的期望E()( )A2 B. C. D.2.【解析】取到的白球个数可能的取值为1，2，3.所以P(1)；P(2)；P(3).因此取到白球个数的期望E()23.3已
17、知随机变量X的分布列为：则E(6X8)等于_3.【解析】E(X)10.220.430.40.20.81.22.2，E(6X8)6E(X)862.2813.2821.2.4已知随机变量的分布列如下：其中a，b，c成等差数列，若E()，则D()的值是_P74.【解析】a，b，c成等差数列，2bac.又abc1，E()1a1cca，a，b，c，D().方法总结1关于离散型随机变量分布列的计算方法如下：(1)写出的所有可能取值(2)用随机事件概率的计算方法，求出取各个值的概率(3)利用(1)(2)的结果写出的分布列2常见的特殊离散型随机变量的分布列(1)两点分布它的分布列为(p0q1)，其中0p1，且
18、pq1；(2)二项分布它的分布列为(0p01p12p2kpknpn)，其中pkCnkpkqnk，k0，1，2，n，且0p1，pq1，pkCnkpkqnk可记为b(k；n，p)3对离散型随机变量的期望应注意：(1)期望是算术平均值概念的推广，是概念意义下的平均(2)E是一个实数，由的分布列唯一确定，即作为随机变量是可变的，可取不同值，而E是不变的，它描述取值的平均状态(3)Ex1p1x2p2xnpn直接给出了E的求法，即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加4对离散型随机变量的方差应注意：(1)D表示随机变量对E的平均偏离程度，D越大表明平均偏离程度越大，说明的取值越分散；反之D越小，的取值越集中，在E附近，统计中常用来描述的分散程度(2)D与E一样也是一个实数，由的分布列唯一确定P8