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1、精选优质文档-倾情为你奉上 精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号 学员编号： 年 级：初三 课时数：3学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 课 题二次函数的概念图像和性质教学目标掌握二次函数的概念、图像与性质，并能根据二次函数的图像与性质解决相关问题。教学内容一、中考导航图1.二次函数的意义;2.二次函数的图象;3.二次函数的性质 顶点式：y=a(x-h)2+k(a0)4.二次函数 待定系数法确定函数解析式 一般式：y=ax2+bx+c(a0) 两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a0)（1）顶点式：其中对称轴是直线 顶点坐标为（-，）（2）交点式（两根式）： 其中：为抛物线与轴交点的横坐标
2、（一元二次方程的两根）5.二次函数与一元二次方程的关系。6.抛物线y=ax2+bx+c的图象与a、b、c之间的关系。二、中考课标要求 知识与技能目标 考点 考纲要求 了解理解掌握灵活应用 理解二次函数的意义 会用描点法画出二次函数 的图象 二 会确定抛物线开口方向、 次 顶点坐标和对称轴 函 通过对实际问题的分析确 定二次函数表达式 数 理解二次函数与一元二次 方程的关系 会根据抛物线y=ax2+bx+c (a0)的图象来确定a、 b、c的符号 三、中考知识梳理1.二次函数的概念及图象定义：一般地，如果是常数，那么叫做的二次函数. 图像：在画二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象时通常先通
3、过配方配成y=a(x+)2+ 的形式,先确定顶点(-,),然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点公式来求得顶点坐标. 2.理解二次函数的性质 二次函数用配方法可化成：的形式，其中对称轴是直线 顶点坐标为（- ，）抛物线的开口方向由a的符号来确定,当a0时,在对称轴左侧y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随x的增大而增大;简记左减右增,这时当x=-时,y最小值=;反之当a0时,抛物线开口向上;当a0时,抛物线交y轴于正半轴;当c0时,抛物线交y轴于负半轴;b的符号由对称轴来决定.当对称轴在y轴左侧时,b的符号与a的符号相同;当对称轴在y轴右侧时,b的符号与a的符号相反;简记左同右异. 6.会构
4、建二次函数模型解决一类与函数有关的应用性问题,应用数形结合思想来解决有关的综合性问题.7.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：，顶点是，对称轴是直线.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.8.抛物线中记忆口诀“顶点在左a,b同；在右a,b异号数；c的取值看y轴；口上口下a正负” .9.抛物线与坐标轴的交点（1）与轴的交点为(0, ).令（2）与轴的交点： 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.求根公式强化记忆“=”.强调“韦达定理”（根与系数关系）+= =（上海中考已不做要求，基础好点的学员可以拓展学习
5、）并且二次函数的图像与轴的两个交点A,B间距离AB= 抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： 有两个交点抛物线与轴相交； 有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切； 没有交点抛物线与轴相离.10. 抛物线的顶点位置： 顶点坐标为 若顶点在轴上是：=0 若顶点在轴上是：11、二次函数图像的平移一般做图像的平移时，使用顶点式，左加右减，上加下减向左平移个单位则，向右平移个单位则；向上平移个单位则，向下平移个单位则。二次函数典型例题解析1.关于二次函数的概念例1 如果函数是二次函数，那么m的值为 。例2 抛物线的开口方向是 ；对称轴是 ；顶点为 。-1OX=1YX2.关于二次函
6、数的性质及图象例3 函数的图象如图所示，则a、b、c，的符号为 ，例4 已知abc=0 9a3bc=0,则二次函数y=ax2bxc的图像的顶点可能在（ ）（A） 第一或第二象限 （B）第三或第四象限 （C）第一或第四象限 （D）第二或第三象限3o-13yx3.确定二次函数的解析式例5 已知：函数的图象如图：那么函数解析式为（ ）（A） （B）（C） （D）4.一次函数图像与二次函数图像综合考查例6 已知一次函数y=ax+c二次函数y=ax2+bx+c(a0),它们在同一坐标系中的大致图象是( ). 例7 如图：ABC是边长为4的等边三角形，AB在X轴上，点C在第一象限，AC与Y轴交于点D，点A
7、的坐标为（-1，0）（1）求 B、C、D三点的坐标；（2）抛物线经过B、C、D三点，求它的解析式；5.以二次函数为基架的综合题例8 二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（1，0）（0，3），对称轴x= -1。 求函数解析式； 若图象与x轴交于A、B（A在B左）与y轴交于C,顶点D，求四边形ABCD的面积。例9 在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数的图象与x轴的负半轴相交于点C（如图），点C的坐标为（0，3），且BOCO（1） 求这个二次函数的解析式；（2） 设这个二次函数的图象的顶点为M，求AM的长. （2007上海市）（本题满分12分，每小题满分各6分）在直角坐标平面内，二次函数图象的
8、顶点为，且过点（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标基础练习一、选择题: 1.(2003大连)抛物线y=(x-2)2+3的对称轴是( ). A.直线x=-3 B.直线x=3 C.直线x=-2 D.直线x=2 2.(2004重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则点M(b,)在( ). A.第一象限; B.第二象限; C.第三象限; D.第四象限 3.(2004天津)已知二次函数y=ax2+bx+c,且a0,则一定有( ). A.b2-4ac0 B.b2-4ac=0 C.b2-4a
