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1、精选优质文档-倾情为你奉上计算电磁学简介一. 计算电磁学的重要性在现代科学研究中，“科学试验，理论分析，高性能计算”已经成为三种重要的研究手段。在电磁学领域中，经典电磁理论只能在11 种可分离变量坐标系中求解麦克斯韦方程组或者其退化形式，最后得到解析解。解析解的优点在于：可将解答表示为己知函数的显式，从而可计算出精确的数值结果;可以作为近似解和数值解的检验标准;在解析过程中和在解的显式中可以观察到问题的内在联系和各个参数对数值结果所起的作用。这种方法可以得到问题的准确解，而且效率也比较高，但是适用范围太窄，只能求解具有规则边界的简单问题。当遇到不规则形状或者任意形状边界问题时，则需要比较复杂的
2、数学技巧，甚至无法求得解析解。20 世纪60 年代以来，随着电子计算机技术的发展，一些电磁场的数值计算方法也迅速发展起来，并在实际工程问题中得到了广泛地应用，形成了计算电磁学研究领域，已经成为现代电磁理论研究的主流。简而言之，计算电磁学是在电磁场与微波技术学科中发展起来的，建立在电磁场理论基础上，以高性能计算机技术为工具，运用计算数学方法，专门解决复杂电磁场与微波工程问题的应用科学。相对于经典电磁理论分析而言，应用计算电磁学来解决电磁学问题时受边界约束大为减少，可以解决各种类型的复杂问题。原则上来讲，从直流到光的宽广频率范围都属于该学科的研究范围。近几年来,电磁场工程在以电磁能量或信息的传输、
3、转换过程为核心的强电与弱电领域中显示了重要作用。二. 电磁问题的分析过程电磁工程问题分析时所经历的一般过程为：三. 计算电磁学的分类(1) 时域方法与谱域方法电磁学的数值计算方法可以分为时域方法(Time Domain或TD)和频域方法(Frequeney Domain或FD)两大类。时域方法对Maxwell方程按时间步进后求解有关场量。最著名的时域方法是时域有限差分法(Finite Difference Time Domain或FDTD)。这种方法通常适用于求解在外界激励下场的瞬态变化过程。若使用脉冲激励源，一次求解可以得到一个很宽频带范围内的响应。时域方法具有可靠的精度，更快的计算速度，并
4、能够真实地反应电磁现象的本质，特别是在诸如短脉冲雷达目标识别、时域测量、宽带无线电通讯等研究领域更是具有不可估量的作用。频域方法是基于时谐微分、积分方程，通过对N个均匀频率采样值的傅立叶逆变换得到所需的脉冲响应，即研究时谐(Time Harmonic)激励条件下经过无限长时间后的稳态场分布的情况，使用这种方法，每次计算只能求得一个频率点上的响应。过去这种方法被大量使用，多半是因为信号、雷达一般工作在窄带。当要获取复杂结构时域超宽带响应时，如果采用频域方法，则需要在很大带宽内的不同频率点上的进行多次计算，然后利用傅立叶变换来获得时域响应数据，计算量较大；如果直接采用时域方法，则可以一次性获得时域
5、超宽带响应数据，大大提高计算效率。特别是时域方法还能直接处理非线性媒质和时变媒质问题，具有很大的优越性。时域方法使电磁场的理论与计算从处理稳态问题发展到能够处理瞬态问题，使人们处理电磁现象的范围得到了极大的扩展。频域方法可以分成基于射线的方法(Ray-based)和基于电流的方法(Current-based)。前者包括几何光学法(GO)、几何绕射理论(GTD)和一致性绕射理论(UTD)等等。后者主要包括矩量法(MoM)和物理光学法(PO)等等。基于射线的方法通常用光的传播方式来近似电磁波的行为，考虑射向平面后的反射、经过边缘、尖劈和曲面后的绕射。当然这些方法都是高频近似方法，主要适用于那些目标
6、表面光滑，其细节对于工作频率而言可以忽略的情况。同时，它们对于近场的模拟也不够精确。另一方面，基于电流的方法一般通过求解目标在外界激励下的感应电流进而再求解感应电流产生的散射场，而真实的场为激励场与散射场之和。基于电流的方法中最著名的是矩量法。矩量法严格建立在积分方程基础上，在数字上是精确的。其实，我们并不能判断它是一种低频方法或者是高频方法，只是矩量法所需要的存储空间和计算时间随未知元数的快速增长阻止了其对高频情况的应用，因而它只好被限定在低频至中频的应用上。物理光学法可以认为是矩量法的一种近似，它忽略了各子散射元间的相互祸合作用，这种近似对大而平滑的目标是适用的，但是目标上含有边缘、尖劈和
