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1、精选优质文档-倾情为你奉上学生： 上课时间：三角函数的图象与性质 知识总结1、正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 2、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： 图象定义域值域最值当 时，；当 时，当时，；当时，既无最大值也无最小值最小正周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性 在上是增函数；在 上是减函数。 在上是增函数； 在上是减函数在 上是增函数对称性对称中心：对称轴:对称中心:对称轴:对称中心:无对称轴3、函数的性质：最大值是，最小值是，振幅, 周期是， 频率是， 相位是， 初相是.*对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。*求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函
2、数的标准式，要特别注意A、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；*求三角函数的周期的常用方法： 经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。*五点法作y=Asin（x+）的简图： 五点取法是设x=x+，由x取0、2来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。4由ysinx的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。途径一：先平移变换再周期变换
3、(伸缩变换) 先将ysinx的图象向左(0)或向右(0平移个单位，得到函数的图象； 再将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍(横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变）)(0)，便得的图象,再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象再将数的图象上各点整体向上（B0）或向下（B0）或向下（B0）平移B个单位，得到函数的图像。题型1：三角函数的定义域、值域例1 求下列函数的定义域：（1）y=lgsin(cosx);(2)y=.解 （1）要使函数有意义，必须使sin(cosx)0.-1cosx1,0cosx1.方法一 利用余弦函数的简图得知定义域为x|-+2k
4、x+2k,kZ.方法二 利用单位圆中的余弦线OM，依题意知0OM1,OM只能在x轴的正半轴上，其定义域为.（2）要使函数有意义，必须使sinx-cosx0.方法一 利用图象.在同一坐标系中画出0,2上y=sinx和y=cosx的图象，如图所示.在0，2内，满足sinx=cosx的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2,所以定义域为.方法二 利用三角函数线，如图MN为正弦线，OM为余弦线，要使sinxcosx,即MNOM，则x（在0，2内）.定义域为方法三 sinx-cosx=sin0，将x-视为一个整体，由正弦函数y=sinx的图象和性质可知2kx-+2k,解得2k+x+2k,kZ.所以定义域为
5、.题型2：三角函数的图象例2函数yxcosx的部分图象是（ ）解析：因为函数yxcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A、C，当x（0，）时，yxcosx0。答案为D。例3函数y=x+sin|x|，x，的大致图象是（ ）解析：由奇偶性定义可知函数y=x+sin|x|，x，为非奇非偶函数。选项A、D为奇函数，B为偶函数，C为非奇非偶函数。点评：利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。题型3：三角函数图象的变换例4试述如何由y=sin（2x+）的图象得到y=sinx的图象。解析：y=sin（2x+）另法答案：（1）先将y=sin
6、（2x+）的图象向右平移个单位，得y=sin2x的图象；（2）再将y=sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得y=sinx的图象；（3）再将y=sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到y=sinx的图象。例5 已知函数y=2sin,(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y=2sin的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到.解 （1）y=2sin的振幅A=2,周期T=，初相=.（2）令X=2x+,则y=2sin=2sinX.列表，并描点画出图象：（3）方法一 把y=sinx的图象上所有的点向左平移个
7、单位，得到y=sin的图象，再把y=sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到y=sin的图象，最后把y=sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到y=2sin的图象.方法二 将y=sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y=sin2x的图象；再将y=sin2x的图象向左平移个单位；得到y=sin2=sin的图象；再将y=sin的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y=2sin的图象.例6如图为y=Asin（x+）的图象的一段，求其解析式. 解 方法一 以N为第一个零点，则A=-，T=2=，=2，此时解析式为y
