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1、精选优质文档-倾情为你奉上八年级数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径算法具体的形式包括：确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”【出题背景】角、三
2、角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查【十二个基本问题】【问题1】作法图形原理在直线l上求一点P，使PA+PB值最小连AB，与l交点即为P两点之间线段最短PA+PB最小值为AB【问题2】“将军饮马”作法图形原理在直线l上求一点P，使PA+PB值最小作B关于l的对称点B连A B，与l交点即为P两点之间线段最短PA+PB最小值为A B【问题3】作法图形原理在直线、上分别求点M、N，使PMN的周长最小分别作点P关于两直线的对称点P和P，连PP，与两直线交点即为M，N两点之间线段最短PM+MN+PN的最小值
3、为线段PP的长【问题4】作法图形原理在直线、上分别求点M、N，使四边形PQMN的周长最小分别作点Q 、P关于直线、的对称点Q和P连QP，与两直线交点即为M，N两点之间线段最短四边形PQMN周长的最小值为线段PP的长【问题5】“造桥选址”作法图形原理直线，在、，上分别求点M、N，使MN，且AM+MN+BN的值最小将点A向下平移MN的长度单位得A，连AB，交于点N，过N作NM于M两点之间线段最短AM+MN+BN的最小值为AB+MN【问题6】作法图形原理在直线上求两点M、N（M在左），使，并使AM+MN+NB的值最小将点A向右平移个长度单位得A，作A关于的对称点A， 连AB，交直线于点N，将N点向左
4、平移个单位得M两点之间线段最短AM+MN+BN的最小值为AB+MN【问题7】作法图形原理在上求点A，在上求点B，使PA+AB值最小作点P关于的对称点P，作PB于B，交于A点到直线，垂线段最短PA+AB的最小值为线段PB的长【问题8】作法图形原理A为上一定点，B为上一定点，在上求点M，在上求点N，使AM+MN+NB的值最小作点A关于的对称点A，作点B关于的对称点B，连AB交于M，交于N两点之间线段最短AM+MN+NB的最小值为线段AB的长【问题9】作法图形原理在直线l上求一点P，使的值最小连AB，作AB的中垂线与直线l的交点即为P垂直平分上的点到线段两端点的距离相等0【问题10】作法图形原理在直
5、线l上求一点P，使的值最大作直线AB，与直线l的交点即为P三角形任意两边之差小于第三边AB的最大值AB【问题11】作法图形原理在直线l上求一点P，使的值最大作B关于l的对称点B作直线A B，与l交点即为P三角形任意两边之差小于第三边AB最大值AB【问题12】“费马点”作法图形原理ABC中每一内角都小于120，在ABC内求一点P，使PA+PB+PC值最小所求点为“费马点”，即满足APBBPCAPC120以AB、AC为边向外作等边ABD、ACE，连CD、BE相交于P，点P即为所求两点之间线段最短PA+PB+PC最小值CD一、求最值常用的知识点：1.两点之间线段最短。 2.垂线段最短。3.斜边大于角
6、边。4.三角形任两边之和大于第三边。二、线段最值常用的方法：（一）作对称点例：如图，菱形ABCD中，AB=2，BAD=60，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，求PE+PB的最小值。练习: 1如图，在锐角ABC中，AB4 ，BAC45，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是_。 2 如图，菱形ABCD中，AB=4，A=120，点M、N、P分别为线段AB、AD、BD上的任意一点，求PM+PN的最小值。3如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE1，AF2，若P为对角线BD上一动点，求EPFP的最小值4如图，在平行四边形ABCD中，AB2，AD1，
7、ADC60，将平行四边形ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D处，折痕交CD边于点E.(1)求证：四边形BCED是菱形；(2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PDPB的最小值5如图，在矩形ABCD中，AB=20，BC=10，若在AC、AB上各取一点M、N，求BM+MN的最小值。6（二）找中点，找不变线段。例：如图,ACB=90,BC=8,AC=6,点P为AC上一动点,连BP,CMBP,求AM的最小值。练习：如图，MON=90，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中
8、，点D到点O的最大距离为（ ）A B C. 2 D.3 （三）构造全等三角形例：练习： 如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM，AMBENB。求证：（1）当M点在何处时，AMCM的值最小。当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由。 （2）当AMBMCM的最小值为3+1时，求正方形的边长。 补充练习1如图，在边长为2的菱形ABCD中，ABC60，若将ACD绕点A旋转，当AC、AD分别与BC、CD交于点E、F，则CEF的周长的最小值为（ ）A2BCD43.如图，正方形ABCD的边长为4
9、，DAC的平分线交DC于点E，若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQPQ的最小值是_ ADEPBC4如图所示，正方形ABCD的面积为12，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ） A B C3 D5如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E在AB边上，且BE1，点P，Q分别是边BC，CD上的动点(均不与顶点重合)，求四边形AEPQ的周长的最小值为1四边形ABCD中，BD90，C70，在BC、CD上分别找一点M、N，使AMN的周长最小时，AMN+ANM的度数为（ ）A120 B130 C110 D1402如图，在RtABC中，C90，BC3，AC4，M为斜边AB上一动点，过点M作MDAC于点D，过点M作MECB于点E，求线段DE的最小值专心-专注-专业