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1、精选优质文档-倾情为你奉上锐角三角函数 直角三角形【学习目标】：1.了解锐角三角函数(sinA，cosA，tanA)的概念，熟记特殊的30。，45。，60。角三角函数值；2能利用三角函数关系进行计算，理解三角函数的增减性；已知三角函数值求它对应的锐角。abc知识要点：1锐角三角函数(1) sin，cos，tan，cot叫做锐角的三角函数定义：sin_，cos_，tan_ ，cot_。(2) 锐角A的三角函数值的取值范围：sinA: cosA: tanA: cotA： (3) 若A+B=90，则= （4）若A+B=90, , ；2特殊角三角函数值304560sincostancot典型例题：例1
2、 在RtABC中，C=90,a5，c13，求sinA，cosA，tanA，cotA 例2 计算:+（-）-2例3 等腰ABC中，ABAC5，BC8，求底角B的四个三角函数值例4 矩形ABCD中AB10，BC8， E为AD边上一点，沿BE将ABE对折，点A正好落在DC边上的F处，求 tanDFEFDCBAE巩固练习题：1在ABC中，C90，BC2，sinA，则AC的长是（ ） A B3 C D2RtABC中，C=，AB=12，则sinA的值（ ）A B C D13在ABC中，C 90，tanA ，则sinB ( )A B C DB(0,4)A(3,0)0xy4若，则下列结论正确的为（ ）A 0
3、A 30 B30 A 45C 45 A 60 D60 A cosA CsinAtanADsinAcosA【答案】B14. (20011江苏镇江,6,2分)如图,在RtABC中，ACB=90,CDAB,垂足为D.若AC=,BC=2,则sinACD的值为( )A. B. C. D. 答案【 A】15. （2011湖北鄂州，9，3分）cos30=（ ）ABCD【答案】C16. （2011湖北荆州，8，3分）在ABC中，A120，AB4，AC2，则的值是ABCD【答案】D17. （2011湖北宜昌，11，3分）如图是教学用直角三角板，边AC=30cm，C=90，tanBAC=,则边BC 的长为( ).
4、 A. 30cm B. 20cm C.10cm D. 5cm （第11题图）【答案】C18. 二、填空题1. （2011江苏扬州，13,3分）如图，C岛在A岛的北偏东60方向，在B岛的北偏西45方向，则从C岛看A、B两岛的视角ACB= 【答案】1052. （2011山东滨州，16，4分）在等腰ABC中，C=90则tanA=_.【答案】13. （2011江苏连云港，14，3分）如图，ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=_.【答案】4. （ 2011重庆江津， 15，4分）在RtABC中,C=90,BC=5,AB=12,sinA=_.【答案】5. （2011江苏淮安，18，3分）如图，在R
5、tABC中，ABC=90，ACB=30，将ABC绕点A按逆时针方向旋转15后得到AB1C1，B1C1交AC于点D，如果AD=，则ABC的周长等于 .【答案】6. (2011江苏南京，11，2分)如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cosAOB的值等于_ (第11题)BAMO【答案】 7. （2011江苏南通，17，3分）如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得ACB30，D点测得ADB60，又CD60m，则河宽AB为 m（结果保留根号）. 【答案】30.8. （2011湖北武汉市，13，3分）sin30的
6、值为_【答案】9. (20011江苏镇江,11,2分)的补角是120,则=_,sin=_.答案:60，10（2011贵州安顺，14，4分）如图，点E(0，4)，O(0，0)，C(5，0)在A上，BE是A上的一条弦，则tanOBE= 第14题图【答案】三、解答题(1) 1. （2011安徽芜湖，17（1），6分）计算：.【答案】解：解: 原式 4分 6分2. （2011四川南充市，19，8分）如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，BCE沿BE折叠为BFE,点F落在AD上.(1)求证：ABEDFE;(2)若sinDFE=,求tanEBC的值.【答案】（1）证明：四边形ABCD是矩形A=D=C=9
