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1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）数学（文史类）第 I 卷一，选择题： （本大题共12 题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，中有一项是符合题目要求的。（1）已知集合1,3,5,7,9 ,0,3,6,9,12AB,则ABI(A) 3,5(B) 3,6(C) 3,7(D) 3,9（2） 复数3223ii（A）1（B）1（C）i(D)i（3）对变量, x y有观测数据（1x，1y） （1,2,.,10i） ，得散点图1；对变量,u v有观测数据（1u，1v） （i=1,2,， 10）,得散点图 2. 由这两个散点图可以判断。（A）变量 x 与 y 正相关， u 与 v 正相
2、关（B）变量 x 与 y 正相关， u 与 v 负相关（C）变量 x 与 y 负相关， u 与 v 正相关（D）变量 x 与 y 负相关， u 与 v 负相关（4）有四个关于三角函数的命题：1p：xR, 2sin2x+2cos2x=122p: ,x yR, sin()sinsinxyxy3p: x0,1cos2sin2xx4p: sincos2xyxy其中假命题的是精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - - （A）1p，4p（B）2p，4p
3、（3）1p，3p（4）2p，3p（5）已知圆1C：2(1)x+2(1)y=1，圆2C与圆1C关于直线10 xy对称， 则圆2C的方程为（A）2(2)x+2(2)y=1 （B）2(2)x+2(2)y=1 （C）2(2)x+2(2)y=1 （D）2(2)x+2(2)y=1 （6）设, x y满足24,1,22,xyxyxy则zxy（A）有最小值2，最大值 3 （B）有最小值2，无最大值（C）有最大值3，无最小值（D）既无最小值，也无最大值（7）已知3,2 ,1,0ab，向量ab与2ab垂直，则实数的值为（A）17（B）17（C）16（D）16（8）等比数列na的前 n 项和为nS，已知2110mm
4、maaa，2138mS,则m（A）38 （B）20 （C）10 （D）9 （9） 如图，正方体1111ABCDA B C D的棱线长为1，线段11B D上有两个动点E，F，且12EF，则下列结论中错误的是（A）ACBE（B）/EFABCD平面（C）三棱锥ABEF的体积为定值（D）AEFBEF的面积与的面积相等（10）如果执行右边的程序框图，输入2,0.5xh，那么输出的各精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 个数的和等于（A）3 （B
5、）3.5 （C）4 （D）4.5 （ 11 ） 一 个 棱 锥 的 三 视 图 如 图 ， 则 该 棱 锥 的 全 面 积 （ 单 位 ：2cm） 为（A）48122（B）48242（C）3612 2（D）36242（12）用 mina,b,c表示 a,b,c 三个数中的最小值。设( )min 2 ,2,10 xf xxx(x0),则fx的最大值为（A） 4 （B） 5 （C） 6 （D） 7 第 II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。第（13 题）第（ 21）题为必考题，每个试题考生都必须做答。第（ 22 题） 第（ 24）题为选考题，考生根据要求做答。二 填空题：本大题共4 小题，每小题5
6、 分。（13）曲线21xyxex在点（ 0,1）处的切线方程为。（14）已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x 轴上，直线y=x与抛物线C 交于 A，B 两点，若2,2P为AB的中点，则抛物线C 的方程为。（15）等比数列 na的公比0q, 已知2a=1，216nnnaaa，则 na的前 4 项和4S= 。（16）已知函数( )2sin()f xx的图像如图所示，则712f。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 三、解答题：解答应写出
7、文字说明，证明过程或演算步骤。（17） （本小题满分12 分）如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C 三点进行测量，已知50ABm，120BCm，于 A 处测得水深80ADm，于 B 处测得水深200BEm，于C处 测 得 水 深110CFm， 求 DEF 的 余 弦 值 。（18） （本小题满分12 分）如图，在三棱锥PABC中，PAB是等边三角形，PAC =PBC =90 o（）证明： ABPC（）若4PC，且平面PAC平面PBC，求三棱锥PABC体积。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - -
8、- - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - - （19） （本小题满分12 分）某工厂有工人1000 名，其中 250 名工人参加过短期培训（称为A 类工人），另外 750 名工人参加过长期培训（称为B 类工人） .现用分层抽样方法（按A 类， B 类分二层）从该工厂的工人中共抽查100 名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）. （） A 类工人中和B类工人各抽查多少工人？（）从 A 类工人中抽查结果和从B 类工人中的抽查结果分别如下表1 和表 2 表 1：生产能力分组100,110110,120120,130130,140140,150人
9、数4 8 x5 3 表 2：生产能力分组110,120120,130130,140140,150人数6 y 36 18 （1）先确定, x y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A 类工人中个体间的差异程度与B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）(ii)分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - -
10、 - - - - - - - - （20）(本小题满分12 分) 已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个项点到两个焦点的距离分别是7 和 1 （I）求椭圆C的方程（II）若P为椭圆C的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，OPeOM（e 为椭圆 C的离心率），求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。（21） （本小题满分12 分）已知函数3223( )39f xxaxa xa. (1) 设1a，求函数fx的极值；(2) 若14a，且当1,4xa时，)(xf12a 恒成立，试确定a的取值范围 . 请考生在第（22） 、 （23） 、 （ 24）三题中任选一题作答，如果
