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1、精选优质文档-倾情为你奉上 北京市西城区2013 2014学年度第一学期期末试卷 高三数学（理科） 2014.1第卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1设集合，则集合（ ）（A）（B）（C）（D）2已知复数z满足，那么的虚部为（ ）（A）（B）（C）（D）3在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若，则（ ）（A）（B）（C）（D）i=1，S=0开始i=i+1输出S结束否是4执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ） （A）（B）（C）（D）5已知圆与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧的中点为M，则
2、过点M的圆C的切线方程是（ ）（A）（B）（C）（D）6 若曲线为焦点在轴上的椭圆，则实数,满足（ ）（A）（B）（C）（D）7定义域为R的函数满足，且当时，则当时，的最小值为（ ） （A） （B） （C） （D） A B A1 B1D CD1 C1P8. 如图，正方体的棱长为，动点P在对角线上，过点P作垂直于的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设x，则当时，函数的值域为（ ）（A）（B）（C）（D） 第卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分侧(左)视图29. 在平面直角坐标系中，点，若向量，则实数 _10若等差数列满足，则公差_；_ 11
3、已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为_A PBCO.12甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是_. （用数字作答）13 如图，为圆上的两个点，为延长线上一点，为圆的切线，为切点. 若，则_；_14在平面直角坐标系中，记不等式组所表示的平面区域为.在映射的作用下，区域内的点对应的象为点. （1）在映射的作用下，点的原象是 ；（2）由点所形成的平面区域的面积为_ 三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分13分）已知函数，且的最小正周
4、期为.（）若，求的值；（）求函数的单调增区间.16（本小题满分13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以表示 （）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求的值；（）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；甲组乙组8901a822（）当时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为，求随机变量的分布列和数学期望17（本小题满分14分）FBCEAHD如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF平面ABCD，BF=3， H是CF的中
5、点.（）求证：AC平面BDEF；（）求直线DH与平面所成角的正弦值；（）求二面角的大小.18（本小题满分13分）已知函数，其中是自然对数的底数，.（）求函数的单调区间；（）当时，试确定函数的零点个数，并说明理由.19（本小题满分14分）已知是抛物线上的两个点，点的坐标为，直线的斜率为k， 为坐标原点.（）若抛物线的焦点在直线的下方，求k的取值范围；（）设C为W上一点，且，过两点分别作W的切线，记两切线的交点为，求的最小值.20（本小题满分13分）设无穷等比数列的公比为q，且，表示不超过实数的最大整数（如）,记，数列的前项和为，数列的前项和为.（）若，求；（）若对于任意不超过的正整数n，都有，证
6、明：.（）证明：（）的充分必要条件为. 北京市西城区2013 2014学年度第一学期期末 高三数学（理科）参考答案及评分标准 2014.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1B 2C 3D 4B 5A 6C 7A 8D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9 10 11 12 13 14 注：第10、13、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15（本小题满分13分） （）解：因为的最小正周期为， 所以 ，解得 3分 由 ，得， 即 ， 4分 所以 ，. 因为 ， 所以. 6分（）解：函数 8
7、分 ， 10分由 ， 11分解得 12分所以函数的单调增区间为.13分16（本小题满分13分）（）解：依题意，得 ， 2分解得 . 3分（）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件， 4分依题意 ，共有10种可能. 5分由（）可知，当时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，所以当时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能 6分所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率 7分（）解：当时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有种， 它们是：， 9分则这两名同学成绩之差的绝对值的所有取值为. 10分因此，. 11分所以随机变量的分布列为：0123412分所以的数学期望13分
8、17（本小题满分14分）（）证明：因为四边形是菱形，所以 . 1分因为平面平面，且四边形是矩形， 所以 平面， 2分又因为 平面，所以 . 3分因为 ，所以 平面. 4分（）解：设，取的中点，连接，因为四边形是矩形，分别为的中点，所以 ，又因为 平面，所以 平面，由，得两两垂直.所以以为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系. 5分FBCEAHDOzNxy因为底面是边长为2的菱形，所以 ，. 6分因为 平面， 所以平面的法向量. 7分设直线与平面所成角为，由 ， 得 ，所以直线与平面所成角的正弦值为. 9分（）解：由（），得，.设平面的法向量为，所以 10分即 令，得.
9、11分由平面，得平面的法向量为，则. 13分由图可知二面角为锐角，所以二面角的大小为. 14分18.（本小题满分13分）（）解：因为，所以 2分令，得 3分当变化时，和的变化情况如下： 5分故的单调减区间为；单调增区间为 6分（）解：结论：函数有且仅有一个零点. 7分理由如下：由，得方程， 显然为此方程的一个实数解. 所以是函数的一个零点. 9分当时，方程可化简为. 设函数，则，令，得当变化时，和的变化情况如下：即的单调增区间为；单调减区间为所以的最小值. 11分因为 ， 所以，所以对于任意，因此方程无实数解所以当时，函数不存在零点.综上，函数有且仅有一个零点. 13分19（本小题满分14分）
10、（）解：抛物线的焦点为. 1分由题意，得直线的方程为， 2分令 ，得，即直线与y轴相交于点. 3分因为抛物线的焦点在直线的下方，所以 ，解得 . 5分（）解：由题意，设，联立方程 消去，得， 由韦达定理，得，所以 . 7分同理，得的方程为，. 8分对函数求导，得，所以抛物线在点处的切线斜率为，所以切线的方程为， 即. 9分同理，抛物线在点处的切线的方程为.10分联立两条切线的方程解得，所以点的坐标为. 11分因此点在定直线上. 12分因为点到直线的距离，所以，当且仅当点时等号成立 13分由，得，验证知符合题意.所以当时，有最小值. 14分20（本小题满分13分）（）解：由等比数列的，得，且当时
11、，. 1分 所以，且当时，. 2分 即 3分（）证明：因为 ，所以 ，. 4分因为 ，所以 ，. 5分 由 ，得 . 6分因为 ， 所以 ， 所以 ，即 . 8分（）证明：（充分性）因为 ， 所以 ， 所以 对一切正整数n都成立. 因为 ，所以 . 9分（必要性）因为对于任意的，当时，由，得；当时，由，得.所以对一切正整数n都有. 由 ，得对一切正整数n都有， 10分所以公比为正有理数. 11分假设 ，令，其中，且与的最大公约数为1. 因为是一个有限整数，所以必然存在一个整数，使得能被整除，而不能被整除.又因为，且与的最大公约数为1. 所以，这与（）矛盾.所以.因此，. 13分 专心-专注-专业