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1、精选优质文档-倾情为你奉上笫9讲 函数的单调性ABCDE一【学习目标】1.了解单调函数、单调区间的概念；2.理解函数单调性的概念：并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间；3.掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性.二【知识梳理】1.从直观上看：函数图象从左向右看，在某个区间上，图象是上升的，则此函数在这个区间上是_ _ _，若图象是下降的，则此函数在这个区间上是_2.增函数与减函数：定义：设函数的定义域为，区间，对于区间上的任意两个自变量的值：若当时，都有,则说在区间上是增函数（如图1）；若当,则说在区间上是减函数.（如图2）yx0x1x2f(
2、x1)f(x2)y=f(x)图1yx0x1x2f(x1)f(x2)y=f(x)图23.单调性与单调区间：若函数在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.点拨：函数的单调区间是其定义域的子集；应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）；除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“, ”改为“或,”即可；4.两个结论：（1）若f(x)在（a,b）上是增函数，则当x1
3、、x2,（a,b）时，f(x1)f(x2)_（2）若f(x)在（a,b）上是减函数，则当x1、x2,（a,b）时，f(x1)f(x2)_提问：能否说函数在定义域上是减函数？5常见函数的单调性：（1）一次函数的单调性：单调递增，单调递减如：若函数在上是减函数，则的取值范围是_.（2）反比例函数的单调性：时，在区间上分别是减函数；时，在区间上分别是增函数.（3）二次函数的单调性：时，在_单调递增，在_单调递减；时，在_单调递增，在_单调递减；如：函数，上的单调性是_.已知函数在1，+）上递增，那么的取值范围是_.（4）双勾函数的单调性：在上递减；在上递增如：函数在上是减函数；在1，+）上是增函数.
4、（5）复合函数单调性的判断法则：_三【典例精析】例1.如右图：是定义在闭区间-5，5上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.解：函数的单调区间有-5，-2)，-2，1)，1，3)，3，5，其中在区间-5，-2)，1，3)上是减函数，在区间-2，1)，3，5上是增函数.说明：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端
5、点都可以.还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不能包括不连续点.求证：例2.求函数的单调区间。例3.证明：函数在(0,+)上是减函数.证明：设,是(0,+)上的任意两个实数，且0,又由0,于是0,即.在(0,+ )上是减函数.例4讨论函数在(-2,2)内的单调性.解：，对称轴 若,则在(-2,2)内是增函数；若则在(-2,a)内是减函数,在a,2内是增函数若,则在(-2,2)内是减函数.例5.已知在区间（-2，+）上是减函数，求m的取值范围。例6.求函数的最大值。点拨：讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域;
6、根据定义证明函数单调性的一般步骤是：设,是给定区间内的任意两个值，且0 B.b0 D.m0 2.函数，当时是增函数，当时是减函数，则等于（ B ）A.-3 B.13 C.7 D.由m而定的常数 3.设函数在上为减函数，则( D ) 4.下列函数在上是减函数的是（ D ）A. B. C.y=x-1 D.5.下列函数函数中只有一个单调区间的是（ C ）A. B. C.y=x D.6.在上单调递减的函数是（ A ）A. B. C.y=2x+3 D.7.函数的递减区间是（ C ）A. B. C. D.R8.下列函数中，在（0，2）上是增函数的是（ B ）A. B.y=2x-1 C.y=1-2x D.二、填空题9.如果函数在区间上是增函数，那么的取值范围是_7_.10.已知在定义域上是减函数，且则的取值范围是_0a_三、解答题11.求函数的最值。12.定义在上的函数满足：且当时，（1）求证：且是增函数；（2）若，解不等式：.第9讲 参考答案一.选择题1C； 2B；3D； 4D； 5C； 6A ； 7C；8。B。二.填空题 9. ； 10. 。三.解答题11. ，无最大值。12（1）证明：令得：； 设，则。 在上是增函数（2）不等化为：解集为。专心-专注-专业