11、多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。（22） （本小题满分10 分）选修41；几何证明选讲如图，已知ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，B=60 ，F在AC上，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 且AEAF。（1）证明：,B D H E四点共圆；（2）证明： CE平分DEF 。（23） （本小题满分10 分）选修 44：坐标系与参数方程。已知曲线 C1：4cos ,3sin ,xt
12、yt（t 为参数）， C2：8cos ,3sin ,xy（为参数）。（1）化 C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若 C1上的点 P对应的参数为2t，Q 为 C2上的动点，求PQ中点M到直线332 ,:2xtCyt（t 为参数）距离的最小值。（24） （本小题满分10 分）选修4-5：不等式选讲如图，O为数轴的原点，,A B M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C与原点的距离，y表示C到A距离 4 倍与C到B距离的 6 倍的和 . （1）将y表示为x的函数；（2）要使y的值不超过70，x应该在什么范围内取值？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - -
13、 - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 2009 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题参考答案一选择题（1）D（2）C（3）C（4）A（5）B(6)B （7）A（8）C（ 9）D（10）B（11）A(12)C 二填空题(13) 31yx(14)24yx(15)152(16)0 三解答题(17) 解：作/DMAC交 BE于 N，交 CF于 M22223017010 198DFMFDM，222250120130DEDNEN，2222()90120150EFBEFCBC 6 分在DEF
14、中，由余弦定理，2222221301501029816cos22 13015065DEEFDFDEFDEEF. 12 分（18）解：（）因为PAB是等边三角形，90PACPBC, 所以Rt PBCRt PAC, 可得ACBC。如图，取AB中点D，连结PD,CD, 则PDAB,CDAB, 所以AB平面PDC, 所以ABPC。 6 分（）作BEPC，垂足为E，连结AE因为Rt PBCRt PAC，所以AEPC，AEBE精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 12 页 - - - - - -
15、 - - - - 由已知，平面PAC平面PBC，故90AEB 8 分因为Rt AEBRt PEB，所以,AEBPEBCEB都是等腰直角三角形。由已知4PC，得2AEBE，AEB的面积2S因为PC平面AEB，所以三角锥PABC的体积1833VSPC 12 分（19）解：（）A类工人中和B类工人中分别抽查25 名和 75 名。 4 分（） ( ) 由485325x，得5x，6361875y，得15y。频率分布直方图如下 8 分从直方图可以判断：B类工人中个体间的差异程度更小。 9 分（ii）485531051151251351451232525252525Ax，615361811512513514
16、5133.875757575Bx，2575123133.8131.1100100 xA 类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123，133.8 和 131.1. （20）解：（）设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得1,7.acac解得 a=4,c=3, 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 所以椭圆 C 的方程为221.167xy（）设 M（x,y）,P(x,1y),其中4,4
17、.x由已知得222122.xyexy而34e，故2222116()9().xyxy由点 P在椭圆 C上得2211127,16xy代入式并化简得29112,y所以点 M的轨迹方程为47( 44),3yx轨迹是两条平行于x 轴的线段 .（21）解：（）当 a=1 时，对函数( )f x求导数，得2( )369.fxxx令12( )0,1,3.fxxx解得列表讨论( ),( )f xfx的变化情况：x(,1)1（ -1， 3）3 (3,)( )fx+ 00 + ( )f xZ极大值 6 极小值 -26 Z所以，( )f x的极大值是( 1)6f，极小值是(3)26.f（）22( )369fxxaxa
18、的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a 对称 . 若11,( )4afx则在1,4a上是增函数，从而( )fx 在1,4a上的最小值是2(1)369,faa最大值是2(4 )15.faa由22|( ) | 12 ,1236912 ,fxaaxaxaa得于是有精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 22(1)36912 ,(4 )1512 .faaafaaa且由14(1)121,(4 )120.35faafaaa得由得所以1141 4
19、(,1,10,(,.4354 5aaII即若 a1,则2|( ) | 1212 .1,4 |( ) | 12faaaxafxa故当时不恒成立 . 所以使|( )| 12 (1,4 )fxa xa恒成立的 a的取值范围是1 4(,.4 5（22）解：（）在 ABC中，因为 B=60，所以 BAC+ BCA=120. 因为 AD,CE是角平分线，所以 HAC+ HCA=60，故 AHC=120. 于是 EHD= AHC=120. 因为 EBD+ EHD=180，所以 B,D,H,E四点共圆。（）连结BH，则 BH 为ABC的平分线，得HBD30由（）知B，D，H，E四点共圆，所以CEDHBD30又
20、AHEEBD60，由已知可得EFAD，可得CEF30所以 CE平分DEF（23）解：（）222212: (4)(3)1,:1649xyCxyC1C为圆心是( 4,3)，半径是 1 的圆。2C为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3 的椭圆。（）当2t时，( 4,4).(8cos,3sin)PQ，故3( 24cos ,2sin )2M3C为直线270 xy，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - - M 到3C的距离5| 4cos3sin13|5d从而当43cos,sin55时，d取得最小值8 55（24）解：（）4 |10 | 6 |20|,030yxxx（）依题意，x满足4|10| 6|20| 70,030 xxx解不等式组，其解集为9,23所以9,23x精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - - -