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1、精选优质文档-倾情为你奉上高中数学必修5_第二章数列复习知识点总结与练习（一）一数列的概念与简单表示法知识能否忆起1数列的定义、分类与通项公式(1)数列的定义：数列：按照一定顺序排列的一列数数列的项：数列中的每一个数(2)数列的分类：分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an1an其中nN*递减数列an1an常数列an1an(3)数列的通项公式：如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式2数列的递推公式如果已知数列an的首项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an1(n2)(或前几项)间的关系可用
2、一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式1.对数列概念的理解(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别2数列的函数特征数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集1,2,3，n)的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n)an(nN*)3.考点（一）由数列的前几项求数列的通项公式例1(2012天津南开中学月考)下列公式可作为数列an：
3、1,2,1,2,1,2，的通项公式的是()Aan1BanCan2 Dan自主解答由an2可得a11，a22，a31，a42，.答案C由题悟法1根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求对于正负符号变化，可用(1)n或(1)n1来调整2根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想以题试法写出下面数列的一个通项公式(1)3,5,7,9，；(2)，；(3)3,33,333,3 333，；(4)1，.解：(1)各项减去1后为正偶数，所以an2n1.(2)
4、每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，所以an.(3)将数列各项改写为，分母都是3，而分子分别是101,1021,1031,1041，.所以an(10n1)(4)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号为(1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为21，偶数项为21，所以an(1)n，也可写为an（二）由an与Sn的关系求通项an已知数列an的前n项和Sn，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：(1)先利用a1S1求出a1；(2)用n1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用anSnSn1(n2)便可
5、求出当n2时an的表达式；(3)对n1时的结果进行检验，看是否符合n2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n1与n2两段来写例2已知数列an的前n项和Sn，根据下列条件分别求它们的通项an.(1)Sn2n23n；(2)Sn3n1.自主解答(1)由题可知，当n1时，a1S1212315，当n2时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n1.当n1时，4115a1，故an4n1.(2)当n1时，a1S1314，当n2时，anSnSn1(3n1)(3n11)23n1.当n1时，23112a1，故an以题试法(2012聊城模拟)已知数列an的前n项和
6、为Sn，且Sn，则()A.B.C. D30解析：选D当n2时，anSnSn1，则a5.（三）数列的性质例3已知数列an的通项公式为ann221n20.(1)n为何值时，an有最小值？并求出最小值；(2)n为何值时，该数列的前n项和最小？自主解答(1)因为ann221n202，可知对称轴方程为n10.5.又因nN*，故n10或n11时，an有最小值，其最小值为11221112090.(2)设数列的前n项和最小，则有an0，由n221n200，解得1n20，故数列an从第21项开始为正数，所以该数列的前19或20项和最小由题悟法1数列中项的最值的求法根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数an
7、f(n)，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取值2前n项和最值的求法(1)先求出数列的前n项和Sn，根据Sn的表达式求解最值；(2)根据数列的通项公式，若am0，且am10，则Sm最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值.以题试法3(2012江西七校联考)数列an的通项an，则数列an中的最大值是()A3 B19C. D.解析：选Can，由基本不等式得，由于nN*，易知当n9或10时，an最大二等差数列及其前n项和知识能否忆起一、等差数列的有关概念1定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列符号表示为an1and(nN*，d为常数
