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1、松江区 2012学年度第二学期月考试卷高三数学（文科）（满分 150 分，完卷时间120 分钟）2013.5 一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1已知集合,30RxxxA，12,Bx xxR，则BA2已知数列na是公差为 2 的等差数列，nS是na的前 n 项和，则limnnnSna= 3函数2cossin( )sin2cosxxf xxx的最小正周期为4某小组中有6 名女同学和4 名男同学，从中任意挑选3 名同学组成环保志愿者宣传队，则这个宣传队由2 名女同学和1 名男同学组成的概率是（结果用分数表示） 5已知圆柱M 的底面直径与高均等于球O 的直径， 则圆柱 M 与球 O 的体
2、积之比VV圆柱球：= 6已知1e、2e是平面上两个不共线的单位向量，向量12aee，122bmee 若ab，则实数m= 7二项式151()xx的展开式中含x一次幂的项是第项8已知直线1310lxy：，210lxty：，若直线1l与2l的夹角为60，则t= 9设变量, x y满足约束条件01042022xyxyx，则目标函数32zxy的最小值为10 阅读右边的程序框图，如果输出的函数值y在区间1,14内，则输入的实数x的取值范围是x11若等差数列na的首项为1,a公差为d，前n项的和为nS，则数列nSn为等差数列，且通项为1(1)2nSdann类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列nb
3、的首项为1b，公比为q，前n项的积为nT，则12若集合,),(,325),3(1)3(),(MbayyyyxyxM且对M中其精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 它元素),(dc，总有,ac则a13已知2( )f xx，01211nxxxx，1|()() |,nnnaf xf xnN，123nnSaaaa，则nS的最大值等于14平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点( ,)x y为整点，命题：存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经
4、过任何整点；如果k与b都是无理数，则直线ykxb不经过任何整点；如果k与b都是有理数，则直线ykxb必经过无穷多个整点；存在恰经过一个整点的直线；其中的真命题是（写出所有真命题编号）二、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 15某几何体的正视图和侧视图均如图1 所示，则该几何体的俯视图不可能是16已知| 1,zzC:,|,zia zC：|若是的充分非必要条件，则实数a的取值范围是A1aB1aC2aD2a17 若2002(0)xpyp， 则称点00(,)xy在抛物线 C：22(0)xpy p外已知点()P ab，在抛物线C：22(0)xpy p外，则直线()laxp yb：与抛物线 C 的位置
5、关系是A相交B相切C相离D不能确定18在过正方体AC1的 8 个顶点中的3 个顶点的平面中，能与三条棱CD 、A1D1、 BB1所成的角均相等的平面共有A1 个B4 个C8 个D12 个三解答题（本大题满分74 分）19 （本题满分12 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分 6 分，第2 小题满分6 分如图，直三棱柱111ABCA B C的底面ABC是等腰直角三角形，1ABAC， 侧棱1AA底面ABC，且12AA，E是BC的中点（1）求直三棱柱111ABCA B C的全面积；（2）求异面直线AE与1AC所成角的大小（结果用反三角函数表示）；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - -
6、- - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 20 （本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分 7 分，第 2 小题满分7 分已知函数( )22xxf xa()aR（1）讨论函数( )f x的奇偶性；（2）若函数( )f x在(,2上为减函数，求a的取值范围21（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分 6 分，第 2 小题满分8 分电视传媒为了解某市100 万观众对足球节目的收视情况，随机抽取了100 名观众进行调查如图是根据调查结果绘制的观众每周平均收看足球节目时间的
7、频率分布直方图，将每周平均收看足球节目时间不低于1.5 小时的观众称为“ 足球迷 ” ， 并将其中每周平均收看足球节目时间不低于2.5 小时的观众称为“ 铁杆足球迷 ” （1）试估算该市“ 足球迷 ” 的人数，并指出其中“ 铁杆足球迷 ” 约为多少人；（2）该市要举办一场足球比赛，已知该市的足球场可容纳 10 万名观众根据调查，如果票价定为100 元/张，则非“足球迷”均不会到现场观看，而“ 足球迷 ” 均愿意前往现场观看 如果票价提高10 x元/张()xN，则“足球迷”中非“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少10 %x， “铁杆足球迷” 愿意前往观看的人数会减少100%11xx问票价至少定