7、0BCE沿BE折叠为BFEBFE=C=90AFB+DFE=180-BFE=90又AFB+ABF=90ABF=DFEABEDFE(2)解：在RtDEF中，sinDFE=设DE=a,EF=3a,DF=2a BCE沿BE折叠为BFECE=EF=3a,CD=DE+CE=4a,AB=4a, EBC=EBF 又由（1）ABEDFE，=tanEBF=tan EBC=tanEBF=3. （2011甘肃兰州，21，7分）已知是锐角，且sin(+15)=。计算的值。【答案】由sin(+15)=得=45原式=4. （2011甘肃兰州，26，9分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比
8、值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系。我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图在ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的。根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad60= 。（2）对于0A180，A的正对值sadA的取值范围是 。（3）如图，已知sinA，其中A为锐角，试求sadA的值。AABCCB图图【答案】（1）1（2）0sadA2（3）ACBDE设AB=5a，BC=3a，则AC=4a如图，在AB上取AD=AC=4a，作DEAC
9、于点E。则DE=ADsinA=4a=，AE= ADcosA=4a=CE=4a=sadA5. （2011广东东莞，19，7分）如图，直角梯形纸片ABCD中，ADBC，A90，C=30折叠纸片使BC经过点D点C落在点E处，BF是折痕，且BF= CF =8（l）求BDF的度数；（2）求AB的长【解】（1）BF=CF，C=，FBC=，BFC=又由折叠可知DBF=BDF=（2）在RtBDF中，DBF=，BF=8BD=ADBC，A=ABC=又FBC=DBF=ABD=在RtBDA中，AVD=，BD=AB=66. （2011湖北襄阳，19，6分）先化简再求值：，其中.【答案】原式2分 当时，3分原式.6分一、
10、选择题1. （2011湖北武汉市，10，3分）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，QON=30公路PQ上A处距离O点240米如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为A12秒 B16秒 C20秒 D24秒【答案】B2. （2011湖南衡阳，9，3分）如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m，则坡面AB的长度是（ ）A10m B10m C15m D5m【答案】A3. （2011山东东营，8，3分）河堤横断面如图所示，堤高BC5米，迎水坡AB的坡比1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之
11、比），则AC的长是（ ）A5米B10米C15米D10米【答案】A4. （2010湖北孝感，10，3分）如图，某航天飞船在地球表面P点的正上方A处，从A处观测到地球上的最远点Q，若QAP=，地球半径为R，则航天飞船距离地球表面的最近距离AP，以及P、Q两点间的地面距离分别是（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】B5. （2011宁波市，9，3分）如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为a，那么滑梯长l为A B C D hsina【答案】A7. （2011山东潍坊，10，3分）身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表（假设风筝线是拉直
12、的），则四名同学所放的风筝中最高的是（ ）同学甲乙丙丁放出风筝线长140m100m95m90m线与地面夹角30454560A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 【答案】D8. （2011四川绵阳10，3）周末，身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度.如图，小芳站在A处测得她看塔顶的仰角为45，小丽站在B处测得她看塔顶的仰角为30.她们又测出A、B两点的距离为30米。假设她们的眼睛离头顶都为10cm，则 可计算出塔高约为(结果精确到0.01，参考数据：=1.414，=1.73)A.36.21 米 B.37. 71 米C.40. 98 米 D.42.48 米【答案】
