2012年高考真题理科数学解析分类汇编3导数(共22页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上2012年高考真题理科数学解析分类汇编3 导数一、选择题1.【2012高考重庆理8】设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是（A）函数有极大值和极小值 （B）函数有极大值和极小值 （C）函数有极大值和极小值 （D）函数有极大值和极小值【答案】D【解析】由图象可知当时，所以此时，函数递增.当时，所以此时，函数递减.当时，所以此时，函数递减.当时，所以此时，函数递增.所以函数有极大值，极小值,选D.2.【2012高考新课标理12】设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ） 【答案】B【解析】函数与函数互为反函数，图象关于对称 函

2、数上的点到直线的距离为 设函数 由图象关于对称得：最小值为,3.【2012高考陕西理7】设函数，则（ ）A. 为的极大值点 B.为的极小值点C. 为的极大值点 D. 为的极小值点学【答案】D.【解析】，令，则，当时，当时，所以为极小值点，故选D.4.【2012高考辽宁理12】若，则下列不等式恒成立的是(A) (B) (C) (D)【答案】C【命题意图】本题主要考查不等式恒成立问题，是难题.【解析】法1：验证A，当，故排除A；验证B，当， ，而，故排除B；验证C，令，显然恒成立所以当，所以，为增函数，所以，恒成立，故选C；验证D，令，令，解得，所以当时，显然不恒成立，故选C.法2：设，则所以所以

3、当时，同理即，故选C【点评】本题主要考查导数公式，以及利用导数，通过函数的单调性与最值来证明不等式，考查转化思想、推理论证能力、以及运算能力，难度较大。5.【2012高考湖北理3】已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为A B C D 【答案】B考点分析：本题考察利用定积分求面积. 【解析】根据图像可得： ，再由定积分的几何意义，可求得面积为.6.【2012高考全国卷理10】已知函数yx-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1【答案】A【命题意图】本试题主要考查了导数在研究三次函数中的极值的运用。要是函数图像与轴有两个不

4、同的交点，则需要满足极佳中一个为零即可。【解析】若函数的图象与轴恰有两个公共点，则说明函数的两个极值中有一个为0，函数的导数为，令，解得，可知当极大值为，极小值为.由，解得，由，解得，所以或，选A.二、填空题7.【2012高考浙江理16】定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离，则实数a=_。【答案】【解析】曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离为，曲线C1：y=x2+a对应函数的导数为，令得，所以C1：y=x2+a上的点为，点到到直线l:y=x的

5、距离应为，所以，解得或（舍去）。8.【2012高考江西理11】计算定积分_。【答案】【命题立意】本题考查有关多项式函数，三角函数定积分的应用.【解析】。9.【2012高考山东理15】设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则_.【答案】【解析】由已知得，所以，所以。10.【2012高考广东理12】曲线y=x3-x+3在点（1，3）处的切线方程为 【答案】【解析】，当时，此时，故切线方程为，即。11.【2012高考上海理13】已知函数的图象是折线段，其中、，函数（）的图象与轴围成的图形的面积为 。【答案】【解析】当，线段的方程为，当时。线段方程为，整理得，即函数，所以，函数与轴围成的图形面积为。

6、【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大.12.【2012高考陕西理14】设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为 .【答案】2【解析】函数在点处的切线为，即.所以D表示的平面区域如图当目标函数直线经过点M时有最大值，最大值为.三、解答题13.【2012高考广东理21】（本小题满分14分）设a1，集合，。（1）求集合D（用区间表示）；（2）求函数在D内的极值点【答案】本题是一个

7、综合性问题，考查集合与导数的相关知识，考查了学生综合解决问题的能力，难度较大.【解析】（1）对于方程判别式因为，所以 当时，此时，所以； 当时，此时，所以；当时，设方程的两根为且，则 ， 当时，所以此时， 当时，所以此时，（2），所以函数在区间上为减函数，在区间和上为增函数 是极点 是极点 得：时，函数无极值点，时，函数极值点为， 时，函数极值点为与14.【2012高考安徽理19】（本小题满分13分）设。（I）求在上的最小值；（II）设曲线在点的切线方程为；求的值。【答案】本题考查函数、导数的基础知识，运用导数研究函数性质等基本方法，考查分类讨论思想，代数恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题

8、解决问题的能力。【解析】（I）设；则，当时，在上是增函数，得：当时，的最小值为。当时，当且仅当时，的最小值为。（II），由题意得：。15.【2012高考福建理20】（本小题满分14分）已知函数f（x）=exax2-ex，aR. （）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；（）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P. 【答案】本题主要考查函数导数的应用、二次函数的性质、函数零点的存在性定理等基础知识，考查推理论证能力、基本运算能力、抽象概括能力，以及分类与整合思想、数形结合思想、化归与转化思想.

