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1、精选优质文档-倾情为你奉上第三章 一维扩散方程 本章讨论一维扩散方程。首先，从随机过程中的一维扩散方程的讨论可直接得到扩散方程的解。然后对非齐次和各类边值问题相应的扩散方程作了讨论。讨论的方程类型（1）直线上的齐次和非齐次扩散方程：；（利用随机过程的理论得到结论，再直接验证）；（算子方法，与常微分方程类比）（2）半直线上的扩散方程；（其它非齐次边界等） 对扩散方程理论方面的探讨：最大（最小）值原理。由此证明方程解的唯一性和稳定性。3.1全直线上的扩散方程首先讨论随机过程中的扩散过程。设想粒子在一维直线上作连续随机游动（Brown运动），满足性质：在时间内位移转移概率为均值为0，方差为的正态分布
2、。在时刻处于的概率密度记为。则，或因此，。可见：一维Brown运动的状态概率密度满足扩散方程。 从随机过程的角度，可直接写出状态概率密度：。所以，有如下定理。定理 扩散方程的解为。证 由，易知初始条件成立：。且对函数，直接计算，有，所以，。即但与只差常数倍，故。【end】对具有源的扩散方程，可用常微分方程的结果类比得到。常微分方程的解为。可以把理解为一个算子：把初始函数变换为一个新的函数。而齐次方程的解也可这样理解：，定义了算子。只不过常微分方程中，直接可用一个函数给出该算子。非齐次常微分方程的解为，这里，为类比得到偏微分方程的结果，用算子形式表示了结论。由此得到结论定理 直线上的非齐次扩散方
3、程的解为。证 直接验证结论。前一项显然满足齐次方程，即，而后一项，即所以，满足方程。初始条件显然也满足：。因此，定理成立。【end】 该方法是处理非齐次方程的一般方法。这里，来说明如何用于非齐次波动方程的求解。由于波动方程关于时间是两次的，所以不能直接用。但是注意到是下面波动方程，的解，故定义算子，那么原来齐次波动方程的解为，则非齐次的波动方程的解为。注意到，即得结论。3.3半直线上的扩散方程类似于波动方程，利用延拓方法可讨论边值问题的解。对特殊的Dirichlet问题（边界是齐次的），可用奇延拓方法来求解。奇延拓后的系统，其中，。该方程的解，因此，原方程的解，【end】对Neumann问题（
4、边界是齐次的），为保证函数在原点导数为零，必须使函数为偶函数，所以，采用偶延拓。延拓后的系统，其中，。该方程的解，因此，原方程的解为【end】 对半直线上的非齐次方程（齐次边界）的Dirichlet问题和Neumann问题，仍可用奇延拓和偶延拓方法分别解决。对非齐次方程，非齐次边界的Dirichlet问题，则可利用叠加原理和函数变换方法，把问题分解齐次边界的相应问题求解。作函数变换：，则问题成为其次边界问题。对非齐次方程（非齐次边界）的Neumann问题，则可作变换：，变为齐次边界的Neumann问题，然后再用偶延拓方法求解。3.2 一维扩散方程最大（最小值）原理和解的唯一性和稳定性若函数满足
5、齐次扩散方程，那么有下面结论。定理（最大值原理） 如果，则在矩形时空区域（）内，函数的最大值只能在，在边界或上取得。（最小值原理也类似成立）证 这是闭区域上的二元函数的极值问题，极值点可能是区域内点，也可能在边界上。定理结论是说，极值点在特定的边界上取到。极值在区域内部取到是有必要条件的，即该点的一阶导数为零，而二阶导数必须是半正定的。用反证法证明在矩形内部不能取到极值。若在矩形内取到极值，则，。此时，如果，则产生矛盾：。故只要证时，仍会产生矛盾。记边界上函数的最大值是。构造。下证：（如果证得此结论，则令即得定理的结果）。由于在边界上，所以只要证不能在（1）矩形内部；（2）矩形顶部：取得最大值
6、。（1）若在内部有最大值，则。但，矛盾。（2）在矩形顶部，则，仍矛盾。所以定理结论成立。【end】利用上述极值原理，可得到Dirichlet 问题的唯一性和稳定性。定理 如果扩散方程解存在，则解必定唯一。证 如果和都是解，则是方程的解。由最大值原理，在矩形内，即。【end】 利用该原理还可得到方程解的稳定性。定理 如果扩散方程和的解分别为和，则。证 对直接利用极值原理。【end】第三章 习题1. 对满足扩散方程的函数，在矩形区域找出取到最大值和最小值的点和相应的值。解 在上，显然，处有最大值；而，处有最小值。在上，显然，处有最大值；而，处有最小值。所以，最大值为，在处；最小值为，在处。2. 求扩散方程的解的解，其中。（用积分形式表示）3. 求扩散方程的解的解，其中。4. 求具有耗散的扩散方程的解，。（提示：作函数变换）。5. 求具有耗散的扩散方程的解，。6. 求方程的解，。（提示：作变量代换）。7. 求扩散方程的解。8. 求扩散方程的解。9. 求扩散方程的Neumann问题的解。10. 利用延拓方法求非齐次扩散方程的解。专心-专注-专业