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1、精选优质文档-倾情为你奉上第十讲 鸡兔同笼问题教学目标1. 熟悉鸡兔同笼的“砍足法”和“假设法”.2. 利用鸡兔同笼的方法解决一些实际问题，需要把多个对象进行恰当组合以转化成两个对象知识点拨知识点说明：一、鸡兔同笼这个问题，是我国古代著名趣题之一大约在年前，孙子算经中就记载了这个有趣的问题书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有个头；从下面数，有只脚求笼中各有几只鸡和兔？ 你会解答这个问题吗？你想知道孙子算经中是如何解答这个问题的吗？ 二、解鸡兔同笼的基本步骤解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一
2、半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”这样，鸡和兔的脚的总数就由只变成了只；果笼子里有一只如兔子，则脚的总数就比头的总数多因此，脚的总只数与总头数的差，就是兔子的只数，即（只）显然，鸡的只数就是（只）了 这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已除此之外，“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做比较，做差除二兔找到解鸡兔同笼问题的基本关系式是：如果假设全是兔，那么则有： 鸡数=（每只兔子脚数鸡兔总数-实际脚数）（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 兔数=鸡兔总数-鸡数如果假设全是
3、鸡，那么就有： 兔数=（实际脚数-每只鸡脚数鸡兔总数）（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 鸡数=鸡兔总数-兔数当头数一样时，脚的关系：兔子是鸡的2倍当脚数一样时，头的关系：鸡是兔子的2倍在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工程，行程，方程等专题中也都会接触到假设法板块一、两个对象的“鸡兔同笼”【例 1】 鸡兔同笼，头共，足共，鸡兔各几只？【解析】 假设只都是兔，一共应有只脚，这和已知的只脚相比多了只脚，这是因为我们把鸡当成了兔子，如果把只鸡当成只兔，就要比实际多（只）脚，那么只脚是我们把只鸡当成了兔子，所以鸡的只数就是，兔的只数是（只）当然，这里我们也可以假设只
4、全是鸡！鼓励学生从两个方面假设解题，更深一步理解假设法【巩固】 点点家养了一些鸡和兔子，同时养在一个笼子里，点点数了数，它们共有个头，只脚问：点点家养的鸡和兔各有多少只？【解析】 方法一：我们假设，每只鸡都是“金鸡独立”，一只脚站着；而每只兔子都是两条后腿，像人一样用两只脚站着现在，地面上出现的脚是总数的一半，也就是(只)在这个数中，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次，因此从减去总头数，剩下的就是兔子头数，(只)，所以有只兔子，有(只)鸡方法二：假设只都是兔子，那么就有(只)脚，比只脚多了(只)每只鸡比兔子少(只)脚，那么共有鸡(只)方法三：还可以假设只都是鸡，那么共有脚(只)，比只脚
5、少了(只)脚，每只鸡比兔子少(只)脚，那么共有兔子(只)方法一可以归结为：总脚数总头数兔子数能够这样算，主要是利用了兔和鸡的脚数分别为和，而且是的倍方法二说明假设的只兔子中有只不是兔子，而是鸡由此可以列出公式：鸡数(兔脚数总头数总脚数)(兔脚数鸡脚数)方法三说明假设的只鸡中有只是兔由此可以列出公式：兔数(总脚数鸡脚数总头数)(兔脚数鸡脚数)【巩固】 鸡兔共有只，关在同一个笼子中每只鸡有两条腿，每只兔子有四条腿，笼中共有条腿试计算，笼中有鸡多少只？兔子多少只？【解析】 假设法：若假设所有的只动物都是兔子，那么一共应该有(条)腿，比实际多算(条)腿而每将一只鸡算做一只兔子会多算两条腿，所以有(只)
6、鸡被当作了兔子，所以共有只鸡，有(只)兔子 注意：假设为兔子时，按照“多算的腿数”计算出的是鸡的数目；假设为鸡时，按照“少算的腿数”计算出的是兔子的数目同学们可以自己来做一下当假设为鸡时的算法 “金鸡独立”法（砍足法）： 假设所有的动物都只用一半的腿站立，这样就出现了鸡都变成了“金鸡独立”，而兔子们都只用两条腿站立的“奇观”这样就有一个好处：鸡的腿数和头数一样多了；而每只兔子的腿数则会比头数多因此，在腿的数目都变成原来的一半的时候，腿数比头数多多少，就有多少只兔子原来有只腿，让兔子都抬起两只腿，鸡抬起一只腿，则此时笼中有(条)腿，比头数多，所以有只兔子，另外只是鸡【巩固】 在一个停车场上，现有
7、车辆辆，其中汽车有个轮子，摩托车有个轮子，这些车共有个轮子，那么三轮摩托车有多少辆？【分析】 假设都是三轮摩托车，应有(个)轮子，少了(个)轮子每把一辆汽车假设为三轮摩托车，会减少(个)轮子汽车有(辆)；从而求出三轮摩托车有(辆)或者假设都是汽车，应有(个)轮子，多了(个)轮子； 所以摩托车有(辆)【巩固】 体育老师买了运动服上衣和裤子共件，共用了元，其中上衣每件元、裤子每件元，问老师买上衣和裤子各多少件？【解析】 假设买的都是上衣，那么裤子的件数为：（件），上衣：（件）【巩固】 三()班有象棋、飞行棋共副，恰好可供全班名同学同时进行活动象棋要人下一副，飞行棋要人下一副，则飞行棋和跳棋各有几副
8、？【解析】 假设只有飞行棋，那么一共有（名）同学参与活动，多出（名）同学，多一副象棋，就会少（名）同学，可知一共有（副）象棋，（副）飞行棋【巩固】 王老师带了名同学去北海公园划船，共租了条船每条大船坐人，每条小船坐人，问大船、小船各租几条？【解析】 我们分步来考虑： 假设租的条船都是大船，那么船上应该坐（人） 假设后的总人数比实际人数多了（人），多的原因是把小船坐的人都假设成坐人 一条小船当成大船多出人，多出的人是把（条）小船当成大船所以有条小船，条大船 列式为：(条）（条）【例 2】 （中国古代僧粥问题）一百个和尚刚好喝一百碗粥，一个大和尚喝三碗粥，三个小和尚喝一碗粥，那么大和尚有多少个，小
9、和尚有多少个？【解析】 我们把大碗换小碗，换小碗盛粥！把一大碗粥分成三小碗粥，则原题变为一百个和尚喝三百碗粥，一个大和尚喝九碗粥，一个小和尚喝一碗粥 然后仍然用假设法： 假设都是小和尚，只能喝（碗）粥，有一个大和尚被当成小和尚会少（碗）粥，一共少了（碗）粥所以大和尚有（个）；小和尚有（个）【巩固】 100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍问：大、小和尚各有多少人？【解析】 本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解 假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多（个）现在以小和尚去
10、换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少（个），因为，故小和尚有80人，大和尚有（人）【例 3】 (小学数学奥林匹克初赛试题)孙阿姨有贰元人民币和伍元人民币共张，合计元，孙阿姨这两种人民币各有多少张？【解析】 假设这张人民币全是贰元的，共计(元)，比实际的钱数少了(元)这是因为伍元的全部假设成贰元的，一张就少了(元)，那么可知伍元的共有 (张)，贰元的有：(张)【巩固】 小华用二元五角钱买了面值二角和一角的邮票共张，问两种邮票各买多少张？【解析】 二元五角分；角分；角分.假设都是分邮票：（分），比实际少了：（分），每张邮票相差钱数：（分），有二角邮票：（张），有一角邮票张：（张）【巩固】 有
11、1元和5元的人民币共17张，合计49元，两种面值的人民币各有多少张?【解析】 该题求两种面值的人民币各有多少张，已知总张数17张，但两种不同面值的人民币张数相差多少难以确定，怎么办?再分析题意，又知两种面值的人民币的总钱数，及各自的票面值，但两种人民币相差的钱数也难以确定，这又怎么办?我们可用“假设法”思考假设17张人民币全是5元的，总钱数则为517=85(元)，比实际的49元多出85-49=36(元)，多的原因是把l元的人民币假设为5元的人民币了，用数量关系式表示为： 根据这一数量关系式，可先求1元人民币的张数 解法：(517-49)(5-1)=9(张) 17-9=8(张) 验算：19+58