9、解答：（） 由题意得： 得：函数的单调递增区间为，单调递减区间为（）设； 则过切点的切线方程为 令；则 切线与曲线只有一个公共点只有一个根 ，且 （1）当时， 得：当且仅当时， 由的任意性，不符合条件（lby lfx） （2）当时，令 当时， 当且仅当时，在上单调递增 只有一个根 当时， 得：，又 存在两个数使， 得：又 存在使，与条件不符。 当时，同理可证，与条件不符 从上得：当时，存在唯一的点使该点处的切线与曲线只有一个公共点16.【2012高考全国卷理20】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）设函数f（x）=ax+cosx，x0，.（）讨论f（x）的单调性；（）设f（x）1+

10、sinx，求a的取值范围.【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用。第一就是函数中有三角函数，要利用三角函数的有界性，求解单调区间。另外就是运用导数证明不等式问题的构造函数思想的运用。解：。（）因为，所以。当时，在上为单调递增函数；当时，在上为单调递减函数；当时，由得， 由得或； 由得。 所以当时在和上为为单调递增函数；在上为单调递减函数。来源:Zxxk.Com（）因为当时，恒成立当时，令，则又令，则则当时，故，单调递减当时，故，单调递增所以在时有最小值，而，综上可知时，故在区间单调递所以故所求的取值范围为。来源:Z。xx。k.Com另解：由恒成立可得令，则当时，当时，来源:学科网又，所

11、以，即故当时，有（lbylf x）当时，所以当时，综上可知故所求的取值范围为。【点评】试题分为两问，题词面比较简单，给出的函数比较新颖，因为里面还有三角函数，这一点对于同学们来说有点难度，不同于平时的练习题，相对来说做得比较少。但是解决的关键还是要看导数的符号，求解单调区间。第二问中，运用构造函数的思想，证明不等式，一直以来是个难点，那么这类问题的关键是找到合适的函数，运用导数证明最值大于或者小于零的问题得到解决。17.【2012高考北京理18】（本小题共13分）已知函数，.（1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求，的值；（2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间上的最大值.解：（1）

12、由为公共切点可得：，则，则，又，即，代入式可得：（2），设则，令，解得：，；，原函数在单调递增，在单调递减，在上单调递增若，即时，最大值为；若，即时，最大值为若时，即时，最大值为综上所述：当时，最大值为；当时，最大值为18.【2012高考新课标理21】（本小题满分12分）已知函数满足满足；（1）求的解析式及单调区间；（2）若，求的最大值.【答案】（1） 令得： 得： 在上单调递增 得：的解析式为 且单调递增区间为，单调递减区间为 （2）得 当时，在上单调递增 时，与矛盾 当时， 得：当时， 令；则 当时， 当时，的最大值为19.【2012高考天津理20】本小题满分14分）已知函数的最小值为0，

13、其中（）求的值；（）若对任意的有成立，求实数的最小值；（）证明（）.【答案】（1）函数的定义域为 得：时，（2）设 则在上恒成立（*） 当时，与（*）矛盾 当时，符合（*） 得：实数的最小值为 （3）由（2）得：对任意的值恒成立 取： 当时， 得：当时， 得：。【点评】试题分为三问，题面比较简单，给出的函数比较常规，因此入手对于同学们来说没有难度，第二问中，解含参数的不等式时，要注意题中参数的讨论所有的限制条件，从而做到不重不漏；第三问中，证明不等式，应借助于导数证不等式的方法进行.20.【2012高考江苏18】（16分）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点。已知是实数，1和是函数

14、的两个极值点（1）求和的值；（2）设函数的导函数，求的极值点；（3）设，其中，求函数的零点个数【答案】解：（1）由，得。 1和是函数的两个极值点， ，解得。 （2） 由（1）得， ， ，解得。 当时，；当时， 是的极值点。 当或时， 不是的极值点。 的极值点是2。（3）令，则。 先讨论关于 的方程 根的情况：当时，由（2 ）可知，的两个不同的根为I 和一2 ，注意到是奇函数，的两个不同的根为一和2。当时， ，一2 , 1，1 ，2 都不是的根。由（1）知。 当时， ，于是是单调增函数，从而。此时在无实根。 当时，于是是单调增函数。又，的图象不间断， 在（1 , 2 ）内有唯一实根。同理，在（一

15、2 ，一I ）内有唯一实根。 当时，于是是单调减两数。又， ，的图象不间断，在（一1，1 ）内有唯一实根。因此，当时，有两个不同的根满足；当 时有三个不同的根，满足。现考虑函数的零点：( i ）当时，有两个根，满足。而有三个不同的根，有两个不同的根，故有5 个零点。( 11 ）当时，有三个不同的根，满足。而有三个不同的根，故有9 个零点。综上所述，当时，函数有5 个零点；当时，函数有9 个零点。【考点】函数的概念和性质，导数的应用。【解析】（1）求出的导数，根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可。 （2）由（1）得，求出，令，求解讨论即可。 （3）比较复杂，先分和讨论关于 的方程 根的

16、情况；再考虑函数的零点。21.【2012高考辽宁理21】本小题满分12分)设，曲线与直线在(0，0)点相切。 ()求的值。 ()证明：当时，。【命题意图】本题主要考查函数的切线及恒成立问题，考查运算求解能力，是难题.【解析】（1）由的图像过点，代入得由在处的切线斜率为，又，得3分（2）（证法一）由均值不等式，当时，故记，则，令，则当时，（lby lfx）因此在内是减函数，又由，得，所以因此在内是减函数，又由，得，于是当时， 12分（证法二）由（1）知，由均值不等式，当时，故令，则，故，即，由此得，当时，记，则当时，因此在内是减函数，又由，得，即【点评】本题综合考查导数的概念、几何意义、导数在判

17、断函数单调性与最值中的运用。本题容易忽略函数的定义域，根据条件曲线与直线在(0，0)点相切，求出的值，然后，利用函数的单调性或者均值不等式证明即可。从近几年的高考命题趋势看，此类型题目几乎年年都有涉及，因此，在平时要加强训练。本题属于中档题。22.【2012高考重庆理16】（本小题满分13分，（）小问6分，（）小问7分.）设其中，曲线在点处的切线垂直于轴.（） 求的值；（）求函数的极值. 解：（1）因，故由于曲线在点处的切线垂直于轴，故该切线斜率为0，即，从而，解得（2）由（1）知，令，解得（因不在定义域内，舍去），当时，故在上为减函数；当时，故在上为增函数；故在处取得极小值。23.【2012

18、高考浙江理22】(本小题满分14分)已知a0，bR，函数()证明：当0x1时，()函数的最大值为|2ab|a；() |2ab|a0；() 若11对x0，1恒成立，求ab的取值范围【命题立意】本题主要考查不等式、利用导数研究函数的单调性等性质、线性规划等知识点综合运用能力，同时考查抽象概括、推理论证能力。【答案】本题主要考察不等式，导数，单调性，()()当b0时，0在0x1上恒成立，此时的最大值为：|2ab|a；当b0时，在0x1上的正负性不能判断，此时的最大值为：|2ab|a；综上所述：函数在0x1上的最大值为|2ab|a；() 要证|2ab|a0，即证|2ab|a亦即证在0x1上的最大值小于

19、(或等于)|2ab|a，令当b0时，0在0x1上恒成立，此时的最大值为：|2ab|a；当b0时，在0x1上的正负性不能判断，|2ab|a；综上所述：函数在0x1上的最大值小于(或等于)|2ab|a即|2ab|a0在0x1上恒成立()由()知：函数在0x1上的最大值为|2ab|a，且函数在0x1上的最小值比(|2ab|a)要大11对x0，1恒成立，|2ab|a1取b为纵轴，a为横轴则可行域为：和，目标函数为zab作图如下：由图易得：当目标函数为zab过P(1，2)时，有所求ab的取值范围为：24.【2012高考山东理22】(本小题满分13分)已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线

20、与轴平行.（）求的值；（）求的单调区间；（）设,其中为的导函数.证明：对任意.解：（），依题意，为所求.（）此时 记，所以在，单减，又， 所以，当时，单增； 当 时，单减. 所以，增区间为（0，1）；减区间为（1，.（），先研究，再研究. 记，令，得， 当，时，单增； 当，时，单减 . 所以，即. 记，所以在,单减，所以，即 综、知，.25.【2012高考真题湖南理22】（本小题满分13分）已知函数=，其中a0.（1） 若对一切xR，1恒成立，求a的取值集合.（2）在函数的图像上取定两点，记直线AB的斜率为K，问：是否存在x0（x1，x2），使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.

21、【答案】（）若，则对一切，这与题设矛盾，又，故.而令当时，单调递减；当时，单调递增，故当时，取最小值于是对一切恒成立，当且仅当.令则当时，单调递增；当时，单调递减.故当时，取最大值.因此，当且仅当即时，式成立.综上所述，的取值集合为.（）由题意知，令则令，则.当时，单调递减；当时，单调递增.故当，即从而，又所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使单调递增，故这样的是唯一的，且.故当且仅当时， .综上所述，存在使成立.且的取值范围为. 【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切xR，f(x) 1恒成立转化为，从而得出a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.专心-专注-专业