8、)2等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A，其中A叫做a，b的等差中项二、等差数列的有关公式1通项公式：ana1(n1)d.2前n项和公式：Snna1d.三、等差数列的性质1若m，n，p，qN*，且mnpq，an为等差数列，则amanapaq.2在等差数列an中，ak，a2k，a3k，a4k，仍为等差数列，公差为kd.3若an为等差数列，则Sn，S2nSn，S3nS2n，仍为等差数列，公差为n2d.4等差数列的增减性：d0时为递增数列，且当a10时前n项和Sn有最小值d0时前n项和Sn有最大值5等差数列an的首项是a1，公差为d.若其前n项之和可以写成SnAn2Bn，则A，Ba1，当
9、d0时它表示二次函数，数列an的前n项和SnAn2Bn是an成等差数列的充要条件1.与前n项和有关的三类问题(1)知三求二：已知a1、d、n、an、Sn中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想(2)Snn2nAn2Bnd2A.(3)利用二次函数的图象确定Sn的最值时，最高点的纵坐标不一定是最大值，最低点的纵坐标不一定是最小值2设元与解题的技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a2d，ad，a，ad，a2d，；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a3d，ad，ad，a3d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元考点等差数
10、列的判断与证明例1在数列an中，a13，an2an12n3(n2，且nN*)(1)求a2，a3的值；(2)设bn(nN*)，证明：bn是等差数列自主解答(1)a13，an2an12n3(n2，且nN*)，a22a12231，a32a223313.(2)证明：对于任意nN*，bn1bn(an12an)3(2n13)31，数列bn是首项为0，公差为1的等差数列由题悟法1证明an为等差数列的方法：(1)用定义证明：anan1d(d为常数，n2)an为等差数列；(2)用等差中项证明：2an1anan2an为等差数列；(3)通项法：an为n的一次函数an为等差数列；(4)前n项和法：SnAn2Bn或Sn
11、.2用定义证明等差数列时，常采用的两个式子an1and和anan1d，但它们的意义不同，后者必须加上“n2”，否则n1时，a0无定义以题试法1已知数列an的前n项和Sn是n的二次函数，且a12，a22，S36.(1)求Sn；(2)证明：数列an是等差数列解：(1)设SnAn2BnC(A0)，则解得A2，B4，C0.故Sn2n24n.(2)证明：当n1时，a1S12.当n2时，anSnSn12n24n2(n1)24(n1)4n6.an4n6(nN*)an1an4，数列an是等差数列.等差数列的基本运算典题导入例2(2012重庆高考)已知an为等差数列，且a1a38，a2a412.(1)求an的通
12、项公式；(2)记an的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk2成等比数列，求正整数k的值自主解答(1)设数列an的公差为d，由题意知解得所以ana1(n1)d22(n1)2n.(2)由(1)可得Snn(n1)因为a1，ak，Sk2成等比数列，所以aa1Sk2.从而(2k)22(k2)(k3)，即k25k60，解得k6或k1(舍去)，因此k6.由题悟法1等差数列的通项公式ana1(n1)d及前n项和公式Snna1d，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想2数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和
13、未知是常用方法以题试法2(1)在等差数列中，已知a610，S55，则S8_.(2)设等差数列an的前n项和为Sn，若1，则公差为_解析：(1)a610，S55，解方程组得则S88a128d8(5)28344.(2)依题意得S44a1d4a16d，S33a1d3a13d，于是有1，由此解得d6，即公差为6.答案：(1)44(2)6等差数列的性质典题导入例3(1)等差数列an中，若a1a4a739，a3a6a927，则前9项和S9等于()A66B99C144 D297(2)(2012天津模拟)设等差数列an的前n项和Sn，若S48，S820，则a11a12a13a14()A18 B17C16 D1
14、5自主解答(1)由等差数列的性质及a1a4a739，可得3a439，所以a413.同理，由a3a6a927，可得a69.所以S999.(2)设an的公差为d，则a5a6a7a8S8S412，(a5a6a7a8)S416d，解得d，a11a12a13a14S440d18.答案(1)B(2)A由题悟法1等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题2应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系以题试法3(1)(2012江西高考)设数列an，bn都是等差数列，若a1b17，a3b321，
15、则a5b5_.(2)(2012海淀期末)若数列an满足：a119，an1an3(nN*)，则数列an的前n项和数值最大时，n的值为()A6 B7C8 D9解析：(1)设两等差数列组成的和数列为cn，由题意知新数列仍为等差数列且c17，c321，则c52c3c1221735.(2)an1an3，数列an是以19为首项，3为公差的等差数列，an19(n1)(3)223n.设前k项和最大，则有即解得k.kN*，k7.故满足条件的n的值为7.答案：(1)35(2)B三等比数列及其前n项和知识能否忆起1等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，
16、那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为q(nN*，q为非零常数)(2)等比中项：如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即：G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab.2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1.(2)前n项和公式：Sn3等比数列an的常用性质(1)在等比数列an中，若mnpq2r(m，n，p，q，rN*)，则amanapaqa.特别地，a1ana2an1a3an2.(2)在公比为q的等比数列an中，数列am，amk，am2k，am3k，仍是等比数列，公比为qk；数列Sm，S2mSm，S3mS2m，仍是等
17、比数列(此时q1)；anamqnm.1.等比数列的特征(1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数(2)由an1qan，q0并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10.2等比数列的前n项和Sn(1)等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形导致解题失误考点等比数列的判定与证明典题导入例1已知数列an的前n项和为Sn，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；(2)求数列an的通项公式自主解答(1)证明：anSnn，an1S
18、n1n1.得an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，.首项c1a11，又a1a11，a1，c1.又cnan1，故cn是以为首项，为公比的等比数列(2)由(1)可知cnn1n，ancn11n.在本例条件下，若数列bn满足b1a1，bnanan1(n2)，证明bn是等比数列证明：由(2)知an1n，当n2时，bnanan11nn1nn.又b1a1也符合上式，bnn.，数列bn是等比数列由题悟法等比数列的判定方法(1)定义法：若q(q为非零常数，nN*)或q(q为非零常数且n2，nN*)，则an是等比数列(2)等比中项法：若数列an中，an0且aanan2(nN*)，则数列an是等
19、比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn(c，q均是不为0的常数，nN*)，则an是等比数列以题试法1 (2012沈阳模拟)已知函数f(x)logax，且所有项为正数的无穷数列an满足logaan1logaan2，则数列an()A一定是等比数列B一定是等差数列C既是等差数列又是等比数列D既不是等差数列又不是等比数列解析：选A由logaan1logaan2，得loga2logaa2，故a2.又a0且a1，所以数列an为等比数列等比数列的基本运算典题导入例2an为等比数列，求下列各值：(1)a6a424，a3a564，求an；(2)已知a2a836，a3a715，求公比q.解：(1)
20、设数列an的公比为q，由题意得由得a1q38，将a1q38代入中，得q22(舍去)将a1q38代入中，得q24，q2.当q2时，a11，ana1qn12n1.当q2时，a11，ana1qn1(2)n1.an2n1或an(2)n1.(2)a2a836a3a7，而a3a715，或q44或.q或q.由题悟法1等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解2在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式以题试法2(2012山西适应性训练)已知数列an是公差不为零
21、的等差数列，a12，且a2，a4，a8成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)求数列3an的前n项和解：(1)设等差数列an的公差为d(d0)因为a2，a4，a8成等比数列，所以(23d)2(2d)(27d)，解得d2.所以an2n(nN*)(2)由(1)知3an32n，设数列3an的前n项和为Sn，则Sn323432n(9n1)等比数列的性质典题导入例3(1)(2012威海模拟)在由正数组成的等比数列an中，若a3a4a53，则sin(log3a1log3a2log3a7)的值为()A.B.C1 D(2)设等比数列an的前n项和为Sn，若S6S312，则S9S3等于()A12 B23C3
22、4 D13自主解答(1)因为a3a4a53a，所以a43.log3a1log3a2log3a7log3(a1a2a7)log3a7log33，故sin(log3a1log3a2log3a7).(2)由等比数列的性质：S3，S6S3，S9S6仍成等比数列，于是(S6S3)2S3(S9S6)，将S6S3代入得.答案(1)B(2)C由题悟法等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”，它们的通项公式和性质有许多相似之处，其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握，同时也有利于类比思想的推广对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算，若能关注
23、通项公式anf(n)的下标n的大小关系，可简化题目的运算以题试法3(1)(2012新课标全国卷)已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10()A7B5C5 D7(2)(2012成都模拟)已知an是等比数列，a22，a5，则a1a2a2a3anan1()A16(14n) B16(12n)C.(14n) D.(12n)解析：(1)选D法一：由题意得解得或故a1a10a1(1q9)7.法二：由解得或则或故a1a10a1(1q9)7.(2)选Ca22，a5，a14，q，anan12n5.故a1a2a2a3anan1(14n)练习题1(教材习题改编)数列1，的一个通项公式是()AanBan
24、Can Dan答案：B2设数列an的前n项和Snn2，则a8的值为()A15 B16C49 D64解析：选Aa8S8S7644915.3已知数列an的通项公式为an，则这个数列是()A递增数列 B递减数列C常数列 D摆动数列解析：选Aan1an0.4(教材习题改编)已知数列an的通项公式是an则a4a3_.解析：a4a3233(235)54.答案：545已知数列an的通项公式为anpn，且a2，a4，则a8_.解析：由已知得解得则ann，故a8.答案：1(2012福建高考)等差数列an中，a1a510，a47，则数列an的公差为()A1B2C3 D4解析：选B法一：设等差数列an的公差为d，由
25、题意得解得故d2.法二：在等差数列an中，a1a52a310，a35.又a47，公差d752.2(教材习题改编)在等差数列an中，a2a6，则sin()A. B.C D解析：选Da2a6，2a4.sinsincos.3(2012辽宁高考)在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前11项和S11()A58 B88C143 D176解析：选BS1188.4在数列an中，若a11，an1an2(n1)，则该数列的通项an_.解析：由an1an2知an为等差数列其公差为2.故an1(n1)22n1.答案：2n15(2012北京高考)已知an为等差数列，Sn为其前n项和，若a1，S2a3，则a2_，
26、Sn_.解析：设an的公差为d，由S2a3知，a1a2a3，即2a1da12d，又a1，所以d，故a2a1d1，Snna1n(n1)dn(n2n)n2n.答案：1n2n1(2011江西高考)an为等差数列，公差d2，Sn为其前n项和若S10S11，则a1()A18B20C22 D24解析：选B由S10S11，得a11S11S100，a1a11(111)d0(10)(2)20.2(2012广州调研)等差数列an的前n项和为Sn，已知a58，S36，则S10S7的值是()A24 B48C60 D72解析：选B设等差数列an的公差为d，由题意可得解得则S10S7a8a9a103a124d48.3(2
27、013东北三校联考)等差数列an中，a5a64，则log2(2a12a22a10)()A10 B20C40 D2log25解析：选B依题意得，a1a2a3a105(a5a6)20，因此有log2(2a12a22a10)a1a2a3a1020.4(2012海淀期末)已知数列an满足：a11，an0，aa1(nN*)，那么使an0，an.an5，5.即n0，S110，S110，d0，并且a1a110，即a60，所以a50，即数列的前5项都为正数，第5项之后的都为负数，所以S5最大，则k5.6数列an的首项为3，bn为等差数列且bnan1an(nN*)若b32，b1012，则a8()A0 B3C8
28、D11解析：选B因为bn是等差数列，且b32，b1012，故公差d2.于是b16，且bn2n8(nN*)，即an1an2n8.所以a8a76a646a5246a1(6)(4)(2)02463.7(2012广东高考)已知递增的等差数列an满足a11，a3a4，则an_.解析：设等差数列公差为d，由a3a4，得12d(1d)24，解得d24，即d2.由于该数列为递增数列，故d2.an1(n1)22n1.答案：2n18已知数列an为等差数列，Sn为其前n项和，a7a54，a1121，Sk9，则k_.解析：a7a52d4，则d2.a1a1110d21201，Skk2k29.又kN*，故k3.答案：39
29、设等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有，则的值为_解析：an，bn为等差数列，.，.答案：10(2011福建高考)已知等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前k项和Sk35，求k的值解：(1)设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d.由a11，a33，可得12d3，解得d2.从而an1(n1)(2)32n.(2)由(1)可知an32n，所以Sn2nn2.由Sk35，可得2kk235，即k22k350，解得k7或k5.又kN*，故k7.11设数列an的前n项积为Tn，Tn1an，(1)证明是等差数列；(2)求数列的前n项