12、=49(元) 也可以假设17张人民币全是1元的，便可 有另一解法 解法：(49-117)(5-1)-8(张) 17-8=9(张)【巩固】 小同有一个储蓄筒，存放的都是硬币，其中2分币比5分币多22个；按钱数算，5分币却比2分币多4角；另外，还有36个1分币小同共存了多少钱？【解析】 假设去掉22个2分币，那么按钱数算，5分币比2分币多8角4分，一个5分币比一个2分币多3分，所以5分币有（个），2分币有（个）， （分）【巩固】 买一些4分和8分的邮票,共花6元8角.已知8分的邮票比4分的邮票多40张,那么两种邮票各买了多少张 【解析】 解一:如果拿出40张8分的邮票,余下的邮票中8分与4分的张数
13、就一样多. (680-840)(8+4)=30(张), 这就知道,余下的邮票中,8分和4分的各有30张. 因此8分邮票有 40+30=70(张). 解二:譬如,假设有20张4分,根据条件8分比4分多40张,那么应有60张8分.以分作为计算单位,此时邮票总值是 420+860=560. 比680少,因此还要增加邮票.为了保持差是40,每增加1张4分,就要增加1张8分,每种要增加的张数是 (680-420-860)(4+8)=10(张). 因此4分有20+10=30(张),8分有60+10=70(张).【巩固】 四年级的同学们去春游，按团体购票120张，共432元，其中单程票每张2元，往返票4元，
14、那么单程票和往返票相差多少张？【解析】 假设全部买的是往返票，那么共需（元），比实际多花了48元，这48元是因为把每张单程票假设成往返票多出的，每张单程票看成往返票则增加2元，可知48元中有几个2元就有几张单程票，即单程票有24张，相差72张【巩固】 李明和张亮轮流打一份稿件，李明每天打页，张亮每天打页，他们一共打了天，平均每天打页，问李明、张亮各打了多少天？【解析】 从总数入手，由题意可知他们一共打了(页)假设天都是李明打的，那么打的页数是：(页)，比实际打的多(页)，而李明每天比张亮多打：(页)，所以张亮打的天数是：(天)，李明打的天数是：(天)【例 4】 动物园里养了一些梅花鹿和鸵鸟，共
15、有脚只，鸵鸟比梅花鹿多只，梅花鹿和鸵鸟各有多少只？【解析】 假设梅花鹿和鸵鸟的只数相同，则从总脚数中减去鸵鸟多的只的脚数得：(只)这只脚是梅花鹿的脚数和鸵鸟的脚数(注意此时梅花鹿和鸵鸟的只数相同)脚数的和，一只梅花鹿和一只鸵鸟的脚数和是：(只)，所以梅花鹿的只数是：(只)，从而鸵鸟的只数是：(只) （本题也可给学生讲成“捆绑法”，一鸡一兔一组，这个怎么分组时有倍数关系得到的）【巩固】 一个养殖园内，鸡比兔多36只，共有脚792只，鸡兔各几只？【解析】 已知鸡比兔多36只，如果把多的36只鸡拿走，剩下的鸡兔只数就相等了，拿走的36只鸡有（只）脚，可知现在剩下（只）脚，一只鸡与一只兔有6只脚，那么
16、兔有（只），鸡有（只）【巩固】 鸡兔同笼，鸡、兔共有只，兔的脚数比鸡的脚数多只，问鸡、兔各多少只？【解析】 这道例题和前面的例题有所不同，前面的题是已知头数之和和脚数之和求各有几只，而这道题是已知头数之和和脚数之差，这样就比前面的例题增加了一点难度我们用两种方法来解这道题（方法一）考虑如果补上鸡脚少的只的话，那么就要增加（只）鸡这样一来，鸡、兔共有（只），这时鸡脚、兔脚一样多已知一只鸡的脚数是一只兔的一半，而现在鸡脚、兔脚相同，可知鸡的只数是兔的倍，根据和倍问题有：兔有：（只）鸡有：（只）或者（只）（方法二）不妨假设只都是兔，没有鸡，那么就有兔脚：（只），而鸡的脚数为零这样兔脚比鸡脚多只，而实
17、际上只多只，这说明假设的兔脚比鸡脚多的数比实际上多：（只）现在以鸡换兔，每换一只，兔脚减少只，鸡脚增加只，即兔脚与鸡脚的总数差就会减少（只）鸡的只数：（只）兔的只数：（只）【巩固】 鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只.问：鸡、兔各多少只?【解析】 假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零.这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多(只).现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少(只)，而，因此有兔子30只，鸡(只).【巩固】 鸡、兔共只，鸡脚比兔脚多只问：鸡、兔各多少只？【解析】 假设
18、只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚只，而兔的脚数为零这样鸡脚比兔脚多只，而实际上只多只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多(只)现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少只，兔脚增加只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少(只)，而，因此有兔子只，鸡(只)【巩固】 现有大小油桶50个，每个大桶可装油4千克，每个小桶可装油2千克，大桶比小桶共多装油20千克，问大小桶各多少个?【解析】 分析与解答一：假设50个油桶都是大桶，则共装油千克，而这小桶所装油则为0这样大桶比小桶多装200千克，比条件所给的差数多了千克，若在50个大桶中把一部分大桶换成小桶，则每拿一个大桶换成小桶，大桶装的油就减少4千克，而小桶共装的油就
19、增加2千克，那么大桶比小桶多装的数量就减少千克，那么该把多少个大桶换成小桶才符合题意呢? 解： (个)(小桶) (个) (大桶)分析与解答二：这道题也可以用另外一种假设；每个大桶比每个小桶多装2千克，如果大小桶同样多，大桶要比小桶共多装20千克，则应该大小桶各个，现在共有50个桶，在剩下的个桶中，大小桶应装同样多的油，而每个大桶装的油是每个小桶装的倍，那么在这30个桶中，应该有个大桶，个小桶；所以可求出50个桶中，有大小桶各多少个解：(个) (个) (大桶)(个) (大桶共有)(个) (小桶共有)【巩固】 一批钢材，用小卡车装载要辆，用大卡车装载只要辆已知每辆大卡车比每辆小卡车多装吨，那么这批
20、钢材有多少吨？【解析】 要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨利用假设法，假设只用辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装吨，所以要剩下 (吨)根据条件，要装完这吨钢材还需要(辆)小卡车这样每辆小卡车能装(吨)由此可求出这批钢材有吨【例 5】 小建和小雷做仰卧起坐，小建先做了分钟，然后两人各做了分钟，一共做仰卧起坐次已知每分钟小建比小雷平均多做次，那么小建比小雷多做了多少次？【解析】 假设小建每分钟做仰卧起坐的次数与小雷一样多，这样两人做仰卧起坐的总次数就减少了(次)，由此可知小雷每分钟做了(次)，进而可以分别求出小建每分钟做的次数以及两人分别做仰卧起坐的总
21、次数之差假设小建每分钟做仰卧起坐的次数与小雷一样多，两人做仰卧起坐的总次数就减少：(次)小雷每分钟做：(次)；小建每分钟做：(次)小建一共做：(次)；小雷一共做：(次)小建比小雷多做：(次)【例 6】 一份稿件,甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成,现在甲单独打若干小时后,因有事由乙接着打完,共用了7小时.甲打字用了多少小时？【解析】 我们把这份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍数),甲每小时打306=5(份),乙每小时打3010=3(份). 现在把甲打字的时间看成兔头数,乙打字的时间看成鸡头数,总头数是7.兔的脚数是5,鸡的脚数是3,总脚数是30,就把问题转化成鸡兔同笼
22、问题了. 根据前面的公式兔数=(30-37)(5-3) =4.5, 鸡数=7-4.5 =2.5, 也就是甲打字用了4.5小时,乙打字用了2.5小时. 【例 7】 工人运青瓷花瓶250个，规定完整运到目的地一个给运费20元，损坏一个倒赔100元运完这批花瓶后，工人共得4400元，则损坏了多少个？【解析】 本题中“损坏一个倒赔100元”的意思是运一个完好的花瓶与损坏1个花瓶相差（元），即损1个花瓶不但得不到20元的运费，而且要付出120元本例可假设250个花瓶都完好，这样可得运费（元）这样比实际多得（元） 就是因为有损坏的瓶子，损坏1个花瓶相差120元现共相差600元，从而求出共损坏多少个花瓶根据