8、=-sin（2x+）.点N，-2+=0，=，所求解析式为y=-sin.方法二 由图象知A=，以M为第一个零点，P为第二个零点.列方程组 解之得.所求解析式为y=sin.例7（2002全国文5，理4）在（0，2）内，使sinxcosx成立的x取值范围为（ ）A（，）（，） B（，）C（，） D（，）（，）解析：C；解法一：作出在（0，2）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标和，由图1可得C答案。图1 图2解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C。（如图2）题型4：三角函数的单调性例8求下列函数的单调区间：（1）y=sin（）；（2）y=sin（x+）。分析：（
9、1）要将原函数化为y=sin（x）再求之。（2）可画出y=|sin（x+）|的图象。解：（1）y=sin（）=sin（）。故由2k2k+。3kx3k+（kZ），为单调减区间；由2k+2k+。3k+x3k+（kZ），为单调增区间。递减区间为3k，3k+，递增区间为3k+，3k+（kZ）。（2）y=|sin（x+）|的图象的增区间为k+，k+，减区间为k，k+。例9函数y=2sinx的单调增区间是（ ）A2k，2k（kZ） B2k，2k（kZ）C2k，2k（kZ） D2k，2k（kZ）解析：A；函数y=2x为增函数，因此求函数y=2sinx的单调增区间即求函数y=sinx的单调增区间。题型5：三角
10、函数的奇偶性、周期性例10（2008天津理，3）设函数f（x）=sin，xR，则f（x）是 （填序号）.最小正周期为的奇函数 最小正周期为的偶函数最小正周期为的奇函数 最小正周期为的偶函数答案 题型6：三角函数的最值例11设M和m分别表示函数y=cosx1的最大值和最小值，则M+m等于（ ）A B C D2解析：D；因为函数g（x）=cosx的最大值、最小值分别为1和1。所以y=cosx1的最大值、最小值为和。因此M+m=2。1.求f(x)=的定义域和值域.解 由函数1-cos0,得sinx,利用单位圆或三角函数的图象，易得所求函数的定义域是Z .当sinx=cos=时，ymin=0;当sin
11、x=cos=-1时，ymax=.所以函数的值域为0，.2.（1）求函数y=sin的单调递减区间；（2）求y=3tan的周期及单调区间.解 （1）方法一 令u=,y=sinu，利用复合函数单调性，由2k-2x+2k+(kZ),得2k-2x2k+（kZ),-k-x-k+ (kZ),即k-xk+（kZ).原函数的单调递减区间为 (kZ).方法二 由已知函数y=-sin,欲求函数的单调递减区间，只需求y=sin的单调递增区间.由2k-2x-2k+（kZ),解得k-xk+（kZ).原函数的单调递减区间为（kZ）.（2）y=3tan =-3tan,T=4,y=3tan的周期为4.由k-k+，得4k-x4k
12、+ (kZ),y=3tan的单调增区间是(kZ）y=3tan的单调递减区间是 (kZ).3.已知函数y=3sin（1）用五点法作出函数的图象；（2）说明此图象是由y=sinx的图象经过怎么样的变化得到的；（3）求此函数的振幅、周期和初相；（4）求此函数图象的对称轴方程、对称中心.解 （1）列表：描点、连线,如图所示：（2）方法一 “先平移，后伸缩”.先把y=sinx的图象上所有点向右平移个单位，得到y=sin的图象；再把y=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin的图象，最后将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin的
13、图象.方法二 “先伸缩，后平移”先把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sinx的图象；再把y=sinx图象上所有的点向右平移个单位，得到y=sin(x-)=sin的图象，最后将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin的图象.（3）周期T=4，振幅A=3，初相是-. (4)令=+k(kZ),得x=2k+(kZ),此为对称轴方程.令x-=k (kZ)得x=+2k(kZ).对称中心为(kZ).4.函数y=Asin(x+)(0,| ,xR)的部分图象如图所示，则函数表达 式为 .答案 y=-4sin5.已知函数f(x)=
14、Asinx+Bcosx (其中A、B、是实常数，且0)的最小正周期为2,并当x=时,f(x)取得最大值2.（1）函数f(x)的表达式；（2）在闭区间上是否存在f(x)的对称轴?如果存在,求出其对称轴方程;如果不存在,说明理由.解 （1）f(x)=Asinx+Bcosx=由T=2知=，又因为f（x）最大值为2，所以f（x）=2sin（x+）.由x=时f（x）max=2，得sin=1，=.f（x）=2sin.（2）令x+=k+（kZ）得对称轴方程为x=k+，由对称轴满足k+（kZ）即k且kZ，k=5.故在上f（x）只有一条对称轴.x=5+=，即对称轴方程为x=.一、填空题1.已知函数y=tanx在
15、内是减函数,则的范围是 .2.函数f(x)=tanx (0)的图象的相邻的两支截直线y=所得线段长为,则f（）的值是 .3.函数y=2sin（-2x）(x0，)为增函数的区间是 .4.（2008江苏，1）f(x)=cos(x-)最小正周期为，其中0，则= .5.某三角函数图象的一部分如下图所示，则该三角函数为 .6.（2008全国理，8）为得到函数y=cos的图象，只需将函数y=sin2x的图象向 平移 个单位长度.7.函数y=3sin的周期、振幅依次是 8.若函数f(x)=2sin()对任意x都有f=f，则f= .9.（2008辽宁理，16）已知f(x)=sin(0),f=f,且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则= .二、解答题10.已知x，若方程mcosx-1=cosx+m有解，试求参数m的取值范围.11.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是,且当x时，f（x）=sinx.（1）求当x-，0时，f(x)的解析式；（2）画出函数f(x)在-，上的函数简图；（3）求当f(x)时，x的取值范围.12.是否存在实数a，使得函数y=sin2x+acosx+a-在闭区间上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存在，说明理由.专心-专注-专业