8、为多少元/张时，才能使前往现场观看足球比赛的人数不超过10 万人？00.5频率组距11.522.53小时0.160.520.440.720.060.10精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 22 （本题满分16 分）第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分6 分，第 3 小题满分6 分已知点P是椭圆C上任一点， 点P到直线12lx：的距离为1d，到点( 10)F，的距离为2d，且2122dd直线l与椭圆C交于不同两点A、B(A，B都在
9、x轴上方 ) ，且180OFAOFB（1）求椭圆C的方程；（2）当A为椭圆与y轴正半轴的交点时，求直线l方程；（3）对于动直线l，是否存在一个定点，无论OFA如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由23 （本题满分18 分）第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分6 分，第 3 小题满分8 分若数列na满足条件：存在正整数k，使得2n kn knaaa对一切,nNnk都成立，则称数列na为k级等差数列（1）已知数列na为 2 级等差数列，且前四项分别为2,0,4,3，求89aa的值；（2）若2sin(nann为常数），且na是3级等差数列，求所有可能值的集
10、合，并求取最小正值时数列na的前 3n项和3nS；（3）若na既是2级等差数列na，也是3级等差数列，证明：na是等差数列精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 松江区 2012学年度第二学期月考高三数学（文科）参考答案2013.5 一、填空题1 31xx21234125 3： 2 62 7 8 80 或394 102,011数列nnT为等比数列，且通项为11()nnnTbq1249132 14二选择题15D 16C17A 18. C 三
11、、解答题19.（本题 12 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分 6 分，第 2 小题满分6 分解： （1）1111 1222ABCSAB AC（ 2 分）1()(121) 242 2SABBCACAA侧（ 4 分）=2=5+22ABCSSS侧全（ 6 分）（2）取11B C的中点1E，连11A E，则11/A EAE，即11CA E即为异面直线AE与1AC所成的角（ 2 分）连1E C. 在11Rt E C C中，由1122E C，12CC知113 2422AC在11Rt A C C中，由111AC，12CC知15AC（ 4 分）在11A E C中，22223 2()( 5)()11022
12、cos1021025210arccos10（ 6 分）20. （本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分 7 分，第 2 小题满分7 分解： （1）()22xxfxa（ 1 分）若( )f x为偶函数，则对任意的xR，都有( )()f xfx，即2222xxxxaa，2 (1)2(1)xxaa，(22)(1)0 xxa对任意的xR都精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 成立。由于22xx不恒等于0，故有10a，即1a当1a时
13、，( )f x是偶函数。（4 分）若( )f x为奇函数，则对任意的xR，都有( )()f xfx，即22220 xxxxaa，(22)(1)0 xxa对任意的xR都成立。由于22xx不恒等于 0，故有10a，即1a当1a时，( )fx是奇函数。（6 分）当1a时，( )f x是奇函数；当1a时，( )f x是偶函数；当1a时，( )fx是非奇非偶函数。（7 分）（ 2 ） 因 函 数( )f x在(,2上 为 减 函 数 ， 故 对 任 意 的122xx， 都 有12()()0f xf x，（ 2 分）即12()()f xf x1122121222(22)(22 )(1)02 2xxxxxx
14、xxaaa恒成立。（4分）由12220 xx，知12102 2xxa恒成立，即1222xxa恒成立。由于当122xx时12max(22 )4xx（ 6 分）4a（ 7 分）21. （本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分 7 分，第 2 小题满分7 分解：（1）样本中“足球迷”出现的频率=(0.160.100.06)0.516%（ 2 分）“足球迷”的人数=100 16%16（万）（ 2 分）“铁杆足球迷”=100(0.060.5)3（万）所以16 万“足球迷”中， “铁杆足球迷”约有3 万人 . （ 6 分）（2）设票价为10010 x元，则一般“足球迷”中约有13(1 10