9、c4,那么AB的长是( ).A.4+m B.m C.2m-8 D.8-2m二、填空题 1.(2004河北)若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式,则 y=_. 2.(2003新疆)请你写出函数y=(x+1)2与y=x2+1具有的一个共同性质_. 3.(2003天津)已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该抛物线的解析式为_. 4.(2004武汉)已知二次函数的图象开口向下,且与y轴的正半轴相交,请你写出一个满足条件的二次函数的解析式:_. 5.(2003黑龙江)已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c=
10、_. 6.(2002北京东城)有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点: 甲:对称轴是直线x=4; 乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数; 丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式:三、解答题 1.(2003安徽)已知函数y=x2+bx-1的图象经过点(3,2). (1)求这个函数的解析式; (2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标;(3)当x0时,求使y2的x取值范围.2.(2004济南)已知抛物线y=- x2+(6- )x+m-3与x轴有A、B两个交点,且A、B两点关于y轴对称. (1)求m的值; (2)
11、写出抛物线解析式及顶点坐标;(3)根据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来.3.(2004南昌)在平面直角坐标系中,给定以下五点A(-2,0),B(1,0),C(4,0),D(-2, ),E(0,-6),从这五点中选取三点,使经过这三点的抛物线满足以平行于y轴的直线为对称轴.我们约定:把经过三点A、E、B的抛物线表示为抛物线AEB(如图所示). (1)问符号条件的抛物线还有哪几条?不求解析式,请用约定的方法一一表示出来; (2)在(1)中是否存在这样的一条抛物线,它与余下的两点所确定的直线不相交?如果存在,试求出解析式及直线的解析式;如果不存在,请说明理由.课后提高练习：一
12、、学科内综合题1.(2003新疆)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于B、C两点,与y轴交于A点. (1)根据图象确定a、b、c的符号,并说明理由;(2)如果点A的坐标为(0,-3),ABC=45,ACB=60,求这个二次函数的解析式.二、实际应用题2.(2004河南)某市近年来经济发展速度很快,根据统计:该市国内生产总值1990年为8.6亿元人民币,1995年为10.4亿元人民币,2000年为12.9亿元人民币. 经论证,上述数据适合一个二次函数关系,请你根据这个函数关系,预测2005年该市国内生产总值将达到多少?3.(2003辽宁)某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市
13、后,公司经历了从亏损到盈利的过程.下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系). 根据图象(图)提供的信息,解答下列问题: (1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式;(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元;(3)求第8个月公司所获利润是多少万元?4.(2003吉林)如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB的宽为20m,如果水位上升3m时,水面CD的宽是10m. (1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式;(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发
14、需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km的速度开往乙地,当行驶1小时时,忽然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处,当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行),试问:如果货车按原来速度行驶,能否完全通过此桥?若能,请说明理由;若不能,要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米? 三、开放探索题5.(2003济南)某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时,发现了两个重要的结论.一是发现抛物线y=ax2+2x+3(a0),当实数a变化时,它的顶点都在某条直线上;二是发现当实数a变
15、化时,若把抛物线y=ax2+2x+3的顶点的横坐标减少,纵坐标增加,得到A点的坐标;若把顶点的横坐标增加,纵坐标增加,得到B点的坐标,则A、B两点一定仍在抛物线y=ax2+2x+3上. (1)请你协助探求出当实数a变化时,抛物线y=ax2+2x+3的顶点所在直线的解析式; (2)问题(1)中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点,你能找出它来吗?并说明理由; (3)在他们第二个发现的启发下,运用“一般特殊一般”的思想,你还能发现什么?你能用数学语言将你的猜想表述出来吗?你的猜想能成立吗?若能成立,请说明理由.6.(2004重庆)如图,在直角坐标系中,正方形ABCD的边长为a,O为原点,点B在x轴的负半轴上,点D在y轴的正半轴上.直线OE的解析式为y=2x,直线CF过x轴上一点C(-a,0)且与OE平行.现正方形以每秒的速度匀速沿x轴正方向平行移动,设运动时间为t秒,正方形被夹在直线OE和CF间的部分的面积为S. (1)当0t4时,写出S与t的函数关系;(2)当4t5时,写出S与t的函数关系,在这个范围内S有无最大值?若有,请求出最大值;若没有,请说明理由.专心-专注-专业