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1、(六) 与相似三角形有关的压轴题1 (08 苏州 )如图，帆船A 和帆船 B 在太湖湖面上训练，O 为湖面上的一个定点，教练船静候于O 点训练时要求A、B 两船始终关于O 点对称以O 为原点建立如图所示的坐标系，x轴、 y 轴的正方向分别表示正东、正北方向设A、B 两船可近似看成在双曲线4yx上运动，湖面风平浪静，双帆远影优美训练中当教练船与A、B 两船恰好在直线yx上时，三船同时发现湖面上有一遇险的 C 船，此时教练船测得C 船在东南 45方向上， A 船测得 AC 与 AB 的夹角为 60， B 船也同时测得C 船的位置（假设C 船位置不再改变，A、B、C 三船可分别用A、B、C 三点表示
2、 )(1)发现 C 船时， A、B、C 三船所在位置的坐标分别为A( ，)、B( ，)和C( ，)；(2)发现 C 船，三船立即停止训练，并分别从A、O、B三点出发沿最短路线同时前往救援，设A、B 两船的速度相等，教练船与A 船的速度之比为3：4，问教练船是否最先赶到 ?请说明理由。2（ 08湖州） 已知：在矩形AOBC中，4OB，3OA分别以OBOA，所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系F是边BC上的一个动点（ 不 与BC，重 合 ） ， 过F点 的 反 比 例 函 数(0)kykx的图象与AC边交于点E（1）求证：AOE与BOF的面积相等；（2）记OEFECFSSS，求当k为
3、何值时，S有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点F，使得将CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - - YXCOAB3（ 08 泸州）如图，111P,x y，222P,xy，P,nnnxy在函数40yxx的图像上，11POA，212P A A，323P A A，1P AAnnn都是等腰直角三角形，斜边1OA、12A A、23A A，1AAnn都在
4、x轴上求1P的坐标求12310yyyy的值4（ 08 金华） 如图 1，已知双曲线y=xk(k0) 与直线y=k x交于 A， B两点，点A在第一象限. 试解答下列问题：（ 1）若点 A的坐标为(4 ， 2). 则点 B的坐标为；若点 A的横坐标为m ，则点 B的坐标可表示为；（ 2）如图 2，过原点O作另一条直线l ，交双曲线y=xk(k0) 于 P， Q两点，点P在第一象限. 说明四边形 APBQ 一定是平行囚边形；设点A.P的横坐标分别为 m， n，四边形APBQ 可能是短形吗?可能是正方形吗?若可能，直接写出mn应满足的条件；若不可能，请说明理由 . yxP1P2P3A3A2A1O精品
5、资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 5(08 德州 )（1）探究新知：如图 1，已知 ABC 与ABD 的面积相等，试判断AB与 CD 的位置关系，并说明理由（2）结论应用 ： 如图 2，点 M，N 在反比例函数xky（k0）的图象上，过点M 作 MEy 轴，过点N 作 NFx 轴，垂足分别为 E，F试证明： MNEF 若中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如图3 所示，请判断MN 与 EF 是否平行6 (08 内江 )如图，一次函数y
6、kxb的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数图象相交于AB，两点 ， 与y轴 交 于 点C， 与x轴 交 于 点D，5OB且点B横坐标是点B纵坐标的 2 倍（1）求反比例函数的解析式；（2）设点A横坐标为m，ABO面积为S，求S与m的函数关系式，并求出自变量的取值范围O y N M 图2 E F x N A B D C 图1 O x y A C D B 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 7（ 07 常州）已知A（ 1，m）与B（
7、2，m33 ）是反比例函数ykx图象上的两个点（1）求 k 的值；（2）若点C（ 1，0），则在反比例函数ykx图象上是否存在点D，使得以A、B、C、D 四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由8（ 07 济宁）（1）已知矩形A 的长、宽分别是2 和 1，那么是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是矩形A 的周长和面积的 2 倍？对上述问题，小明同学从“ 图形 ” 的角度，利用函数图象给予了解决，小明论证的过程开始是这样的：如果用x、y 分别表示矩形的长和宽，那么矩形B 满足 xy6，xy4请你按照小明的论证思路完成后面的论证过程（2）已知矩形A 的长和宽分别
8、是2 和 1，那么是否存在一个矩形C，它的周长和面积分别是矩形A 的周长和面积的一半？小明认为这个问题是肯定的，你同意小明的观点吗？为什么？O x y 2 2 4 4 6 6 8 8 第（ 1）题图O x y 1 1 2 2 3 3 4 4 第（ 2）题图AABBCCxxyy11111 OO1 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 9（ 07 长春）如图，在平面直角坐标系中，A 为 y 轴正 半 轴 上 一 点 ， 过A作x轴 的 平
9、行 线 ， 交 函 数2(0 )yxx的图象于B，交函数6(0)yxx的图象于 C，过 C 作y轴的平行线交BD 的延长线于D（1）如果点A 的坐标为（ 0，2），求线段AB 与线段 CA的长度之比（2）如果点A 的坐标为（ 0，a），求线段AB 与线段 CA的长度之比（ 3 ） 在 （ 2 ） 的 条 件 下 ， 四 边 形AODC的 面 积与10（ 07 上海）如图，在直角坐标平面内，函数myx（0 x，m是常数）的图象经过A（1，4）， B（a，b），其中1a过点 A 作x轴垂线，垂足为C，过点 B 作y轴垂线，垂足为D，连结 AD ，DC，CB（1）若 ABD 的面积为 4，求点 B
10、的坐标；（2）求证： DC/AB ；（3）当 AD=BC 时，求直线AB 的函数解析式ABCODxy6yx2yxxCODBAy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 20XX 年福建省泉州）我们容易发现：反比例函数的图象是一个中心对称图形. 你可以利用这一结论解决问题. 如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是：将x轴所在的直线绕着原点O逆时针旋转 度角后的图形. 若它与反比例函数xy3的图象分别交于第一、三象限的点B、D，已
11、知点)0 ,( mA、)0,(mC.（1）直接判断并填写：不论取何值，四边形ABCD的形状一定是 ;（2）当点B为) 1 ,( p时，四边形ABCD是矩形，试求p、和m有值；观察猜想：对中的m值，能使四边形ABCD为矩形的点B共有几个？ ( 不必说理 ) （3）试探究：四边形ABCD能不能是菱形？若能 , 直接写出 B点的坐标 , 若不能 , 说明理由 . （2010 广西柳州） 如图13，过点P(4， 3)作 x 轴、 y 轴的垂线，分别交x 轴、 y 轴于 A、B 两点，交双曲线xky（k2）于 E、F 两点（1）点 E 的坐标是 _，点 F 的坐标是_；（均用含k 的式子表示）（2）判断
12、 EF 与 AB 的位置关系，并证明你的结论；（ 3） 记O E FPEFSSS， S 是 否 有 最 小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由x A B O E F P y 图 13 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - - （ 2010 河南） 如图，直线y=1kx+6 与反比例函数y=2kx等( x0)的图象交于A(1,6) ，B(a,3) 两点 . （1）求1k、2k的值；(2) 直接写出1kx +6 一2kx 0 时的取值范围
13、； (3)如图，等腰梯形OBCD中， BC OD,OB=CD ，OD边在 x 轴上，过点C 作 CE OD于 E，CE和反比例函数的图象交于点P. 当梯形OBCD的面积为l2时，请判断PC和 PE的大小关系，并说明理由. （2010 山东省德州） 探究(1) 在图 1 中，已知线段 AB，CD，其中点分别为E，F若 A (-1，0)， B (3，0)，则 E 点坐标为 _；若 C (-2，2)， D (-2， -1)，则 F 点坐标为 _；(2)在图 2 中，已知线段AB 的端点坐标为A(a，b) ， B(c，d)，求出图中AB 中点 D 的坐标（用含a，b，c，d 的代数式表示），并给出求解
14、过程 归纳无论线段AB 处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A(a，b)，B(c，d)，AB 中点为D(x，y) 时，x=_， y=_（不必证明） 运用在图 2 中，一次函数2xy与反比例函数xy3的图象交点为A，B求出交点A，B 的坐标；若以 A，O，B， P 为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点P 的坐标x y y=x3y=x-2 A B O 第 22 题图 3O x y DB第 22 题图 2A第 22 题图 1O x y DBAC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -