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1、精选优质文档-倾情为你奉上必修五第二章5-5数列的概念及表示一、基础知识梳理：1 数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项2 数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an1_an其中nN*递减数列an1_a1.综上，所求的a的取值范围是9，)5-6等差数列及其前n项和一、基础知识梳理：1 等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母_d_表示2 等差数列的通项公式：如果等差数列an的首项为a1，公差
2、为d，那么它的通项公式是ana1(n1)d.3 等差中项：如果A，那么A叫做a与b的等差中项4 等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d，(n，mN*)(2)若an为等差数列，且klmn，(k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列5等差数列的前n项和公式：设等差数列an的公差为d，其前n项和Sn或Snna1d.6 等差数列的前n项和公式与函数的关系Snn2n
3、.数列an是等差数列SnAn2Bn，(A、B为常数)7 等差数列的最值在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最_大_值；若a10，则Sn存在最_小_值8 等差数列的判断方法：(1)定义法：anan1d (n2)；(2)等差中项法：2an1anan2.9 等差数列与等差数列各项和的有关性质(1)am，amk，am2k，am3k，仍是等差数列，公差为kd.(2)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列(3)S2n1(2n1)an.10 等差数列与函数：在d0时，an是关于n的一次函数，一次项系数为d；Sn是关于n的二次函数，二次项系数为，且常数项为0.二、典型例题讲解：题型一等差数列基
4、本量的计算【例1】(2011福建)在等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前k项和Sk35，求k的值思维启迪：等差数列基本量的计算，基本思想就是根据条件列方程，求等差数列的首项与公差解(1)设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d.由a11，a33，可得12d3，解得d2.从而an1(n1)(2)32n.(2)由(1)可知an32n，所以Sn2nn2.由Sk35，可得2kk235，即k22k350，解得k7或k5.又kN*，故k7.探究提高(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了
5、用方程的思想来解决问题(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法【变式1】设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，满足S5S6150 . (1)若S55，求S6及a1；(2)求d的取值范围解(1)由题意知S63，a6S6S58.所以解得a17，所以S63，a17.(2)方法一S5S6150，(5a110d)(6a115d)150，即2a9da110d210.因为关于a1的一元二次方程有解，所以81d28(10d21)d280，解得d2或d2.方法二S5S6150，(5a110d)(6
6、a115d)150，即2a9da110d210.故(4a19d)2d28.所以d28.故d的取值范围为d2或d2.题型二等差数列的前n项和及综合应用【例2】(1)在等差数列an中，已知a120，前n项和为Sn，且S10S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列an的通项公式是an4n25，求数列|an|的前n项和思维启迪：(1)由a120及S10S15可求得d，进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利用Sn是关于n的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解(2)利用等差数列的性质，判断出数列从第几项开始变号解(1)方法一a120，S10S15，1020d15
7、20d，d.an20(n1)n.a130，即当n12时，an0，n14时，an0，当n12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S13S121220130.方法二同方法一求得d.Sn20nn2n2.nN*，当n12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12S13130.方法三同方法一求得d.又由S10S15得a11a12a13a14a150.5a130，即a130.当n12或13时，Sn有最大值且最大值为S12S13130.(2)an4n25，an14(n1)25，an1an4d，又a1412521.所以数列an是以21为首项，以4为公差的递增的等差数列令由得n6)，求数列的项数n.思维启迪：在等
8、差数列中，若mnpq，则amanapaq，在涉及数列前n项和及某些项和的问题中常用到此性质解由题意可知a1a2a636anan1an2an5180得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216.a1an36.又Sn324，18n324.n18.探究提高本题的解题关键是将等差数列性质mnpqamanapaq与前n项和公式Sn结合在一起，采用整体思想，简化解题过程【变式3】 (1)设数列an的首项a17，且满足an1an2 (nN)，则a1a2a17_.(2)等差数列an中，a1a2a324，a18a19a2078，则此数列前20项和等于_答案(1)153(2)180解析(1)an
9、1an2，an为等差数列an7(n1)2，a17716225，S17153.(2)由已知可得(a1a2a3)(a18a19a20)2478(a1a20)(a2a19)(a3a18)54a1a2018S202020180.三、随堂练习：1 (2012江西)设数列an，bn都是等差数列，若a1b17，a3b321，则a5b5_.答案35解析两个等差数列的和数列仍为等差数列设两等差数列组成的和数列为cn，由题意知新数列仍为等差数列且c17，c321，则c52c3c1221735.2 已知两个数列x，a1，a2，a3，y与x，b1，b2，y都是等差数列，且xy，则的值为_答案解析a2a1(yx)，b2
10、b1(yx)，.3 已知等差数列an中，a3a822，a67，则a5_.答案15解析an为等差数列，a3a8a5a622，a522a622715.4 (2011江西)设an为等差数列，公差d2，Sn为其前n项和，若S10S11，则a1等于()A18 B20 C22 D24答案B解析因为S10S11，所以a110.又因为a11a110d，所以a120.5 (2012辽宁)在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前11项和S11等于()A58 B88 C143 D176答案B解析S1188.6 (2012福建)等差数列an中，a1a510，a47，则数列an的公差为()A1 B2 C3 D4答
11、案B解析方法一设等差数列an的公差为d，由题意得解得d2.方法二在等差数列an中，a1a52a310，a35.又a47，公差d752.7 数列an为等差数列，a1033，a21，Sn为数列an的前n项和，则S202S10等于()A40 B200 C400 D20答案C解析S202S10210(a20a10)100d，又a10a28d，3318d，d4，S202S10400.8 已知等差数列an满足a1a2a3a1010，则有 ()Aa1a1010 Ba2a1000，所以a30，根据已知条件得25，解得q2.所以aq8a1q9，所以a12，所以an2n.2 在等比数列an中，各项均为正值，且a6
12、a10a3a541，a4a85，则a4a8_.答案 解析由a6a10a3a541及a6a10a，a3a5a，得aa41.因为a4a85，所以(a4a8)2a2a4a8a412551.又an0，所以a4a8.3 已知a，b，c成等比数列，如果a，x，b和b，y，c都成等差数列，则_.答案2 解析令a1，b3，c9，则由题意，有x2，y6.此时2.4 (2011广东)已知an是递增等比数列，a22，a4a34，则此数列的公比q_.答案2 解析由a22，a4a34，得方程组q2q20，解得q2或q1.又an是递增等比数列，故q2.5 (2012课标全国)已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则
13、a1a10等于()A7 B5 C5 D7答案D 解析方法一由题意得或a1a10a1(1q9)7.方法二由解得或或a1a10a1(1q9)7.6 在等比数列an中，a37，前3项之和S321，则公比q的值为 ()A1 B C1或 D1或答案C解析根据已知条件得3.整理得2q2q10，解得q1或q.7 在等比数列an中，a1a230，a3a460，则a7a8_.答案240 解析a1a2a1(1q)30，a3a4a1q2(1q)60，q22，a7a8a1q6(1q)a1(1q)(q2)3308240.8 (10分)已知等差数列an满足a22，a58.(1)求an的通项公式；(2)各项均为正数的等比数
14、列bn中，b11，b2b3a4，求bn的前n项和Tn.解(1)设等差数列an的公差为d，则由已知得.a10，d2.ana1(n1)d2n2.(2)设等比数列bn的公比为q，则由已知得qq2a4，a46，q2或q3.等比数列bn的各项均为正数，q2.bn的前n项和Tn2n1.5-8数列求和一、基础知识梳理：1 等差数列前n项和Snna1d，推导方法：倒序相加法；等比数列前n项和Sn推导方法：错位相减法2 数列求和的常用方法(1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列(2)裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和. (3)错位相减：适用于一个
15、等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和(4)倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导(5)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.3 常见的拆项公式：(1)；(2)；(3).二、典型例题讲解：题型一分组转化求和例1已知数列xn的首项x13，通项xn2npnq (nN*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列求：(1)p，q的值；(2)数列xn前n项和Sn的公式思维启迪：第(1)问由已知条件列出关于p、q的方程组求解；
16、第(2)问分组后用等差、等比数列的求和公式求解解(1)由x13，得2pq3，又因为x424p4q，x525p5q，且x1x52x4，得325p5q25p8q，解得p1，q1.(2)由(1)，知xn2nn，所以Sn(2222n)(12n)2n12.探究提高某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论【变式】 求和Sn1.解和式中第k项为ak12.Sn22(111()22n2.题型二错位相减法求和例2设数列an满足a13a232a33n1an，nN*.(1)
17、求数列an的通项；(2)设bn，求数列bn的前n项和Sn.思维启迪：(1)由已知写出前n1项之和，两式相减(2)bnn3n的特点是数列n与3n之积，可用错位相减法解(1)a13a232a33n1an，当n2时，a13a232a33n2an1，得3n1an，an.在中，令n1，得a1，适合an，an.(2)bn，bnn3n.Sn3232333n3n，3Sn32233334n3n1.得2Snn3n1(332333n)，即2Snn3n1，Sn.探究提高解答本题的突破口在于将所给条件式视为数列3n1an的前n项和，从而利用an与Sn的关系求出通项3n1an，进而求得an；另外乘公比错位相减是数列求和的
18、一种重要方法，但值得注意的是，这种方法运算过程复杂，运算量大，应加强对解题过程的训练，重视运算能力的培养【变式2】 (2011辽宁)已知等差数列an满足a20，a6a810.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列的前n项和解(1)设等差数列an的公差为d，由已知条件可得解得.故数列an的通项公式为an2n.(2)设数列的前n项和为Sn，即Sna1，故S11，.所以，当n1时，得a11()1(1).所以Sn.当n1时也成立综上，数列的前n项和Sn.题型三裂项相消法求和例3在数列an中，a11，当n2时，其前n项和Sn满足San.(1)求Sn的表达式；(2)设bn，求bn的前n项和Tn.思维启迪：第(1)问利用anSnSn1 (n2)后，再同除Sn1Sn转化为的等差数列即可求Sn.第(2)问求出bn的通项公式，用裂项相消求和解(1)San，anSnSn1 (n2)，S(SnSn1)，即2Sn1SnSn1Sn，由题意Sn1Sn0，式两边同除以Sn1Sn，得2，数列是首项为1，公差为2的等差数列12(n1)2n1，Sn.(2)又bn，Tnb1b2bn(1)()().探究提高使用裂项相