7、拐角等外形的部件时，它就失效了。当然，对于简单形状的物体，PO法还是一个常用的方法，毕竟，它的求解过程很迅速，并且所需的存储空间也非常少(O(N)。(2)积分方程法与微分方程法从求解的方程形式又可以分成积分方程法(IF)和微分方程法(DE)。IE法与DE法相比，特点如下：(1)IE法的求解区域维数比DE法少一维，误差仅限于求解区域的边界，故精度高；(2)IE法适宜于求解无限域问题，而DE法用于无限域问题的求解时则要遇到网格截断问题；(3)IE法产生的矩阵是满的，阶数小，DE法所产生的矩阵是稀疏的，但阶数大；(4)IE法难处理非均匀、非线性和时变煤质问题，而DE法则可以直接用于这类问题。因此，求
8、解电磁场工程问题的出发点有四种方式：频域积分方程(FDIE)、频域微分方程(FDDE)、时域微分方程(TDDE)和时域积分方程(TDIE)。计算电磁学也可以分成基于微分方程的方法(Differential Equation)和基于积分方程的方法(Integral Equation)两类。前者包括FDTD、时域有限体积法FVTD、频域有限差分法FDFD、有限元法FEM。在微分方程类数值方法中，其未知数理论上讲应定义在整个自由空间以满足电磁场在无限远处的辐射条件。但是由于计算机只有有限的存贮量，人们引入了吸收边界条件来等效无限远处的辐射条件，使未知数局限于有限空间内。即便如此，其所涉及的未知数数目
9、依然庞大(相比于边界积分方程而言)。同时，由于偏微分方程的局域性，使得场在数值网格的传播过程中形成色散误差。所研究的区域越大，色散的积累越大。数目庞大的未知数和数值耗散问题使得微分方程类方法在分析电大尺寸目标时遇到了困难。对于FEM方法，早期基于节点(Node-based)的处理方式非常有可能由于插值函数的导数不满足连续性而导致不可预知的伪解问题，使得这种在工程力学中非常成功的方法在电磁学领域内无法大展身手，直到一种基于棱边(Edge-based)的处理方式的出现后，这个问题才得以解决。积分方程类方法主要包括各类基于边界积分方程(Boundary Integral Equation)与体积分方
10、程(Volume Integral Equation)的方法。与微分类方法不同，其未知元通常定义在源区，比如对于完全导电体(金属)未知元仅存在于表面，显然比微分方程类方法少很多;而格林函数(Greens Function)的引入，使得电磁场在无限远处的辐射条件己解析地包含在方程之中。场的传播过程可由格林函数精确地描述，因而不存在色散误差的积累效应。(3)计算电磁学常用方法汇总 (4) 几种主要方法之间的比较 这里对计算电磁学中几种主要的数值方法进行简单的比较，即时域有限差分法(FDTD)、有限元(FEM)、矩量法(MoM)、多极子法(MMP)、几何光学绕射法(GTD)、物理光学绕射法(PTD)
11、和传输线法(TLM)。性能MoMGTD/PTDMMPFDTDFEMTLM使用求解的问题天线建模、线建模和表面结构、导线结构的问题大电尺寸结构的范围的应用直接计算，不需要中间步骤可以直接求解麦克斯韦方程电的和物体几何尺寸的特性可分开定义和处理所有的场分量可以在同一点进行计算数值建模特点可以对任意结构形状的物体上的电流结构建模在高频散射问题中非常有效，例如雷达散射截面问题不需要存储空间形状参数可以克服FDTD中必需的阶梯建模空间问题可用于非均匀煤质建模和分析适于计算电磁场的区域辐射条件允许求解在辐射物体外的任何地点的E和H场满足远区平面波近似的空间，节省计算机资源很容易对非均匀煤质的场问题建模适于
12、分析复杂结构，对内部EM问题建模有效适于分析复杂结构，对表面域建模很有效适于研究的问题计算天线参数、输入阻抗、增益、雷达问题对内部复杂煤质问题可以有效地建模可以对非均匀煤质问题建模比FDTD有较小的数值色散误差数值建模中存在的问题对内部区域建模问题困难大几乎不提供有关天线参数的信息场强以外的其它参数必须进行计算对无边界问题需要吸收边界条件处理对无边界问题需要对边界进行建模比FDTD使用更多的计算资源计算机实现遇到的问题在非均匀煤质中会遇到困难，要用大量的内部资源，所以，通常只用于低频问题只在高频有效，不能提供任何电流分布的情况计算密集型，占用的计算量和内存都很大，使用者必须熟悉多极子理论计算密
