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1、精选优质文档-倾情为你奉上2015全国卷(文科数学)1A12015全国卷 已知集合Ax|x3n2，nN，B6，8，10，12，14，则集合AB中元素的个数为()A5 B4C3 D21D解析 集合A2，5，8，11，14，17，所以AB8，14，所以AB中有2个元素2F1、F22015全国卷 已知点A(0，1)，B(3，2)，向量(4，3)，则向量()A(7，4) B(7，4)C(1，4) D(1，4)2A解析 (3，1)，(4，3)(3，1)(7，4)3L42015全国卷 已知复数z满足(z1)i1i，则z()A2i B2iC2i D2i3C解析 设复数zabi(a，bR)，代入(z1)i1i
2、得(a1bi)i1i，即b(a1)i1i.根据复数相等可得得a2，b1，所以复数z2i.4K22015全国卷 如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为()A. B.C. D.4C解析 从1，2，3，4，5中任取3个不同的数有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共10种取法，其中只有(3，4，5)是一组勾股数，所以构成勾股数的概率为.5H5、H72015全国卷 已知椭圆
3、E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y28x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|()A3 B6C9 D125B解析 抛物线C：y28x的焦点坐标为(2，0)，准线方程为x2，即椭圆的半焦距c2.又离心率e，所以a4，于是b212，则椭圆的方程为1.A，B是C的准线x2与E的两个交点，把x2代入椭圆方程得y3，所以|AB|6.6G122015全国卷 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图11，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为
4、5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()图11A14斛 B22斛C36斛 D66斛6B解析 米堆的体积即为四分之一的圆锥的体积，设圆锥底面半径为r，则2r8，得r，所以米堆的体积为r25(立方尺)，1.6222(斛)7D22015全国卷 已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和若S84S4，则a10()A. B.C10 D127B解析 由S84S4，得8a114，解得a1，所以a10(101)1.8C42015全国卷 函数f(x)cos(x)的部分图像如图12所示，则f(x)的单调递减区间为()图12A.，kZ
5、B.，kZC.，kZD.，kZ8D解析 由图知1，所以T2，即2，所以.因为函数f(x)的图像过点，所以当时，2k，kZ，解得2k，kZ；当时，2k，kZ，解得2k，kZ.所以f(x)cos，由2kx2k解得2kx0.01，循环7次后S的值变为2恒成立，所以可知a1，于是由f(a)log2(a1)3得a7，所以f(6a)f(1)2112.11G22015全国卷 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图14所示若该几何体的表面积为1620，则r()图14A1 B2C4 D811B解析 由三视图可知，此组合体的前半部分是一个底面半径为r，高为
6、2r的半圆柱(水平放置)，后半部分是一个半径为r的半球，其中半圆柱的一个底面与半球的半个圆面重合，所以此几何体的表面积为2r2rr2r2r2r2r24r25r21620，解得r2.12B6、B72015全国卷 设函数yf(x)的图像与y2xa的图像关于直线yx对称，且f(2)f(4)1，则a()A1 B1C2 D412C解析 在函数yf(x)的图像上任设一点P(x，y)，其关于直线yx的对称点为P(x，y)，则有解得由于点P(x，y)在函数y2xa的图像上，于是有x2ya，得yalog2(x)，即yf(x)alog2(x)，所以f(2)f(4)alog22alog242a31，所以a2.132
7、015全国卷 在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前n项和若Sn126，则n_13D36解析 由a12，an12an可知数列an为等比数列，公比为2，所以Sn126，得n6.14B122015全国卷 已知函数f(x)ax3x1的图像在点(1，f(1)处的切线过点(2，7)，则 a_141解析 因为f(x)3ax21，所以函数在点(1，f(1)，即点(1，2a)处的切线的斜率kf(1)3a1.又切线过点(2，7)，则经过点(1，2a)，(2，7)的直线的斜率k，所以3a1，解得a1.15E52015全国卷 若x，y满足约束条件则z3xy的最大值为_154解析 作出约束条件表示的可行域
8、如图所示，当目标函数线平移至经过可行域的顶点A(1，1)时，目标函数z取得最大值，故zmax3114.16H62015全国卷 已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C的左支上一点，A(0，6) ，当APF周长最小时，该三角形的面积为_1612解析 由已知得a1，c3，则F(3，0)，|AF|15.设F1是双曲线的左焦点，根据双曲线的定义有|PF|PF1|2，所以|PA|PF|PA|PF1|2|AF1|217，即点P是线段AF1与双曲线的交点时，|PA|PF|PA|PF1|2最小，即APF周长最小，此时，sinOAF，cosPAF12sin2OAF，即有sinPAF.由余弦定理得|PF|2|PA
9、|2|AF|22|PA|AF|cosPAF，即(17|PA|)2|PA|21522|PA|15，解得|PA|10，于是SAPF|PA|AF|sinPAF101512.17C5、C82015全国卷 已知a，b，c分别是ABC内角A，B，C的对边，sin2B2sin Asin C.(1)若ab，求cos B; (2)若B90，且a， 求ABC的面积17解：(1)由题设及正弦定理可得b22ac.又ab，所以可得b2c，a2c.由余弦定理可得cos B.(2)由(1)知b22ac.因为B90，所以由勾股定理得a2c2b2.故a2c22ac，得ca，所以ABC的面积为1.18G52015全国卷 如图15
10、，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD.(1)证明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120，AEEC, 三棱锥E ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积图1518解：(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为BE平面ABCD，所以ACBE，故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED.(2)设ABx，在菱形ABCD中，由ABC120，可得AGGCx，GBGD.因为AEEC，所以在RtAEC中，可得EGx.由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BEx.由已知得，三棱锥E ACD的体积VE ACDACGDBEx3，故x2.从而可得AEE
11、CED，所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥E ACD的侧面积为32.19I42015全国卷 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i1，2，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值图16x y w (wiw )(yiy )46.65636.8289.81.61469108.8其中wi，wi.(1)根据散点图判断，yabx与ycd哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的
12、判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z0.2yx.根据(2)的结果回答下列问题：(i)年宣传费x49时，年销售量及年利润的预报值是多少？(ii)年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回归直线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为，vu.19解：(1)由散点图可以判断，ycd适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(2)令w，先建立y关于w的线性回归方程由于d68，ydw563686.8100.6，所以y关于w的线性回归方程为100.668w，因此y关于x的回归方程为100.
13、668.(3)(i)由(2)知，当x49时，年销售量y的预报值100.668576.6，年利润z的预报值576.60.24966.32.(ii)根据(2)的结果知，年利润z的预报值0.2(100.668)xx13.620.12，所以当6.8，即x46.24时，取得最大值故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大20H1、H3、H42015全国卷 已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点(1)求k的取值范围；(2)12，其中O为坐标原点，求|MN|.20解：(1)由题设，可知直线l的方程为ykx1.因为l与C交于两点，所以1，解得k0时，f(x)2
14、aaln.21解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)2e2x(x0)当a0时，f(x)0，f(x)没有零点当a0时，因为e2x单调递增，单调递增，所以f(x)在(0，)上单调递增又f(a)0，当b满足0b且b时，f(b)0时，f(x)存在唯一零点(2)证明：由(1)可设f(x)在(0，)上的唯一零点为x0.当x(0，x0)时，f(x)0.故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，所以当xx0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0)由于2e2x00，所以f(x0)2ax0aln2aaln.故当a0时，f(x)2aaln.22N12015全国卷 选修41：几何证明选讲如
15、图17，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于点E.(1)若D为AC的中点，证明：DE是O的切线；(2)若OACE，求ACB的大小图1722解：(1)证明：连接AE，由已知得，AEBC，ACAB.在RtAEC中，由已知得，DEDC，故DECDCE.连接OE，则OBEOEB.又ACBABC90，所以DECOEB90，故OED90，即DE是O的切线(2)设CE1，AEx，由已知得AB2，BE.由射影定理可得，AE2CEBE，所以x2，即x4x2120，可得x，所以ACB60.23N32015全国卷 选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线C1：x2，圆C2：(x1)2(y2)21，
16、以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为(R)，设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的面积23解：(1)因为xcos ，ysin ，所以C1的极坐标方程为cos 2，C2的极坐标方程为22cos 4sin 40.(2)将代入22cos 4sin 40，得2340，解得12，2，故12，即|MN|.由于圆C2的半径为1，所以C2MN的面积为.24N42015全国卷 选修45：不等式选讲已知函数f(x)|x1|2|xa|，a0.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围24解：(1)当a1时，f(x)1化为|x1|2|x1|10.当x1时，不等式化为x40，无解；当1x0，解得x0，解得1x1的解集为.(2)由题设可得，f(x)所以函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a1，0)，C(a，a1)，ABC的面积为(a1)2.由题设得(a1)26，故a2，所以a的取值范围为(2，)专心-专注-专业