13、D二、填空题1. （2011山东济宁，15，3分）如图，是一张宽的矩形台球桌，一球从点（点在长边上）出发沿虚线射向边，然后反弹到边上的点. 如果，.那么点与点的距离为 . (第15题)【答案】2. （2011浙江衢州，13,4分）在一次夏令营活动中，小明同学从营地出发，要到地的北偏东60方向的处，他先沿正东方向走了200m到达地，再沿北偏东30方向走，恰能到达目的地(如图)，那么，由此可知，两地相距 m. （第13题）【答案】2003. （2011甘肃兰州，17，4分）某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1，坝外斜坡的坡度i=11，则两个坡角的和为 。【答案】754. （2011广东株
14、洲，11，3分）如图，孔明同学背着一桶水，从山脚A出发，沿与地面成30角的山坡向上走，送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家（B处），AB=80米，则孔明从A到B上升的高度BC是 米【答案】405. （2011浙江义乌，15，4分）右图是市民广场到解百地下通道的手扶电梯示意图其中AB、CD分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，ABC=135，BC的长约是m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是 m 135ABCDh【答案】56. (2011广东茂名，13，3分）如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45,则船与观测者之间的水平距离BC 米【答案
15、】1007. （2011湖北襄阳，14，3分）在207国道襄阳段改造工程中，需沿AC方向开山修路（如图3所示），为了加快施工速度，需要在小山的另一边同时施工.从AC上的一点B取ABD140，BD1000m，D50.为了使开挖点E在直线AC上，那么DE m.（供选用的三角函数值：sin500.7660，cos500.6428，tan501.192）图3【答案】642.88. （2011内蒙古乌兰察布，16，4分）某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯A射出的光线AB,AC 与地面MN 所夹的锐角分别为和，大灯A与地面离地面的距离为1m则该车大灯照亮地面的宽度BC是 m .（不考虑其它因素）第16
16、题图【答案】1.49. （2011重庆市潼南,16,4分）如图，某小岛受到了污染，污染范围可以大致看成是以点O为圆心，AD长为直径的圆形区域，为了测量受污染的圆形区域的直径,在对应O的切线BD（点D为切点）上选择相距300米的B、C两点，分别测得ABD= 30，ACD= 60，则直径AD= 米.（结果精确到1米）（参考数据： ）【答案】260三、解答题1. （2011浙江金华，19，6分）生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当5070（为梯子与地面所成的角），能够使人安全攀爬，现在有一长为6米的梯子AB，试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的最大高度AC.（结果保留两个有效数字，sin700.9
17、4，sin500.77，cos700.34，cos500.64）【解】由题意知，当越大，梯子的顶端达到的最大高度越大.因为当5070时，能够使人安全攀爬，所以当=70时AC最大.在RtABC中，AB=6米，=70，sin70=，即0.94，解得AC 5.6.答：梯子的顶端能达到的最大高度AC5.6米.2. （2011安徽，19，10分）如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度已知在离地面1500m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60和45求隧道AB的长（参考数据：=1.73）【答案】OA， OB=OC=1500， AB=（m）. 答：隧道AB的长约为635m3.
18、 （2011广东东莞，17，7分）如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路。现新修一条路AC到公路l小明测量出ACD=30,ABD=45,BC=50m请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度（精确到0.1m；参考数据：）【解】设小明家到公路的距离AD的长度为xm.在RtABD中，ABD=，BD=AD=x在RtABD中，ACD=，即解得小明家到公路的距离AD的长度约为68.2m. 8分4. （2011江苏扬州，25,10分）如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面O的圆心，支架CD与水平面AE垂直，