13、集型，有数值色散误差，内存量大计算密集型，处理开放区域内的封闭面上的未知场点问题难带宽受色散误差限制，不能解围绕散射体和需要大空间的问题计算场强以外的其它物理量的能力只能计算远区场计算场传播和电流分布等参数很难同FDTD(5) 多种方法的混合使用由于实际问题的多样性，单独使用以上介绍的方法可能并不能满足需要，比如涂敷介质的目标、印刷电路板及微带天线的辐射散射/EMC分析、带复杂腔体和缝隙结构的目标的散射等等。因此工程界常常将各种方法搭配起来使用，形成各种混合方法。常见的混合方法包括边界积分方程与体积分方程/微分方法混合、高频近似方法与低频精确方法的混合、解析方法与数值方法的混合等。高频方法与低
14、频方法的混合技术一般针对含有复杂细节的电大尺寸目标而提出的。由于完全使用低频的精确方法来处理电大尺寸部分往往超出了目前计算机的能力，而单纯使用高频方法又得不到足够精确的近场，所以这种分而治之的折中方案就出现了。常用的混合方法包括弹跳射线法/矩量法混合(SBR/MoM)、物理绕射理论/矩量法混合(PTD/MoM)、几何绕射理论/矩量法混合(GTD/MOM)等等。当然，引入了高频近似，赢得了速度和空间，同时在一定程度上也损失了精度。除了上述几种混合方法之外，将解析方法和数值方法混合也是一种非常有用的方法。比如二维非均匀介质电磁问题中将二维的数值计算转化为径向本征模式展开与纵向的解析递推的数值模式匹
15、配法(NMM)以及对于n维偏微分方程先使用(n一l)维数值离散转化为常微分方程后再用解析方法求其通解的直线法都是很好的例子。(6) 算法的快速求解快速算法：快速算法是为了解决矩量法求解过程中存储量和计算量过大的问题而出现的。近年来，许多学者致力于精确方法的快速求解以满足工程中日益增长的对电大尺寸复杂物体精确模拟之需要。由于矩量法产生的是一个满阵，存储量为O( N2)，采用直接求解的计算复杂度为O (N3)，采用迭代求解的计算复杂度为O( N2)，当未知量N增大的时候，存储量和计算量都会快速增加，这极大的限制了其求解能力。而某些基于矩量法的快速算法，如多层快速多极子算法，可以成功得将存储量和计算
16、复杂度分别降到O (N)和O (N logN)量级，极大的扩大了其求解能力。这些方法主要有基于分组思想的快速多极子方法（FMM），多层快速多极子算法（MLFMA），快速非均匀平面波算法（FIPWA），自适应积分方法（AIM），共轭梯度快速傅立叶变换（CG-FFT）等方法。并行计算，也称之为高性能计算，则是在现有的算法基础上，增加计算资源等硬件设施，把待求解的问题分解为许多小问题，分别在不同的处理器上求解，通过网络等方式实现进程间的通信，最后得到需要的解，从而实现联合求解大问题。并行计算机从上世纪中期出现以来，出现了很多种不同的体系，主要有并行向量机（PVP），对称多处理机（SMP），大规模并行
17、处理机（MPP），集群（Cluster），分布式共享存储多处理机（DSM）等。下面就几种最主要的计算电磁学数值方法进行简单的介绍：一. 有限元(1)历史有限元方法是在20 世纪40 年代被提出, 在50 年代用于飞机设计。后来这种方法得到发展并被非常广泛地应用于结构分析问题中。目前, 作为广泛应用于工程和数学问题的一种通用方法, 有限元法已非常著名。(2)原理有限元法是以变分原理为基础的一种数值计算方法。应用变分原理, 把所要求解的边值问题转化为相应的变分问题, 利用对场域的剖分、插值, 离散化变分问题为普通多元函数的极值问题, 进而得到一组多元的代数方程组, 求解代数方程组就可以得到所求边值
18、问题的数值解。一般要经过如下步骤:区域离散化。即将场域或物体分为有限个子域，如三角形、四边形、四面体、六面体等；选择插值函数。选择插值函数的类型如多项式，用结点(图形定点)的场值求取子域各点的场的近似值。插值函数可以选择为一阶(线性)、二阶(二次)、或高阶多项式。尽管高阶多项式的精度高，但通常得到的公式也比较复杂；方程组公式的建立。可以通过里兹方法或者迦辽金方法建立； 选择合适的代数解法求解代数方程, 即可得到待求边值问题的数值解。(3)特点最终求解的线性代数方程组一般为正定的稀疏系数矩阵；特别适合处理具有复杂几何形状物体和边界的问题；方便于处理有多种介质和非均匀连续煤质问题；便于计算机实现，
19、可以做成标准化的软件包。(4)相应的商业软件介绍Ansof t HFSS软件Ansoft HFSS 是美国Ansoft 公司开发的一种三维结构电磁场仿真软件,可分析仿真任意三维无源结构的高频电磁场,并直接得到特征阻抗、传播常数、S 参数及电磁场、辐射场、天线方向图等结果。该软件被广泛应用于无线和有线通信、计算机、卫星、雷达、半导体和微波集成电路、航空航天等领域。Ansoft HFSS 采用自适应网格剖分、AL PS 快速扫频、切向元等专利技术,集成了工业标准的建模系统,提供了功能强大、使用灵活的宏语言,直观的后处理器及独有的场计算器,可计算分析显示各种复杂的电磁场,并可利用Optimetric
20、s 对任意参数进行优化和扫描分析。使用Ansoft HFSS 还可以计算:1) 基本电磁场数值解和开边界问题,近远场辐射问题;2) 端口特征阻抗和传输常数;3) S 参数和相应端口阻抗的归一化S 参数;4) 结构的本征模或谐振解等ANSYS Emax软件ANSYS Emax 是ANSYS 公司的高频电磁场分析产品。应用领域包括:射频/ 微波无源器件、射频/微波电路、电磁干扰与电磁兼容( EMI/ EMC) 、天线设计和目标识别。ANSYS Emax 支持有限元计算区域所有结果的静态和动画显示。包含:电磁场强度、品质因素、S 参数、电压、特征阻抗、雷达截面积(RCS) 、模型区域的远场和近场、天
21、线方向图、焦耳热损耗。ANSYS Emax7. 1 还提供新的计算功能:1) 频段内快速扫频计算,用于S 参数的快速提取;2) 天线各项拓展指标(增益、辐射功率、方向图、效率) 的计算;3) N 端口网络S 参数自动提取;4) 热效应分析;5) S 参数的Touch Stone 格式文件输出;6) RCS极化方向选择。(5)数值例子图1 正方形光子晶体谐振腔受到时域有限差分算法研究的带动，将有限元引入到时域是目前研究的一个热点。例如文章(V. F. Rodrguez-Esquerre, Masanori Koshiba, and H. E. Hernndez-Figueroa, “Finite
22、-Element Time-Domain Analysis of 2-D Photonic Crystal Resonant Cavities,” IEEE Photonics Technology Letters, vol. 16, no. 3, pp. 816-818, March 2004)就利用时域有限元来研究光子晶体谐振腔。图2 在y=z=0处的电场随时间的变化情况，区域A表示位于激励中，区域B表示关掉激励后图3 腔中的能量谱表明在归一化频率0.378处出现谐振图4 经过1024fs之后，谐振模式的电场分布情况 二. 矩量法 (1)历史 矩量法是计算电磁学中最为常用的方法之一。自从二
23、十世纪六十年代Harrington提出矩量法的基本概念以来，它在理论上日臻完善，并广泛地应用于工程之中。特别是在电磁辐射与散射及电磁兼容领域，矩量法更显示出其独特的优越性。(2)原理矩量法的基本思想是将几何目标剖分离散，在其上定义合适的基函数，然后建立积分方程，用权函数检验从而产生一个矩阵方程，求解该矩阵方程，即可得到几何目标上的电流分布，从而其它近远场信息可从该电流分布求得。矩量法可以分为三个基本的求解过程：离散化过程在这一过程中的主要目的是在于将算子方程化为代数方程。针对算子方程中算子的定义域适当地选择一组线性无关的基函数(或称为展开函数)，将未知函数在算子的定义域内展开为基函数的线性组合
24、，并且取有限项近似，即：。再将此式代入到算子方程中，利用算子的线性性质，将算子方程转化为代数方程，即。于是，求解未知函数的问题就转化为求解系数的问题。取样检验过程为了使未知函数的近似函数与之间的误差极小，必须进行取样检验，在抽样点上使加权平均误差为零，从而确定未知系数。在算子的值域内适当选择一组线性无关的权函数(又称为检验函数)，将其与上述代数方程取内积进行抽样检验，即。利用算子的线性和内积性质，将其化为矩阵方程，得到。于是求解代数方程的问题就转化为求解矩阵方程的问题。矩阵的求逆过程一旦得到了矩阵方程，通过常规的矩阵求逆或求解线性方程组，就可以得到矩阵方程的解，从而确定展开系数，得到原算子方程
25、的解。(3)特点矩量法是基于电磁场积分方程的数值方法，积分方程的主要优点在于，一方面由于格林函数的引入，电磁场在无限远处的辐射条件已经解析的包含在积分方程之中，这样未知量之间的关系可以准确的得到，避免数值色散；另一方面，它产生的未知数的数目一般都比微分类方程少很多，比较适用于计算电大尺寸的电磁散射。它是一种精确方法，其结果精度仅仅受到计算精度和计算模型精度的限制，因此它可以实现任意需要精度下的计算和求解； 它是一种稳定的计算方法，在整个矩量法的求解过程中，不易出现类似于其它计算方法计算过程中出现的“伪解”问题，同时它所得到的矩阵条件数好，求解、求逆容易；对于金属表面，矩量法可以利用边界条件，直
26、接简化计算，从而导出金属表面的积分方程，而其它方法则往往要完全计算整个实体的场分布，这就体现出矩量法在分析金属表面问题时的优越性。由于矩量法的全局性，矩量法所产生的矩阵为稠密矩阵，这样经典矩量法的数据存储量和计算复杂度都很高。因此快速算法的研究成为矩量法应用研究中的一个热点；(4)相应的商业软件介绍 Agilent ADS软件 Agilent ADS 是美国安捷伦公司在HP EESOF系列EDA 软件基础上发展完善起来的大型综合设计软件,为系统和电路设计人员提供可开发各种形式射频设计的有力工具,应用面涵盖从射频/ 微波模块到集成MMIC。该软件可以在微机上运行,其前身是工作站运行版本MDS (
27、Microwave Design System) 。ADS 软件还提供了一种新的滤波器设计指导,可以使用智能化用户界面来分析和综合射频/ 微波电路,并可对平面电路进行场分析和优化。它允许用户定义频率范围、材料特性、参数的数量和根据用户的需要自动产生关键的无源器件模型。该软件范围涵盖了小至元器件芯片,大到系统级的设计和分析。尤其可在时域或频域内实现对数字或模拟、线性或非线性电路的综合仿真分析与优化,并可对设计结果进行成品率分析与优化,提高了复杂电路的设计效率,使之成为设计人员的有效工具 Sonnet软件Sonnet 软件公司是全球领先的以电磁场技术为核心的电子设计自动化专业软件商。其主要业务是开
28、发、推广并在技术上支持它的高端技术软件产品。Sonnet 公司开发的3D 平面电磁场分析软件,凭借其在单层和多层平面电路和天线上的精确、快速的分析能力,赢得了世界上几百家客户的赞誉。Sonnet 是一种基于矩量法的电磁仿真软件,提供面向3D 的高频电路设计,以及在微波、毫米波领域和电磁兼容/ 电磁干扰设计的EDA 工具。Sonnet应用于高频电磁场分析, 频率从1MHz 到数十GHz。主要应用有:微带匹配网络、微带电路、微带滤波器、带状线电路、带状线滤波器、过孔(层的连接或接地) 、耦合线分析、PCB 板电路分析、PCB 板电磁干扰分析、桥式螺线电感器、平面高温超导电路分析、毫米波集成电路(
29、MMIC) 设计和分析、混合匹配的电路分析、HDI 和L TCC 转换、单层或多层传输线的精确分析、多层的平面电路分析、单层或多层的平面天线分析、平面天线阵分析、平面耦合孔的分析等。IE3D软件IE3D 是Zeland 公司开发的一种基于矩量法的电磁场仿真工具,可以解决多层介质环境下三维金属结构的电流分布问题。它利用积分的方式求解Maxwell 方程组,从而解决电磁波效应、不连续性效应、耦合效应和辐射效应问题。仿真结果包括S、Y、Z参数、VSWR、RLC 等效电路、电流分布、近场分布和辐射方向图、方向性、效率和RCS 等。IE3D在微波/ 毫米波集成电路(MMIC) 、RF 印制板电路、微带天
30、线、线天线和其它形式的RF 天线、HTS 电路及滤波器、IC 的互联和高速数字电路封装方面是一个非常有用的工具。Microwave Off ice软件Microwave Office 软件是Applied Wave Research 公司开发的高频电磁仿真软件,是通过两个模拟器来对微波平面电路进行模拟和仿真的。对于由集总元件构成的电路,用电路的方法来处理较为简便。该软件设有“VoltaireXL”模拟器用来处理集总元件构成的微波平面电路问题。而对于由具体的微带几何图形构成的分布参数平面电路则采用场的方法较为有效,该软件采用“EMSight”模拟器处理任何多层平面结构的三维电磁场问题。“Volt
31、aireXL”模拟器内设一个元件库,在建立电路模型时,可以调出微波电路所用的元件,其中无源器件有电感、电阻、电容、谐振电路、微带线、带状线、同轴线等等,非线性器件有双极晶体管、场效应晶体管、二极管等等。“EMSight”模拟器是一个三维电磁场模拟程序包,可用于平面高频电路和天线结构的分析。其特点是把修正谱域矩量法与直观的视窗图形用户界面(GUI) 技术结合起来,使得计算速度加快许多。它可以分析射频集成电路(RFIC) 、微波单片集成电路(MMIC) 、微带贴片天线和高速印制电路( PCB)等的电气特性。FEKO软件FEKO 是Ansys 公司开发的以矩量法为核心算法的高频电磁仿真软件。由于其基
32、于严格的积分方程方法,因此只要硬件条件许可,就可以求解任意复杂结构的电磁问题。为了在当前的计算机硬件条件下完成大尺寸复杂结构(一般从数值计算的角度定义为,待分析目标尺寸超过10 个波长) 的计算,本软件还提供了专用于大尺寸问题的高频方法物理光学方法(PO) 和一致性几何绕射理论(U TD) 。FEKO 真正实现了MM 方法和PO/ U TD 的混合,因此完全可以根据用户的需要进行快速精确的电磁计算。当问题的电尺寸太大时,就可考虑使用本产品的混合方法来进行仿真模拟。对关键性的部位使用矩量法,对其他重要的区域(一般都是大的平面或者曲面) 使用PO 或者U TD。根据不同的电磁问题,对混合方法进行组
33、合,可按用户需要得到满意的精度和速度。另外,对PO 方法,FEKO 使用了棱边修正项和模拟凸表面爬行波的福克电流。根据计算机硬件条件和待求解问题精度要求的不同,FEKO 软件可以求解成百上千个波长的电磁问题。(5)数值例子利用矩量法对波长为0.70m的P波段抛物柱面天线进行分析和计算。(张云华，“P 波段抛物柱面天线的矩量法分析，” 遥感技术与应用，vol. 21, no.2, pp.98-102, Apr. 2006)图2 馈源阵列偏离聚焦线时天线增益方向图的变化情况馈源振子的直径为d= 2 cm图1 抛物柱面天线示意图三. 时域有限差分算法(1)历史从Yee 于1966 年在解决电磁散射问
34、题中时候提出最初思想到现在，时域有限差分算法已经经过了近四十年的发展。在此期间，人们不断提出新的思想和方法来克服时域有限差分算法的以上缺点。例如，在时间步进算法上，除了传统的Leap-Frog算法，还发展了线性多步时间步进算法如Staggered Backward differentiation time integrator 和staggered Adams-Bashforth time integrator 、单步时间步进算法如Runge-Kutta 算法和Symplectic integrator propagator、伪谱算法如采用Laguerre多项式、交替方向隐式时间步进算法，等等
35、；在空间离散上，除了传统的基于Taylor级数展开定理的中心对称有限差分格式，还发展了Discrete Singular Convolution (DSC)格式、Nonstandard finite difference、基于窗函数法的中心对称有限差分格式、最优有限差分格式、FFT，等等。至此，时域有限差分算法已经形成了庞大的一个算法族。(2)原理时域有限差分(FDTD) 是电磁场的一种时域计算方法。传统上电磁场的计算主要是在频域上进行的, 这些年以来, 时域计算方法也越来越受到重视。它已在很多方面显示出独特的优越性, 尤其是在解决有关非均匀介质、任意形状和复杂结构的散射体以及辐射系统的电磁问
36、题中更加突出。FDTD 法直接求解依赖时间变量的麦克斯韦旋度方程, 利用二阶精度的中心差分近似把旋度方程中的微分算符直接转换为差分形式, 这样达到在一定体积内和一段时间上对连续电磁场的数据取样压缩。电场和磁场分量在空间被交叉放置, 这样保证在介质边界处切向场分量的连续条件自然得到满足。在笛卡儿坐标系电场和磁场分量在网格单元中的位置是每一磁场分量由4 个电场分量包围着, 反之亦然。这种电磁场的空间放置方法符合法拉第定律和安培定律的自然几何结构。因此FDTD 算法是计算机在数据存储空间中对连续的实际电磁波的传播过程在时间进程上进行数字模拟。而在每一个网格点上各场分量的新值均仅依赖于该点在同一时间步
37、的值及在该点周围邻近点其他场前半个时间步的值。这正是电磁场的感应原理。这些关系构成FDTD 法的基本算式, 通过逐个时间步对模拟区域各网格点的计算, 在执行到适当的时间步数后, 即可获得所需要的结果。(3)特点直接时域计算。FDTD直接把含时间变量的Maxwell旋度方程在Yee氏网格空间中转换为差分方程。在这种差分格式中每个网格点上的电场(或磁场)分量仅与它相邻的磁场(或电场)分量及上一时间步该点的场值有关。在每一时间步计算网格空间各点的电场和磁场分量，随着时间步的推进，即能直接模拟电磁波及其与物体的相互作用过程。FDTD把各类问题都作为初值问题来处理，使电磁波的时域特性被直接反映出来。这一
38、特点使它能直接给出非常丰富的电磁场问题的时域信息，给复杂的物理过程描绘出清晰的物理图像。如果需要频域信息，则只需对时域信息进行Fouricr变换。为获得宽频带的信息，只需在宽频谱的脉冲激励下进行一次计算。广泛的适用性。由于FDTD的直接出发点是概括电磁场普遍规律的Maxwell方程，这就预示着这一方法具有最广泛的适用性。近几年的发展完全证实了这点。从具体的算法看，在FDTD的差分式中被模拟空间电磁性质的参量是按空间网格给出的，因此，只需设定相应空间点以适应参数，就可模拟各种复杂的电磁结构。媒质的非均匀性、各向异性、色散特性和非线性等能很容易地进行精确模拟。由于在网格空间中电场和磁场分量是被交叉
39、放置的，而且计算用差分代替了微商，使得介质交界面上的边界条件能自然得到满足，这就为模拟复杂的结提供了极大的方便，任何问题只要能正确地对源和结构进行模拟，FDTD就应该给出正确解答，不管是散射、辐射、传输、透入或吸收中的哪一种，也不论是瞬态问题还是稳态问节约计算机的存储空间和计算时间。很多复杂的电磁场问题不能计算往往不是没有可选用的方法，而是计算条件的限制。当代电子计算机的发展方向是运用并行处理技术，以进一步提高计算速度。并行计算机的发展推动了数值计算中并行处理的研究，适合并行计算的发展将更多地发挥作用。如前面所指出的，FDTD的计算特点是，每一网格点上的电场(或磁场)只与其周围相邻点处的磁场(
40、或电场)及其上一时间步的场值有关，这使得它特别适合并行计算。施行并行计算可使FDTD所需的存储空间和计算时间减少为只与N1/3成正比。计算程序的通用性。由于Maxwell方程是FDTD计算任何问题的数学模型，因而它的基本差分方程对广泛的问题是不变的。此外，吸收边界条件和连接条件对很多问题是可以通用的，而计算对象的模拟是通过给网格赋予参数来实现，对以上各部分没有直接联系，可以独立进行。因此一个基础的FDTD计算程序，对广泛的电磁场问题具有通用性，对不同的问题或不同的计算对象只需修改有关部分，而大部分是共同的。简单、直观、容易掌握。由于FDTD直接从Maxwell方程出发，不需要任何导出方程，这样
41、就避免了使用更多的数学工具，使得它成为所有电磁场计算方法中最简单的一种。其次，由于它能直接在时域中模拟电磁波的传播及其与物体作用的物理过程，所以它又是非常直观的一种方法。由于它既简单又直观，掌握它就不是件很困难的事情，只要有电磁场的基本理论知识，不需要数学上的很多准备，就可以学习运用这一方法解决很复杂的电磁场问题。这样，这一方法很容易得到推广，并在很广泛的领域发挥作用。(4)相应的商业软件介绍CST MICROWAVE STUDIO 仿真软件CST MICROWAVE STUDIO 是Computer Simulation Technology 公司专门开发的高频电磁场问题EDA 工具,是基于
42、PC 机Windows 环境下的仿真软件, 主要应用在复杂和更高频的谐振结构。CST 通过散射参数把电磁场元件结合在一起,把复杂的系统分离成更小的子单元,通过对系统每一个单元行为的S 参数的描述,可以进行快速的分析,并且降低系统所需的内存。CST 考虑了在子单元之间高阶模式的耦合,由于系统的有效分割而没有影响系统的准确性。CST MICROWAVE STUDIO可以应用在仿真电磁场领域,分析大多数高频电磁场问题,包括移动通信、无线设计、信号完整性和电磁兼容( EMC)等。具体应用范围包括耦合器、滤波器、平面结构电路、连接器、IC封装、各种类型天线、微波元器件、蓝牙技术和电磁兼容/ 干扰等。CS
43、T具有以下特点:1)采用近乎完美的边界条件逼近(PBA)方法; 2)可视的图形化用户界面( GUI) 使CST MWS 更加易于学习和使用;3)自动输入CAD 数据节省了大量时间;4)通过先进的优化软件包对产品进行优化处理,使设计师快速得到需要的结构尺寸。FIDELITY软件FIDEL ITY是Zeland 公司开发的基于非均匀网格的时域有限差分方法的三维电磁场仿真软件,可以解决具有复杂填充介质求解域的场分布问题。仿真结果包括S、Y、Z参数、VSWR、RLC等效电路、近场分布、坡印廷矢量和辐射方向图等。FIDELITY可以分析非绝缘和复杂介质结构的问题。它在微波/ 毫米波集成电路(MMIC)、
44、RF印制板电路、微带天线、线天线和其它形式的RF 天线、HTS电路及滤波器、IC 的内部连接和高速数字电路封装,EMI 及EMC 方面得到应用。FIDEL ITY的特点有:1)可对三维金属和非绝缘介质结构进行建模;2)高效非均匀网格的FDTD仿真引擎;3)能方便地对分析目标进行排列定位和几何结构的编辑与检查;4)可对非各向同性介质填充的同轴波导和矩形波导进行建模;5)具有自动网格生成功能、网格优化功能和对输入的几何结构进行单独网格生成功能;6)预定义同轴、微带、矩形波导和用户定义端口; 7) 不同边界条件的实现(如PML) ;8) 集成的预处理和后处理功能,包括S 参数提取和时域信号显示;9)
45、 辐射方向图的计算、近场动态显示功能;10) 具有切片显示功能的三维和二维电场、磁场及坡印廷矢量的显示;11) 平面波激励和SAR 计算功能。IMST Empire软件IMST Empire 是一种3D 电磁场仿真软件,是基于3D 的时域有限差分方法。它的应用范围从分析平面结构、互联、多端口集成到微波波导、天线、EMC 问题。Empire 基本覆盖了RF 设计3D 场仿真的整个领域。根据用户定义的频率范围,一次仿真运行就可以得到散射参数、辐射参数和辐射场图。对于结构的定义,3D 编辑器集成到EMPIRE 软件中。AutoCAD 是流行的机械画图工具,可以在Empire 环境中使用。监视窗口和动
46、画可以给出电磁波现象,并获得准确结果。(5)数值例子图1 同轴馈电的矩形贴片天线。其中长度L、宽度W和馈电位置x是需要优化的参数文章(Nanbo Jin, Yahya Rahmat-Samii, “Parallel particle swarm optimization and Finite-Difference Time-Domain (PSO/FDTD) algorithm for multiband and wide-band patch antenna designs,” IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol.53, no. 11, pp. 3459-3468, Nov. 2005)将粒子群优化算法(particle swarm optimization, PSO)和时域有限差分算法结合起来对多通带的宽带的天线进行优化。图2 所得到的两个优化天线的相关参数图2 两种优化矩形贴片天线的S11曲线。它们都在频率f=3.1GHz处谐振 专心-专注-专业