30、和Sn.解：(1)证明：由Tn1an得，当n2时，Tn1，两边同除以Tn得1.T11a1a1，故a1，2.是首项为2，公差为1的等差数列(2)由(1)知n1，则Tn，从而an1Tn.故n.数列是首项为1，公差为1的等差数列Sn.12已知在等差数列an中，a131，Sn是它的前n项和，S10S22.(1)求Sn；(2)这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值解：(1)S10a1a2a10，S22a1a2a22，又S10S22，a11a12a220，即0，故a11a222a131d0.又a131，d2，Snna1d31nn(n1)32nn2.(2)法一：由(1)知Sn32nn2，故当n16时，
31、Sn有最大值，Sn的最大值是256.法二：由Sn32nn2n(32n)，欲使Sn有最大值，应有1n32，从而Sn2256，当且仅当n32n，即n16时，Sn有最大值256.1(教材习题改编)等比数列an中，a44，则a2a6等于()A4B8C16 D32解析：选Ca2a6a16.2已知等比数列an的前三项依次为a1，a1，a4，则an()A4n B4nC4n1 D4n1解析：选C(a1)2(a1)(a4)a5，a14，q，故an4n1.3已知等比数列an满足a1a23，a2a36，则a7()A64 B81C128 D243解析：选Aq2，故a1a1q3a11，a7127164.4(2011北京
32、高考)在等比数列an中，若a1，a44，则公比q_；a1a2an_.解析：a4a1q3，得4q3，解得q2，a1a2an2n1.答案：22n15(2012新课标全国卷)等比数列an的前n项和为Sn，若S33S20，则公比q_.解析：S33S20，a1a2a33(a1a2)0，a1(44qq2)0.a10，q2.答案：21设数列an是等比数列，前n项和为Sn，若S33a3，则公比q为()AB1C或1 D.解析：选C当q1时，满足S33a13a3.当q1时，S3a1(1qq2)3a1q2，解得q，综上q或q1.2(2012东城模拟)设数列an满足：2anan1(an0)(nN*)，且前n项和为Sn
33、，则的值为()A. B.C4 D2解析：选A由题意知，数列an是以2为公比的等比数列，故.3(2012安徽高考)公比为2的等比数列an的各项都是正数，且a3a1116，则log2a10()A4 B5C6 D7解析：选Ba3a1116，a16.又等比数列an的各项都是正数，a74.又a10a7q342325，log2a105.4已知数列an，则“an，an1，an2(nN*)成等比数列”是“aanan2”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A显然，nN*，an，an1，an2成等比数列，则aanan2，反之，则不一定成立，举反例，如数列为1,0,0,
34、0，5(2013太原模拟)各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若Sn2，S3n14，则S4n等于()A80 B30C26 D16解析：选B设S2na，S4nb，由等比数列的性质知：2(14a)(a2)2，解得a6或a4(舍去)，同理(62)(b14)(146)2，所以bS4n30.6已知方程(x2mx2)(x2nx2)0的四个根组成以为首项的等比数列，则()A. B.或C. D以上都不对解析：选B设a，b，c，d是方程(x2mx2)(x2nx2)0的四个根，不妨设acdb，则abcd2，a，故b4，根据等比数列的性质，得到c1，d2，则mab，ncd3，或mcd3，nab，则或.7已知
35、各项不为0的等差数列an，满足2a3a2a110，数列bn是等比数列，且b7a7，则b6b8_.解析：由题意可知，b6b8ba2(a3a11)4a7，a70，a74，b6b816.答案：168(2012江西高考)等比数列an的前n项和为Sn，公比不为1.若a11，则对任意的nN*，都有an2an12an0，则S5_.解析：由题意知a3a22a10，设公比为q，则a1(q2q2)0.由q2q20解得q2或q1(舍去)，则S511.答案：119(2012西城期末)已知an是公比为2的等比数列，若a3a16，则a1_；_.解析：an是公比为2的等比数列，且a3a16，4a1a16，即a12，故ana
36、12n12n，n，n，即数列是首项为，公比为的等比数列，.答案：210设数列an的前n项和为Sn，a11，且数列Sn是以2为公比的等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)求a1a3a2n1.解：(1)S1a11，且数列Sn是以2为公比的等比数列，Sn2n1，又当n2时，anSnSn12n2(21)2n2.an(2)a3，a5，a2n1是以2为首项，以4为公比的等比数列，a3a5a2n1.a1a3a2n11.11设数列an的前n项和为Sn，其中an0，a1为常数，且a1，Sn，an1成等差数列(1)求an的通项公式；(2)设bn1Sn，问：是否存在a1，使数列bn为等比数列？若存在，求出a1的值；若不存在，请说明理由解：(1)依题意，得2Snan1a1.当n2时，有两式相减，得an13an(n2)又因为a22S1a13a1，an0，所以数列an是