19、AB=150厘米，BAC=30，另一根辅助支架DE=76厘米，CED=60.(1)求垂直支架CD的长度。（结果保留根号）（2）求水箱半径OD的长度。（结果保留三个有效数字，参考数据：，） 【答案】解：（1）在RtDCE中，CED=60，DE=76， sinCED= DC=DEsinCED = 38 (厘米)答：垂直支架CD的长度为38厘米。 （2）设水箱半径OD=x厘米，则OC=(38+x)厘米，AO=(150+x)厘米，RtOAC中，BAC=30AO=2OC 即：150+x=2(38+x)解得：x=1507618.5218.5(厘米)答：水箱半径OD的长度为18.5厘米。5. （2011山东
20、德州20,10分）某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD的高度如示意图，由距CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为，在A和C之间选一点B，由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为测得A，B之间的距离为4米，试求建筑物CD的高度ACDBEFGACDBEFG【答案】解：设建筑物CD与EF的延长线交于点G，DG=x米 1分在中,，即 2分在中，即 3分， 5分 6分解方程得：=19.2 8分 答：建筑物高为20.4米 10分6. （2011山东威海，23，10分）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，ABCF，F=ACB=90, E=45,A=60,AC=10,试求CD的长【答案
21、】 解：过点B作BMFD于点M在ACB中，ACB=90, A=60,AC=10,ABC=30, BC=AC tan60=10,ABCF，BCM=30在EFD中，F=90, E=45,EDF=45,7. （2011山东烟台，21,8分）综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的宽度。如图所示是护城河的一段，两岸ABCD，河岸AB上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为10米.小明先用测角仪在河岸CD的M处测得=36，然后沿河岸走50米到达N点，测得=72。请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR（结果保留两位有效数字）.（参考数据：sin 360.59，cos 360.81，tan360.73，si
22、n 720.95，cos 720.31，tan723.08） ABCDEFMNR【答案】解：过点F作FGEM交CD于G.则MGEF20米. FGN36.GFNFGN723636.FGNGFN，FNGN502030（米）.在RtFNR中，FRFNsin30sin72300.9529（米）.8. (2011浙江绍兴，20，8分)为倡导“地摊生活”，常选择以自行车作为代步工具，如图1所示是一辆自行车的实物图，车架档与的长分别为45cm，60cm，且它们相互垂直，座杆的长为20cm，点在同一条直线上，且，如图2.第20题图2 （1）求车架档的长（2）求车座点到车架档的距离. （记过精确到1cm，参考数
23、据：）【答案】解（1）=75 cm车档架的长为75 cm（2）过点作，垂足为点，距离车座点到车档架的距离是63cm9. （2011浙江省，21，10分）图1为已建设封顶的16层楼房和其塔吊图，图2为其示意图，吊臂AB与地面EH平行，测得A点到楼顶D的距离为5m，每层楼高3.5m，AE、BF、CH都垂直于地面(1)求16层楼房DE的高度；(2)若EF=16m，求塔吊的高CH 的长（精确到0.1m）.【答案】据题意得：DE=3.516=56，AB=EF=16ACB=CBGCAB=15，ACB CABCB=AB=16. CG=BCsin30= 8CH=CG+HG=CG+DE+AD=8+56+5=69
24、.塔吊的高CH的长为69m.10（2011浙江台州，21,10分）丁丁要制作一个形如图1的风筝，想在一个矩形材料中裁剪出如图2 阴影所示的梯形翅膀，请你根据图2中的数据帮助丁丁计算出BE，CD的长度（精确到个位，） 【答案】解：在RtBEC中，BCE=30,EC=51，BE=30，AE=64 在RtAFD中，FAD=45,FD=FA=51，CD=645113 CD=13cm，BE=30cm.11. （2011浙江丽水，19，6分）生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当5070(为梯子与地面所成的角)，能够使人安全攀爬，现在有一长为6米的梯子AB，试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的最大高度AC