23、以上分析，可得损坏了（个）【巩固】 乐乐百货商店委托搬运站运送100只花瓶双方商定每只运费1元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1元，结果搬运站共得运费92元问：搬运过程中共打破了几只花瓶？【解析】 假设100只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费（元）实际上只得到92元，少得（元）搬运站每打破一只花瓶要损失（元）因此共打破花瓶（只）【巩固】 有一辆货车运输2000只玻璃瓶,运费按到达时完好的瓶子数目计算,每只2角,如有破损,破损瓶子不给运费,还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6元,问这次搬运中玻璃瓶破损了几只 【解析】 如果没有破损,运费应是400元.但破
24、损一只要减少1+0.2=1.2(元).因此破损只数是 (400-379.6)(1+0.2)=17(只). 【巩固】 （2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛决赛）甲、乙两人进行射击比赛，约定每中一发得分，脱靶一发扣分，两人各打发，共得分，最后甲比乙多得分，乙打中 发。【分析】 乙得分为（分），如果乙每发都打中可以得（分），脱靶一发少（分）；乙脱靶（发），所以乙打中（发）。【巩固】 某次数学竞赛，共有道题，每道题做对得分，没做或做错都要扣分，小聪得了分，他做对了多少道题？【解析】 做错 (道)，因此，做对的 (道)【巩固】 数学竞赛共有20道题，规定做对一道得5分，做错或不做倒扣3分，赵天在这
25、次数学竞赛中得了60分，他做对了几道题？【解析】 假设他将所有题全部做对了，则可得100分，实际上只得了60分，比假设少了40分，做错一题要少得8分，少得的40分中，有多少个8分，就是他做错的题的数量，则知他做对了15道【巩固】 东湖路小学三年级举行数学竞赛，共道试题.做对一题得分，没有做一题或做错一题都要倒扣分.刘钢得了分，问他做对了几道题？【解析】 这道题也类似于“鸡兔同笼”问题假设刘钢道题全对，可得分（分），但他实际上只得分，少了（分），因此他没做或做错了一些题由于做对一道题得分，没做或做错一道题倒扣分，所以没做或做错一道题比做对一道题要少（分）分中含有多少个，就是刘钢没做或做错多少道题
26、所以，刘钢没做或做错题为（道），做对题为（道）【巩固】 (第八届“祖冲之杯”数学邀请赛填空题)一张数学试卷，只有道选择题做对一题得分，做错一题倒扣分；如不做，不得分也不扣分若小明得了分，那么他做对 题，做错 题，没做 题 【解析】 这道题不是普通的鸡兔同笼问题，需要寻找一些特殊的线索 小明得了分，而且只有做对了题目才能得分，所以可以知道小明至少做对道题目，否则一定低于(分)； 再假设他做对题，发现即使另外四题都错，小明仍然有(分)，超过了分，所以小明至多做对道题目； 综上，可以断定小明做对了道题 至此本题转化为简单鸡兔同笼问题 假设剩下题全部没做，那么小明应得(分) 但是只得了分，说明又倒扣了
27、分，说明错了道题，道题没做 所以小明做对了道题，做错了道题，没做道题【巩固】 有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错(包含不答)1题倒扣1分；第二次15道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？ 【解析】 法一：如果小明第一次测验24题全对，得(分).那么第二次只做对(题)得分是(分).两次相差(分).比题目中条件相差10分，多了80分.说明假设的第一次答对题数多了，要减少.第一次答对减少一题，少得(分)，而第二次答对增加一题不但不倒扣2分，还可得8分，因此增加分.两者两差数就可减少
28、(分).(题).因此，第一次答对题数要比假设(全对)减少5题，也就是第一次答对19题，第二次答对(题).第一次得分.第二次得分.法二：答对30题，也就是两次共答错(题).第一次答错一题，要从满分中扣去(分)，第二次答错一题，要从满分中扣去(分).答错题互换一下，两次得分要相差 (分).如果答错9题都是第一次，要从满分中扣去.但两次满分都是120分.比题目中条件“第一次得分多10分”，要少了.因此，第二次答错题数是(题).第一次答错(题).第一次得分(分).第二次得分 (分).【例 8】 某旅游点有儿童票、成人票两种规格的门票卖，儿童票的价格为30元，成人票的价格为40元，如果是团体还可以买平均
29、32元一位的团体票，一个由8个家庭组成的旅游团（每个家庭由两位大人，或两个大人、一个小孩组成）来景点旅游，如果他们买团体票那么可以比他们各买各的少花120元，问这个旅游团一共有多少人？ 【解析】 每个三口之家可以少花（元），每个二口之家可以少花（元），如果这8个家庭都是三口之家，那么一共少花（元），所以这8个家庭中有（个）家庭是二口之家，所以这个旅游团一共有（人）【巩固】 大、小猴共只，它们一起去采摘水蜜桃猴王不在时，一只大猴一个小时可采摘千克，一只小猴子一小时可摘千克；猴王在场监督的时候，每只猴子不论大小每小时都可以多采摘千克一天，采摘了小时，其中第一小时和最后一小时猴王在监督，结果共采摘了
30、千克水蜜桃在这个猴群中，共有小猴子多少只？【分析】 其实大猴子和小猴子就相当于鸡兔问题中的鸡和兔但是却有猴王来捣乱，所以我们先让猴王消失一天中，猴王监视了小时，假设猴王一直都不在，同猴王在时相比，每只猴子每小时都会少采千克，那样猴群只能采摘(千克)；这是一天也就是小时的工作量，据此可以求出这群猴每小时采(千克)；假设都是大猴子，应该每小时采摘(千克)，比实际多采了(千克)而每只小猴子被假设成大猴子，会多采(千克)因此可以求出小猴子有：(只)【例 9】 今年是1998年,父母年龄(整数)和是78岁,兄弟的年龄和是17岁.四年后(2002年)父的年龄是弟的年龄的4倍,母的年龄是兄的年龄的3倍.那么
31、当父的年龄是兄的年龄的3倍时,是公元哪一年？【解析】 4年后,两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25,父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作鸡头数,弟的年龄看作兔头数.25是总头数.86是总脚数.根据公式,兄的年龄是 (254-86)(4-3)=14(岁). 1998年,兄年龄是14-4=10(岁). 父年龄是 (25-14)4-4=40(岁). 因此,当父的年龄是兄的年龄的3倍时,兄的年龄是 (40-10)(3-1)=15(岁),这是2003年. 板块二、多个对象的“鸡兔同笼”【例 10】 有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对(蜘蛛8条腿；
32、蜻蜓6条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀)，求蜻蜓有多少只？【解析】 这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题.观察数字特点，蜻蜓、蝉都是6条腿，只有蜘蛛8条腿.因此，可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数.我们假设三种动物都是6条腿，则总腿数为(条)，所差(条)，必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的.所以，应有(只)蜘蛛.这样剩下的(只)便是蜻蜓和蝉的只数.再从翅膀数入手，假设13只都是蝉，则总翅膀数(对)，比实际数少 (对)，这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓只数可求(只).【巩固】 食品店上午卖出每千克为20元、25元、30元的3种糖果共100千克，共收入2570元已知其中售出
33、每千克25元和每千克30元的糖果共收入了1970元，那么，每千克25元的糖果售出了多少千克？【解析】 每千克25元和每千克30元的糖果共收入了1970元，则每千克20元的收入：元，所以卖出：千克，所以卖出每千克25元和每千克30克的糖果共千克，相当于将题目转换成：卖出每千克25元和每千克30克的糖果共70千克，收入1970元，问：每千克25元的糖果售出了多少千克？转换成了最基本的鸡兔同笼问题关键：将三种以及更多的动物/东西，转化为两种最基本模型。即：抓住转化后的“头”与“脚”。【巩固】 犀牛、羚羊、孔雀三种动物共有头26个，脚80只，犄角20只已知犀牛有4只脚、1只犄角，羚羊有4只脚，2只犄角
34、，孔雀有2只脚，没有犄角那么，犀牛、羚羊、孔雀各有几只呢？【解析】 这道题有三种不同的动物混合在一起，这样假设起来会比较麻烦，像前面的题一样，我们可以观察一下：虽然有三种不同的动物，但是犀牛和羚羊都是4只脚，这样，只看脚数，就可以把孔雀与这两种动物分开，转化成我们熟悉的“鸡兔同笼”问题，然后再通过犄角的不同，把犀牛和羚羊分开，也就是说我们需要做两次“鸡兔同笼”假设26只都是孔雀，那么就有脚：（只），比实际的少：（只），这说明孔雀多了，需要增加犀牛和羚羊每增加一只犀牛或羚羊，减少一只孔雀，就会增加脚数：（只）所以，孔雀有（只），犀牛和羚羊总共有（只）假设14只都是犀牛，那么就有犄角：（只），比实