15、%)x万人， “铁杆足球迷”约有1003(1%)11xx万人去现场看球. （ 3 分）令10013313(1 10 %)3(1%)1610111011xxxxxx（ 5 分）化简得：2131136600 xx解得：165,413xx或，由xN，4x（ 7 分）即平均票价至少定为100+40=140 元，才能使前往现场观看足球比赛的“足球迷”不超过10万人 . （ 8 分）22. （本题满分16 分）本题共有3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分6 分，第 3 小题满分 6 分解： （1）设( , )P x y，则2212|2 |,(1)dxdxy，（2 分）2221(1)2|2
16、 |2xyddx化简得：2212xy椭圆 C 的方程为：2212xy（4 分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - - （2）(0,1),( 1,0)AF1010( 1)AFk，180OFAOFB1BFk，:1(1)1BFyxx（ 3 分）代入2212xy得：2340 xx，40,3xx或，代入1yx得403()113xxyy舍 ，或，4 1(,)3 3B（ 5 分）11113,:14220()3ABkAB yx，（ 6 分）（3）解法一：
17、由于180OFAOFB，0AFBFkk。（ 1 分）设1122(,),(,)A xyB xy设直线AB方程：ykxb，代入2212xy得：2221()2102kxkbxb（ 3 分）212122221,1122kbbxxx xkk12121221121212()(1)()(1)01111(1)(1)AFBFyykxbkxbkxbxkxbxkkxxxxxx12211212222()(1)()(1)2()()2122()201122kxb xkxbxkx xkb xxbbkbkkbbkk20bk，（ 5 分）直线AB方程：(2)yk x直线l总经过定点( 2,0)M（ 6 分）解法二：由于180O
18、FAOFB，所以B关于 x 轴的对称点1B在直线AF上。设1122122(,),(,),(,)A xyB xyBxy设直线AF方程：(1)yk x，代入2212xy得：22221()2102kxk xkyBAxFMO1B精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 2212122221,1122kkxxx xkk1212AByykxx，121112:()yyAByyxxxx，令0y，得：122112111212xxx yx yxxyyyyy11
19、(1)yk x，22(1)yk x211221121212121212(1)(1)2(1)(1)2x yx yxk xxk xx xxxxyyk xk xxx222222122112222212kkkkkk直线l总经过定点( 2,0)M23. （本题满分18 分）本题共有3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分6 分，第 3 小题满分 8 分解 （1）82423()03(30)9aaaa（ 2 分）91314()24210aaaa8919aa（ 4 分）（2）na是3级等差数列，332nnnaaa2(2sin)nn2(3)sin(3 )nn2(3)sin(3 )nn（*nN） （
20、1 分）2sinsin(3 )sin(3 )2sincos3nnnn（*nN）所以sin0n， 或cos31sin0n对nN恒成立时，()kkZcos31时，232(),(),3kkkZkZ2|()|()3kkZkkZ（ 3 分）最小正值等于23，此时22sin3nnan由于2(32)2(31)2(3 )sinsinsin0333nnn（*nN）323136(31)nnnaaan（*nN）（ 5 分）312345632313126(31)()()()2nnnnnnSaaaaaaaaa293nn（*nN）（ 6 分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎
21、下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - - （3）若na为2级等差数列，222nnnaaa，则212,nnaa均成等差数列， （1 分）设等差数列212,nnaa的公差分别为12,d dna为3级等差数列，332nnnaaa，则32na成等差数列，设公差为D17,a a既是中21na的项，也是32na中的项，71132aadD（ 3 分）410,a a既是中2na的项，也是32na中的项，104232aadD12332ddD（ 5 分）设122ddd，则3Dd所以21111(1)(22)naandand（*nN） ，2222(1)(22)naandand， （*nN）又4113aaDad，42222aadad，所以21aad，（7 分）21(21)naand（*nN）综合得：1(1)naand，显然na为等差数列。（8 分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -