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1、Thursday, April 28, 2022高等数学A(下）24 - 1积分学 定积分二重积分三重积分定积分二重积分三重积分积分域积分域 区区 间间 平面域平面域 空间域空间域 曲线积分曲线积分曲线弧曲线弧曲面域曲面域曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲面积分Thursday, April 28, 2022高等数学A(下）24 - 2第一节 对弧长的曲线积分Chapter 11一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法Thursday, A
2、pril 28, 2022高等数学A(下）24 - 3一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质 假设曲线形细长构件假设曲线形细长构件在在x o y面上所占面上所占 弧段为弧段为AB , ),(yx 现计算此构件的质量。现计算此构件的质量。1.1.引例引例: 曲线形构件的质量曲线形构件的质量AB其线密度为其线密度为oxyThursday, April 28, 2022高等数学A(下）24 - 4oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L. sM 对于匀质之质量，对于匀质之质量，分割分割,121insMMM ,),(iiis 取取.),(iiiisM 求和求和.)
3、,(1 niiiisM 取极限取极限.),(lim10 niiiisM 近似值近似值精确值精确值一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质1.1.引例引例: 曲线形构件的质量曲线形构件的质量对于非匀质之质量，对于非匀质之质量，Thursday, April 28, 2022高等数学A(下）24 - 5,),(,),(,),(,.,.),(,niiiiiiiiiinsfsfisinLMMMLLyxfxoyL1121 并并作作和和作作乘乘积积点点个个小小段段上上任任意意取取定定的的一一为为第第又又个个小小段段的的长长度度为为设设第第个个小小段段分分成成把把上上的的点点用用上上
4、有有界界在在函函数数面面内内一一条条光光滑滑曲曲线线弧弧为为设设1.定义定义oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L即即记作记作第一类曲线积分第一类曲线积分曲线积分或曲线积分或上对弧长的上对弧长的在曲线弧在曲线弧则称此极限为函数则称此极限为函数存在存在这和的极限这和的极限时时长度的最大值长度的最大值如果当各小弧段的如果当各小弧段的,),(,),(,LdsyxfLyxf0 niiiiLsfdsyxf10),(lim),( Thursday, April 28, 2022高等数学A(下）24 - 6niiiiLsfdsyxf10),(lim),( 被积函数被积函数积分弧段积分弧段积分和
5、式积分和式曲线形构件的质量曲线形构件的质量.),( LdsyxM 2.存在条件：存在条件：.),(,),(存在存在曲线积分曲线积分对弧长的对弧长的上连续时上连续时在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当LdsyxfLyxf3.推广推广积分为积分为曲线曲线上对弧长的上对弧长的在空间曲线弧在空间曲线弧函数函数),(zyxf.),(lim),(10iniiiisfdszyxf Thursday, April 28, 2022高等数学A(下）24 - 74. 性质性质syxfLd),()( 1 （ , 为常数为常数)Lsyxfd),()(2( L 由由 组成组成) 21LL ,则则上上设在设在),(),()(yx
6、gyxfL3( l 为曲线弧为曲线弧 L的长度的长度),(yxg Lsyxfd),( syxgLd),( l21LLsyxfsyxfd),(d),(LLsyxgsyxfd),(d),(Lsd)(4如果如果 L 是闭曲线是闭曲线 , 则记为则记为.d),(LsyxfThursday, April 28, 2022高等数学A(下）24 - 8tttttfsyxfLd)()()(, )(d),(22二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路基本思路:计算定积分计算定积分转转 化化定理定理:),(yxf设且且)()(tty上的连续函数上的连续函数,证证:是定义在光滑曲线弧是定义在光滑曲线弧则曲线积分则曲线积
7、分),(:txL,d),(存在Lsyxf求曲线积分求曲线积分根据定义根据定义 kknkksf),(lim10Lsyxfd),(Thursday, April 28, 2022高等数学A(下）24 - 9kknkksf),(lim10Lsyxfd),(, ,1kkktt点点),(kktttskkttkd)()(122,)()(22kkktnk 10limLsyxfd),(kkkt)()(22 )(, )(kkf连续连续注意注意)()(tt22 设各分点对应参数为设各分点对应参数为), 1 ,0(nktk对应参数为对应参数为 则则,1kkkttnk 10limkkkt)()(22 )(, )(kk
8、foxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii LThursday, April 28, 2022高等数学A(下）24 - 10kknkksf),(lim10Lsyxfd),(nk 10limLsyxfd),(kkkt)()(22 )(, )(kkf连续连续注意注意)()(tt22 则则nk 10limkkkt)()(22 )(, )(kkfLsyxfd),(tttttfd)()()(),(22因此因此Thursday, April 28, 2022高等数学A(下）24 - 11xyOxdydsdLsyxfd),(tttttfd)()()(),(22说明说明:, 0, 0) 1 (kkts
9、因此积分限必须满足因此积分限必须满足!(2) 注意到注意到 22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此上述计算公式相当于因此上述计算公式相当于“换元法换元法”. 因此因此Thursday, April 28, 2022高等数学A(下）24 - 12如果曲线如果曲线 L 的方程为的方程为),()(bxaxy则有则有Lsyxfd),(如果方程为极坐标形式如果方程为极坐标形式:),()(: rrL则则syxfLd),()sin)(,cos)(rrf推广推广: 设空间曲线弧的参数方程为设空间曲线弧的参数方程为)()(, )(),(:ttztytx则则szyxfd),(ttttd)()()(22