35、际的少：（只），这说明犀牛多了羚羊少了，需要减少犀牛增加羚羊每增加一只羚羊，减少一只犀牛，犄角数就会增加：（只），所以，羚羊的只数：（只），犀牛的只数：（只）小结这道题出现了三种动物，关键是寻找不同动物的相同点，把三种动物化为两类，先使用“鸡兔同笼”问题的解法把另外特殊的一种区分出来，再使用另外条件区分具有相同点的动物【例 11】 (希望杯培训题)在一次考试中有选择题、填空题和解答题三类题共道选择题和填空题每题分，解答题每题分这次考试总分是分，其中选择题和解答题的分值比填空题多分，这次考试有多少道选择题？多少道填空题？多少道解答题？【解析】 选择题和填空题的分值一样，可以归为一类。如果这次考试
36、的道题全是解答题，则总分应是：(分)，但实际总分是分，所以选择题和填空题共有： (道)，解答题有：(道)选择题比填空题少：(分)，选择题有：(道)，填空题有：(道)【巩固】 商店出售大,中,小气球,大球每个3元,中球每个1.5元,小球每个1元.张老师用120元共买了55个球,其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多.问每种球各买几个？【解析】 因为总钱数是整数,大,小球的价钱也都是整数,所以买中球的钱数是整数,而且还是3的整数倍.我们设想买中球,小球钱中各出3元.就可买2个中球,3个小球.因此,可以把这两种球看作一种,每个价钱是 (1.52+13)(2+3)=1.2(元). 从公式可算出,大球个数
37、是 (120-1.255)(3-1.2)=30(个). 买中,小球钱数各是 (120-303)2=15(元). 可买10个中球,15个小球. 【巩固】 某商场为招揽顾客举办购物抽奖.奖金有三种:一等奖1000元,二等奖250元,三等奖50元.共有100人中奖,奖金总额为9500元.问二等奖有多少名？ 【解析】 假设全是三等奖，共有：9500/50=190（人）中奖，比实际多：190-100=90（人） 1000/50=20，也就是说：把20个三等奖换成一个一等奖，奖金总额不变，而人数减少了：20-1=19（人） 250/50=5，也就是说：把5个三等奖换成一个二等奖，奖金总额不变，而人数减少了
38、：5-1=4（人）。 因为多出的是90人，而：90=19*2+4*13. 即：要使总人数为100，只需要把20*2=40个三等奖换成2个一等奖，把5*13=65个三等奖换成13个二等奖就可以了。 所以，二等奖有13个人。【巩固】 有50位同学前往参观,乘电车前往每人1.2元,乘小巴前往每人4元,乘地下铁路前往每人6元.这些同学共用了车费110元,问其中乘小巴的同学有多少位？【解析】 由于总钱数110元是整数,小巴和地铁票也都是整数,因此乘电车前往的人数一定是5的整数倍. 如果有30人乘电车, 110-1.230=74(元). 还余下50-30=20(人)都乘小巴钱也不够.说明假设的乘电车人数少
39、了. 如果有40人乘电车 110-1.240=62(元). 还余下50-40=10(人)都乘地下铁路前往,钱还有多(62610).说明假设的乘电车人数又多了.30至40之间,只有35是5的整数倍. 现在又可以转化成鸡兔同笼了: 总头数 50-35=15, 总脚数 110-1.235=68. 因此,乘小巴前往的人数是 (615-68)(6-4)=11. 【巩固】 学校组织新年游艺晚会,用于奖品的铅笔,圆珠笔和钢笔共232支,共花了300元.其中铅笔数量是圆珠笔的4倍.已知铅笔每支0.60元,圆珠笔每支2.7元,钢笔每支6.3元.问三种笔各有多少支 ？【解析】 从条件铅笔数量是圆珠笔的4倍,这两种
40、笔可并成一种笔,四支铅笔和一支圆珠笔成一组,这一组的笔,每支价格算作 (0.604+2.7)5=1.02(元). 现在转化成价格为1.02和6.3两种笔.用鸡兔同笼公式可算出,钢笔支数是 (300-1.02232)(6.3-1.02)=12(支). 铅笔和圆珠笔共 232-12=220(支). 其中圆珠笔 220(4+1)=44(支). 铅笔 220-44=176(支). 【例 12】 某次数学考试考五道题,全班52人参加,共做对181道题,已知每人至少做对1道题,做对1道的有7人,5道全对的有6人,做对2道和3道的人数一样多,那么做对4道的人数有多少人？【解析】 对2道,3道,4道题的人共有
41、 52-7-6=39(人). 他们共做对181-17-56=144(道). 由于对2道和3道题的人数一样多,我们就可以把他们看作是对2.5道题的人(2+3)2=2.5).这样 兔脚数=4,鸡脚数=2.5, 总脚数=144,总头数=39. 对4道题的有 (144-2.539)(4-1.5)=31(人). 【例 13】 从甲地至乙地全长45千米,有上坡路,平路,下坡路.李强上坡速度是每小时3千米,平路上速度是每小时5千米,下坡速度是每小时6千米.从甲地到乙地,李强行走了10小时;从乙地到甲地,李强行走了11小时.问从甲地到乙地,各种路段分别是多少千米 【解析】 把来回路程452=90(千米)算作全
42、程.去时上坡,回来是下坡;去时下坡回来时上坡.把上坡和下坡合并成一种路程,根据例15,平均速度是每小时4千米.现在形成一个非常简单的鸡兔同笼问题.头数10+11=21,总脚数90,鸡,兔脚数分别是4和5.因此平路所用时间是 (90-421)(5-4)=6(小时). 单程平路行走时间是62=3(小时). 从甲地至乙地,上坡和下坡用了10-3=7(小时)行走路程是 45-53=30(千米). 又是一个鸡兔同笼问题.从甲地至乙地,上坡行走的时间是 (67-30)(6-3)=4(小时). 行走路程是34=12(千米). 下坡行走的时间是7-4=3(小时).行走路程是63=18(千米).【例 14】 一
43、些奇异的动物在草坪上聚会有独脚兽（1个头、1只脚）、双头龙（2个头、4只脚）、三脚猫（1个头、3只脚）和四脚蛇（1个头、4只脚）如果草坪上的动物共有58个头、160只脚，且四脚蛇的数量恰好是双头龙的2倍，那么其中独脚兽有几只？【解析】 把2个四脚蛇和1个双头龙捆绑在一起，则是4头12脚，即1头3脚，同三脚猫是一样的，所以可以假设都是1头3脚，则有358=174只脚，但只有160只脚，差了174-160=14只脚，替换：142=7只，故有7只独角兽。课后练习练习1. 动物园里有一群鸵鸟和大象,它们共有只眼睛和只脚，问：鸵鸟和大象各有多少？【解析】 由于每只动物有两只眼睛，由题意知：动物园里鸵鸟和
44、大象的总数为：，假设鸵鸟和大象一样也有只脚，则应该有只脚，多了只脚，由假设引起的差值：，则鸵鸟数为（只），大象数为（头）练习2. 鸡与兔共100只,鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只 ？【解析】 解一:假如再补上28只鸡脚,也就是再有鸡282=14(只),鸡与兔脚数就相等,兔的脚是鸡的脚42=2(倍),于是鸡的只数是兔的只数的2倍.兔的只数是 (100+282)(2+1)=38(只). 鸡是100-38=62(只). 当然也可以去掉兔284=7(只).兔的只数是 (100-284)(2+1)+7=38(只). 也可以用任意假设一个数的办法. 解二:假设有50只鸡,就有兔100-50=50
45、(只).此时脚数之差是 450-250=100, 比28多了72.就说明假设的兔数多了(鸡数少了).为了保持总数是100,一只兔换成一只鸡,少了4只兔脚,多了2只鸡脚,相差为6只(千万注意,不是2).因此要减少的兔数是 (100-28)(4+2)=12(只). 兔只数是 50-12=38(只). 练习3. 从前有座山，山里有个庙，庙里有许多小和尚，两个小和尚用一根扁担一个桶抬水，一个小和尚用一根扁担两个桶挑水，共用了38根扁担和58个桶，那么有多少个小和尚抬水？多少个挑水？【解析】 假设全是抬水，38根扁担应担38个桶，而实际上是58个桶，为什么少了（个）桶呢？因为当我们把一个挑水的当作抬水的就会少算（个）桶，所以有（人）在挑水，拾水的扁担数是（根），抬水的人数是（人）练习4. 某次考试有52人参加，共考5道题，每题做错人数的统计表如下图题号一二三四五做错人数46102039还知道每人都至少做对1道题，做对1道题的有7人，5道题全对的有6人，做对2道题和3道题的人数一样多那么做对4道题的人数是多少？【解析】 总共答对了：道题，做对2、3、4道题的人总共有：人，这39人总共答对了：道题可假设做对2道题的有1人，假设出错量：，所以假设正确，对二、三道题的各1人，对4道题的37人难点：给的是做错题的表，而条件给的是做对的条件。练习5. 某学校有30间宿舍，大宿舍每间