25、.(结果保留两个有效数字，sin700.94，sin500.77，cos700.34，cos500.64)【解】当=70时，梯子顶端达到的最大高度，sin=，AC = sin7060.946=5.645.6(米)答：人安全攀爬梯子时，梯子的顶端达到的最大高度约5.6米.12. （2011湖南常德，24，8分）青青草原上，灰太狼每天都想着如何抓羊，而且是屡败屡试，永不言弃.（如图7所示）一天，灰太狼在自家城堡顶部A处测得懒羊羊所在地B处的俯角为60，然后下到城堡的C处，测得B处的俯角为30.已知AC=40米，若灰太狼以5m/s的速度从城堡底部D处出发，几秒钟后能抓到懒羊羊？（结果精确到个位）图7
26、【答案】解：在RtBCD中，BCD=9030=60,则在RtABD中，ABD=60 即故约7秒钟后灰太狼能抓到懒羊羊.14. （2011湖南邵阳，20，8分）崀山成功列入世界自然遗产名录后，景区管理部门决定在八角寨假设旅游索道设计人员为了计算索道AB（索道起点为山脚B处，终点为山顶A处）的长度，采取了如图（八）所示的测量方法。在B处测得山顶A的仰角为16，查阅相关资料得山高AC=325米，求索道AB的长度。（结果精确到1米，参考数据sin160.28，cos160.96，tan160.29）【答案】解：AB=ACsin 16= 3250.281161米。15. （2011湖南益阳，18，8分）
27、如图8,AE是位于公路边的电线杆，为了使拉线CDE不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根水泥撑杆BD，用于撑起拉线已知公路的宽AB为8米，电线杆AE的高为12米，水泥撑杆BD高为6米，拉线CD与水平线AC的夹角为67.4求拉线CDE的总长L（A、B、C三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的大小忽略不计）(参考数据：，)EADBC图8【答案】解：在Rt中，（m）. ， ， （m）. （m）16. （2011江苏连云港，24，10分）如图，自来水厂A和村庄B在小河l的两侧，现要在A，B间铺设一条输水答道.为了搞好工程预算，需测算出A，B间的距离.一小船在点P处测得A在正北方向，B位于南
28、偏东24.5方向，前行1200m,到达点Q处，测得A位于北偏西49方向，B位于南偏西41方向.（1）线段BQ与PQ是否相等？请说明理由；（2）求A，B间的距离.（参考数据：cos410.75）【答案】(1)B位于P点南偏东24.5方向,BPQ=65.5,又B位于Q点南偏西41方向, PQB=49, PBQ=65.5, PQ=BQ(等角对等边),(2)点P处测得A在正北方向,在RtAPQ中,AQ=1600,由(1)得PQ=BQ=1200，在点Q处，测得A位于北偏西49方向，B位于南偏西41方向，AQB=90，在RtABQ中，AB=（m）.17. 18. （2011江苏苏州，25,8分）如图，小明
29、在大楼30米高（即PH=30米）得窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15，山脚B处得俯角为60，已知该山坡的坡度i（即tanABC）为1：，点P、H、B、C、A在同一个平面上.点H、B、C在同一条直线上，且PHHC.（1）山坡坡角（即ABC）的度数等于_度；（2）求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：1.732）.【答案】解：（1）30.（2）由题意得：PBH=60，APB=45.ABC=30，APB=90.在RtPHB中，PB=20，在RtPBA中，AB=PB=2034.6.答：A、B两点间的距离约34.6米.22. （2011山东聊城，21，8分）被誉为东昌三宝之首的铁
30、塔，始建于北宋时期，是我市现存的最古老的建筑，铁塔由塔身和塔座两部分组成（如图）为了测得铁塔的高度，小莹利用自制的测角仪，在C点测得塔顶E的仰角为45，在D点测得塔顶E的仰角为60，已知测角仪AC的高为16米，CD的长为6米，CD所在的水平线CGEF于点G（如图），求铁塔EF的高（结果精确到01米）【答案】设EGx米，在RtCEG中，ECG45，CEG45，ECGCEG，CGEG，x米，在RtDEG中，EDG60，tanEDB，DG，CGDGCD6， 6，解得x9，EFEGFG916158，所以铁塔高约为158米23. （2011山东潍坊，19，9分）今年“五一”假期，某数学活动小组组织一次登山活动.他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点，再从B点沿斜坡BC到达山顶C点，路线如图所示.斜坡AB的长为1040米，斜坡BC的长为400米，在C点测得B点的俯角为30,.已知A点海拔121米，C点海拔721米.（1）求B点的海拔；（2）求斜坡AB的坡度.【解】（1）如图所示，过点C作CFAM，F为垂足，过点B作BEAM