10、2xx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,()(),(, )(tttfThursday, April 28, 2022高等数学A(下）24 - 13三、几何与物理意义,),()(的线密度时的线密度时表示表示当当Lyx 1;),( LdsyxM ;,),()(LdsLyxf弧长弧长时时当当12,),(),()(处的高时处的高时上的柱面在点上的柱面在点表示立于表示立于当当yxLyxf3.),(LdsyxfS柱面面积柱面面积sL),(yxfz ,)(轴的转动惯量轴的转动惯量轴及轴及曲线弧对曲线弧对yx4.,22 LyLxdsxIdsyI 曲线弧的重心坐标曲线弧的重心坐标)(5.,LLL
11、Ldsdsyydsdsxx Thursday, April 28, 2022高等数学A(下）24 - 14例例1. 计算计算,dLsy其中其中 L 是抛物线是抛物线2xy 与点与点 B (1,1) 之间的一段弧之间的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLLsyd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上点上点 O (0,0)O1Lxy2xy ) 1 , 1 (BThursday, April 28, 2022高等数学A(下）24 - 15例例2. 计算半径为计算半径为 R ,中心角为中心角为2的圆弧的圆弧 L 对于它的对对于它的对称轴的转动惯量称轴
12、的转动惯量 I (设线密度设线密度 = 1). 解解: 建立坐标系如图建立坐标系如图,R xyOLsyILd2d)cos()sin(sin2222RRRdsin23 R0342sin22 R)cossin(3 R则则 )(sincos:RyRxLThursday, April 28, 2022高等数学A(下）24 - 16例例3. 计算曲线积分计算曲线积分 ,d)(222szyx其中其中 为螺旋为螺旋的一段弧的一段弧.解解: szyxd)(22220222)()sin()cos(t ktatattkakad202222202322223tktaka)43(3222222kakatktatad)
13、cos()sin(222)20(,sin,costtkztaytax线线Thursday, April 28, 2022高等数学A(下）24 - 17d d s例例4. 计算计算,d)(222szyxI其中其中 为球面为球面解解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(18d22920Id2cos221z. 1的交线与平面 zx29222zyx化为参数方程化为参数方程 21cos2x sin2y则则Thursday, April 28, 2022高等数学A(下）24 - 18例例5. 计算计算,d2sx其中其中 为球面为球面 2222azyx被平
14、面被平面 所截的圆周所截的圆周. 0zyx解解: 由对称性可知由对称性可知sx d2szyxsxd)(31d2222sa d312aa2312332asy d2sz d2Thursday, April 28, 2022高等数学A(下）24 - 19P190习题习题5修改修改. 设均匀螺旋形弹簧设均匀螺旋形弹簧L的方程为的方程为,sin,costaytax),20(tt kz(1) 求它关于求它关于 z 轴的转动惯量轴的转动惯量;zI(2) 求它的质心求它的质心 .解解: 设其密度为设其密度为 (常数常数).syxILzd)(22202atkad222222kaa(2) L的质量的质量smLd2
15、22ka 而而sxLd22kaa20dcostt0(1)syLd22kaa20dsintt0szLd22kakd20tt2222kak故重心坐标为故重心坐标为),0,0(kThursday, April 28, 2022高等数学A(下）24 - 20内容小结内容小结1. 定义定义kkknkksf),(lim10szyxfd),(2. 性质性质kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(),()2(szyxfszyxfszyxfd),(21组成由ls d)3( l 曲线弧曲线弧 的长度的长度)szyxfd),(),(为常数szyx
16、gd),(Thursday, April 28, 2022高等数学A(下）24 - 213. 计算计算 对光滑曲线弧对光滑曲线弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),( 对光滑曲线弧对光滑曲线弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 对光滑曲线弧对光滑曲线弧tttd)()(22xx d)(12d)()(22rr)(),(ttfThursday, April 28, 2022高等数学A(下）24 - 22思考与练习思考与练习1. 已知椭圆已知椭圆134:22yxL周长为周长为a ,
17、求求syxxyLd)432(22提示提示:0d2sxyL原式原式 =syxLd)34(1222sLd12a12O22yx3利用对称性利用对称性sxyLd2sxyLd2上sxyLd2下x2xyd1222)(2xxyd1222分析分析:Thursday, April 28, 2022高等数学A(下）24 - 23作业作业P190 3 (3) , (4) , (6) , (7)5 Thursday, April 28, 2022高等数学A(下）24 - 24备用题备用题1. 设设 C 是由极坐标系下曲线是由极坐标系下曲线, ar 0及及4所围区域的边界所围区域的边界, 求求sICyxde222e)2
18、4(aa提示提示: 分段积分分段积分xIaxde0de40aaxaxd2e202xyOa4xy 0yar ddas Thursday, April 28, 2022高等数学A(下）24 - 252. L为球面为球面2222Rzyx标面的交线标面的交线 , 求其形心求其形心坐标坐标. 在第一卦限与三个坐在第一卦限与三个坐解解: 如图所示如图所示 , 交线长度为交线长度为ORzyxRR1L3L2LslLd31423R23 R由对称性由对称性 , 形心坐标为形心坐标为321d1LLLsxlxyz321ddd1LLLsxsxsxl1d2Lsxl20dcos2RRl34RThursday, April
19、28, 2022高等数学A(下）24 - 26例例3. 计算计算,dsxIL其中其中L为双纽线为双纽线)0()()(222222ayxayx解解: 在极坐标系下在极坐标系下它在第一象限部分为它在第一象限部分为)40(2cos:1arL利用对称性利用对称性 , 得得sxILd414022d)()(cos4rrr402dcos4a222a,2cos:22arLOyx44Thursday, April 28, 2022高等数学A(下）24 - 27思考思考: 例例4中中 改为改为0)1()1(2222zyxazyx计算计算?d2sx解解: 令令 11zZyYxX0 :2222ZYXaZYX, 则则sx d2sXd) 1(2sXd2332a)131(22aasX d2sda2圆圆 的形心的形心在原点在原点, 故故0XaX22, 如何如何利用形心公式利用形心公式