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1、精选优质文档-倾情为你奉上第2讲概率、随机变量及其分布列考向预测1计数原理、古典概型、几何概型的考查多以选择或填空的形式命题，中低档难度；2概率模型多考查独立重复试验、相互独立事件、互斥事件及对立事件等；对离散型随机变量的分布列及期望的考查是重点中的“热点”1概率模型公式及相关结论(1)古典概型的概率公式P(A)(2)几何概型的概率公式P(A)(3)条件概率在A发生的条件下B发生的概率：P(B|A)(4)相互独立事件同时发生的概率：若A，B相互独立，则P(AB)P(A)P(B)(5)若事件A，B互斥，则P(AB)P(A)P(B)，P()1P(A)2独立重复试验与二项分布如果事件A在一次试验中发
2、生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)Cpk(1p)nk，k0，1，2，n用X表示事件A在n次独立重复试验中发生的次数，则X服从二项分布，即XB(n，p)且P(Xk)Cpk(1p)nk3超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(Xk)，k0，1，2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*，此时称随机变量X服从超几何分布超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M，N，n4离散型随机变量的均值、方差(1)离散型随机变量的分布列为：x1x2x3xinPp1p2p3pipn离散型随机变量的分布列具有两个性质：pi0；
3、p1p2pipn1(i1，2，3，n)(2)E()x1p1x2p2xipixnpn为随机变量的数学期望或均值D()(x1E()2p1(x2E()2p2(xiE()2pi(xnE()2pn叫做随机变量的方差(3)数学期望、方差的性质E(ab)aE()b，D(ab)a2D()XB(n，p)，则E(X)np，D(X)np(1p)X服从两点分布，则E(X)p，D(X)p(1p)热点一随机变量的分布列、均值与方差【例1】(2019黄山一模)2015年11月27日至28日，中共中央扶贫开发工作会议在北京召开，为确保到2020年所有贫困地区和贫困人口一道迈入全面小康社会黄山市深入学习贯彻习近平总书记关于扶贫
4、开发工作的重要论述及系列指示精神，认真落实省委、省政府一系列决策部署，精准扶贫、精准施策，各项政策措施落到实处，脱贫攻坚各项工作顺利推进，成效明显贫困户杨老汉就是扶贫政策受益人之一据了解，为了帮助杨老汉早日脱贫，负责杨老汉家的扶贫队长、扶贫副队长和帮扶责任人经常到他家走访，其中扶贫队长每天到杨老汉家走访的概率为14，扶贫副队长每天到杨老汉家走访的概率为13，帮扶责任人每天到杨老汉家走访的概率为12（）求帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率；（）设扶贫队长、副队长、帮扶责任人三人某天到杨老汉家走访的人数为X，求X的分布列；（）杨老汉对三位帮扶人员非常满意，他对别人说:“他家平均每天至少有1人走
5、访”请问：他说的是真的吗？解()设帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的事件为A，则P(A)=12121212=116，帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率为116（）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3P(X=0)=342312=14；P(X=1)=142312+341312+342312=1124；P(X=2)=141312+142312+341312=14；P(X=3)=141312=124随机变量X的分布列为：X0123P14112414124（）E(X)=1124+12+18=1312，所以E(X)1，所以杨老汉说的是真的探究提高1求随机变量的均值和方差的关键是正确求出随机变量的分
6、布列2对于实际问题中的随机变量X，如果能够断定它服从二项分布B(n，p)，则其概率、期望与方差可直接利用公式P(Xk)Cpk(1p)nk(k0，1，2，n)，E(X)np，D(X)np(1p)求得【训练1】(2017西安二模)中国铁路客户服务中心为方便旅客购买车票，推出三种购票方式：窗口购票、电话购票、网上购票，旅客任选一种购票方式若甲、乙、丙3名旅客都准备购买火车票，并且这3名旅客选择购票的方式是相互独立的(1)求这三名旅客中至少有两人选择网上购票的概率；(2)记这三名旅客购票方式的种数为，求的分布列和数学期望解(1)记“三名旅客中恰有两人选择网上购票”为事件A，“三名旅客都选择网上购票”为
7、事件B，且A，B互斥则P(A)C，P(B)因此，三名旅客中至少有两人选择网上购票的概率PP(A)P(B)(2)由题意，的所有可能取值为1，2，3，则P(1)C；P(2)C；P(3)所以随机变量的分布列为：123P故的期望E()123热点二概率与统计的综合问题【例2】(2018德州期末)在创新“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次），通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分ZN(，198)，近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组
8、区间的中点值作代表），利用该正态分布，求P(382Z802)；（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；每次获赠的随机话费和对应的概率为：现有市民甲参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列与数学期望附：参考数据与公式：19814，若XN(，2)，则P(-X+)=06826，P(-2X+2)=09544，P(-3X+3)=09974解（1）由题意得：，=662，=19814，P(662-14Z662+14)=P(522Z802)=06826，P(662-214
9、Z662+214)=P(382Z942)=09544，P(382Z522)=12P(382Z942)-P(522Z802)=01359综上，P(382Z802)=P(382Z522)+P(522Z802)=01359+06826=08185（2）由题意知，P(Z)=P(Z)=12，获赠话费X的可能取值为20，40，50，70，100，P(X=20)=1234=38；P(X=40)=123434=932；P(X=50)=1214=18；P(X=70)=123414+121434=316，P(X=100)=121414=132；X的分布列为：EX=2038+40932+5018+70316+100
10、132=1654探究提高本题考查统计与概率的综合应用，意在考查考生的识图能力和数据处理能力此类问题多涉及相互独立事件、互斥事件的概率，在求解时，要明确基本事件的构成【训练2】(2017全国卷改编)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(，2)(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3，3)之外的零件数，求P(X1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3，3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程
11、可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查试说明上述监控生产过程方法的合理性；下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得xi997，0212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i1，2，16用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(3，3)之外的数据，用剩下的数据估计(精确到001)附：若随机变量Z服从正态分布N(，2)，则P(3Z3)0997 4，0997 4160959 2，009解(1)由题可知尺寸落在(3，3)之内的概率为0997 4，落在 (3，3)之外的概率为0002 6由题可知XB(16，0002 6)
12、，P(X1)1P(X0)10997 4160040 8E(X)160002 60041 6(2)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3，3)之外的概率只有0002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3，3)之外的零件的概率只有0040 8，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的由x997，s0212，得的估计值为997，的估计值为0212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(3，3)之外，因此需对当天的生产过程进行检查剔除(3，3)之外的数据922，剩下数据的平均数
13、为(16997922)1002因此的估计值为10021(2018全国I卷)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p(0p1)，且各件产品是否为不合格品相互独立（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费
14、用（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX;（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？1(2017邯郸质检)2017年4月1日，国家在河北省白洋淀以北的雄县、容城、安新3县设立雄安新区，这是继深圳经济特区和上海浦东新区之后又一具有全国意义的新区，是千年大计、国家大事。多家央企为了配合国家战略支持雄安新区建设，纷纷申请在新区建立分公司若规定每家央企只能在雄县、容城、安新3个片区中的一个片区设立分公司，且申请其中任一个片区设立分公司都是等可能的，每家央企选择哪个片区相互之间互不影响且必须在其中一个片区建立分公司向雄
15、安新区申请建立分公司的任意4家央企中，(1)求恰有2家央企申请在“雄县”片区建立分公司的概率；(2)用X表示这4家央企中在“雄县”片区建立分公司的个数，用Y表示在“容城”或“安新”片区建立分公司的个数，记|XY|，求的分布列2(2017北京卷)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“”表示未服药者(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；(2)从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于17的人数，求的分布
16、列和数学期望E()；(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小(只需写出结论)1(2017成都二诊)甲乙两名同学参加定点投篮测试，已知两人投中的概率分别是和，假设两人投篮结果相互没有影响，每人各次投球是否投中也没有影响(1)若每人投球3次(必须投完)，投中2次或2次以上，记为达标，求甲达标的概率；(2)若每人有4次投球机会，如果连续两次投中，则记为达标达标或能断定不达标，则终止投篮记乙本次测试投球的次数为X，求X的分布列和数学期望E(X)2(2017新乡三模)为推行“新课堂”教学法，某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行
17、班级进行教学实验为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”分数50，60)60，70)70，80)80，90)90，100甲班频数56441乙班频数13655(1)由以上统计数据填写下面22列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？甲班乙班总计成绩优良成绩不优良总计附：K2，其中nabcd临界值表：P(K2k0)01000500250010k02706384150246635(2)现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核在这8人中，记成
18、绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列及数学期望参考答案1【解题思路】(1)利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得f(p)=C202p2(1-p)18，之后对其求导，利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点，这里要注意0p0；当p(01，1)时，f(p)400，故应该对余下的产品作检验1【解题思路】(1)本题是独立重复试验，二项分布，可得P(X2)；(2)依题意计算的可能取值，并计算其概率，列出分布列【答案】解(1)依题意，每家央企在“雄县”片区建立分公司的概率为，去另外两个片区建立分公司的概率为，这4家央企恰有2家央企在“雄县”片区建立分公司的概率为PC(2)由独立重复试
19、验概率，则P(Xk)C(k0，1，2，3，4)，随机变量的所有可能取值为0，2，4P(0)P(X2)；P(2)P(X1)P(X3)；P(4)P(X0)P(X4)所以随机变量的分布列为：024P2【解题思路】(1)从图中找出服药的且指标y的值小于60的人数；(2)此问是超几何分布，依题意计算的可能取值，并计算其概率，列出分布列；(3)根据图示中数据的稳定性即可判断方差的大小【答案】解(1)由题图知，在服药的50名患者中，指标y的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率为03(2)由题图知，A，B，C，D四人中，指标x的值大于17的有2人：A和C所以
20、的所有可能取值为0，1，2P(0)，P(1)，P(2)所以的分布列为：012PE()0121(3)由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大1【解题思路】(1) 投中2次或2次以上，记为达标，就是投中2次或投中3次；(2)应注意连中2次终止，也可能前两次至多中一次，第三次不中，这时可以肯定不能达标，也终止，所以应依题意列举所有可能情况，再确定X的可能取值，并计算其概率，列出分布列【答案】解(1)记“甲达标”为事件A，则P(A)C(2)X的所有可能的值为2，3，4P(X2)，P(X3)，P(X4)所以X的分布列为：X234PE(X)2342【解题思路】(1) 完成22
21、列联表，并起算K2；(2)应注意优良中的人怎么抽和成绩不优良的乙班人数无关，所以只需考虑不优良的11人中抽取3人的情况，此时此3人可能分属甲乙两班，属于超几何分布，确定X的可能取值，并计算其概率，列出分布列【答案】解(1)由统计数据得22列联表：甲班乙班总计成绩优良91625成绩不优良11415总计202040根据22列联表中的数据，得K2的观测值为k52275024，能在犯错概率不超过0025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”(2)由表可知在8人中成绩不优良的人数为83，则X的可能取值为0，1，2，3P(X0)；P(X1)；P(X2)；P(X3)X的分布列为：X0123PE(X)0123专心-专注-专业