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1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）本试卷满分150 分，考试时间120 分钟第卷考生注意：1答题前，务必将自己的姓名、准考证号、填写清楚，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目2每小题选出答案后，用2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效3本卷共 12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的4所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效5考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回参考公式：如果事件AB，互斥，那么()()()P ABP AP B
2、如果事件AB，相互独立，那么()( )()P A BP AP Bgg如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率( )(1)(01,2)kkn knnP kC PPknL， ， ，以R为半径的球体积：343VR一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。1圆心在y轴上，半径为1，且过点（ 1，2）的圆的方程为（）A22(2)1xy B22(2)1xyC22(1)(3)1xyD22(3)1xy【答案】 A 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名
3、师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 解法 1 （直接法）： 设圆心坐标为(0, )b， 则由题意知2(1)(2)1ob， 解得2b，故圆的方程为22(2)1xy。解法 2（数形结合法） ：由作图根据点(1,2)到圆心的距离为1 易知圆心为（ 0，2） ，故圆的方程为22(2)1xy解法 3（验证法）：将点（ 1，2）代入四个选择支，排除B，D，又由于圆心在y轴上，排除 C。2命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（）A “若一个数是负数，则它的平方不是正数”B “若一个数的平方是正数，则它是负数”C “若一
4、个数不是负数，则它的平方不是正数”D “若一个数的平方不是正数，则它不是负数”【答案】 B 解析 因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”。36(2)x的展开式中3x的系数是（）A20 B40 C80 D160 【答案】 D 解法 1：设含3x的为第1r，则1Tr62rrrnC x，令63r，得3r，故展开式中3x的系数为3362160C。解法 2：根据二项展开式的通过公式的特点：二项展开式每一项中所含的x与 2 分得的次数和为6，则根据条件满足条件3x的项按 3 与 3 分配即可，则展开式中3x的系数为3362160C。4已知向量(
5、1,1),(2,),xab若a+ b与4b2a平行，则实数x的值是（）A-2 B 0 C1 D2 【答案】 D 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 解法1：因为(1,1),(2, )abx，所以(3,1),42(6,42),abxbax由于ab与42ba平行，得6(1)3(42)0 xx，解得2x。解 法 2：因 为ab与42ba平 行，则 存在 常数， 使(42 )abba， 即(21)(41)ab，根据向量共线的条件知，向量a与
6、b共线，故2x。5 设na是公差不为0 的等差数列，12a且136,a a a成等比数列， 则na的前n项和nS=（）A2744nnB2533nnC2324nnD2nn【答案】 A 解析：设数列na的公差为d，则根据题意得(22 )22 (25 )dd，解得12d或0d（舍去），所以数列na的前n项和2(1)1722244nn nnnSn6下列关系式中正确的是（）A000sin11cos10sin168 B000sin168sin11cos10C000sin11sin168cos10D000sin168cos10sin11【答案】 C 解析因为sin160sin(18012 )sin12 ,c
7、os10cos(9080 )sin80， 由于正弦函数sinyx在区间0 ,90 上为递增函数， 因此sin11sin12sin80，即sin11sin160cos10。7已知0,0ab，则112 abab的最小值是（）A2 B2 2 C 4 D 5 【答案】 C 解析因为11112222()4abababababab当且仅当11ab，且精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 1abab，即ab时，取“ =”号。812 个篮球队中有3个
8、强队，将这12 个队任意分成3 个组（每组4 个队） ，则 3 个强队恰好被分在同一组的概率为（）A155B 355C14D13【答案】 B 解析： 因为将 12 个组分成 4 个组的分法有444128433C C CA种，而 3 个强队恰好被分在同一组分法 有3144398422C C C CA，故 各 强 队恰好被分在 同一组的概率为31442444399842128433C C C C A C C C A =55。9在正四棱柱1111ABCDA BC D中，顶点1B到对角线1BD和到平面11A BCD的距离分别为h和d，则下列命题中正确的是（）A若侧棱的长小于底面的变长，则hd的取值范围
9、为(0,1)B若侧棱的长小于底面的变长，则hd的取值范围为2 2 3(,)23C若侧棱的长大于底面的变长，则hd的取值范围为2 3(,2)3D若侧棱的长大于底面的变长，则hd的取值范围为2 3(,)3【答案】 C 解析：设底面边长为1，侧棱长为(0)，过1B作1111,B HBDB GA B。在11Rt BB D中 ，21112,2B DB D， 由 三 角 形 面 积 关 系 得11112122B DBBhB HB D设在正四棱柱中， 由于1,BCAB BCBB，所以BC平面11AA B B，于是1BCB G，所以1B G平面11AB CD，故1B G为 点 到 平 面11A BCD的 距
10、离 ， 在11Rt A B B中 ， 又 由 三 角 形 面 积 关 系 得精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 1111211A BBBdB GA B于是2222112122hd，于是当1，所以222123,1132，所以2 3(,1)3hd10把函数3( )3f xxx的图像1C向右平移u个单位长度， 再向下平移v个单位长度后得到图像2C 若对任意的0u， 曲线1C与2C至多只有一个交点， 则v的最小值为 （）A2B 4C6D8【
11、答案】 B 解 析 ： 根 据 题 意 曲 线C的 解 析 式 为3()3(),yxuxuv则 方 程33()3()3xuxuvxx，即233(3)0uxuuv，即3134vuu对任意0u恒成立，于是3134vuu的最大值，令31( )3 (0),4g uuu u则233( )3(2)(2)44g uuuu由此知函数( )g u在（0，2）上为增函数，在(2,)上为减函数，所以当2u时，函数( )g u取最大值，即为4，于是4v。二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分把答案写在答题卡相应位置上11 若Un n是小于 9 的正整数，AnU n是奇数，BnU n是 3 的倍数，则
12、()UABUe【答案】2,4,8解析：1,2,3,4,5,6,7,8U，则1,3,5,7,3,6,AB所以1,3,5,6,7ABU，所以()2, 4,8UABUe12 记3( )log (1)f xx的 反 函 数 为1( )yfx， 则 方 程1( )8fx的 解x【答案】 2 解法 1： 由3( )log (1)yf xx， 得13yx， 即1( )31fxx， 于是由318x，解得2x精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 解法
13、2：因为1( )8fx，所以3(8)log (81)2xf135 个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有种（用数字作答） 【答案】 72 解析：可分两个步骤完成，第一步骤先排除甲乙外的其他三人，有33A种，第二步将甲乙二人插入前人形成的四个空隙中，有24A种，则甲、乙两不相邻的排法有3234A A72种。14从一堆苹果中任取5 只，称得它们的质量如下（单位：克）125 124 121 123 127 则该样本标准差s（克）（用数字作答） 【答案】 2 解 析 ： 因 为 样 本 平 均 数1(125 124 121 123 127)1245x， 则 样 本 方 差2222221(10313
14、 )4,5s所以2s15已知椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12(,0),( ,0)FcFc，若椭圆上存在一点P使1221sinsinacPF FPF F，则该椭圆的离心率的取值范围为【答案】21,1解法 1：因为在12PF F中，由正弦定理得211221sinsinPFPFPF FPF F则由已知，得1211acPFPF，即12aPFcPF设点00(,)xy由焦点半径公式，得1020,PFaexPFaex则00()()a aexc aex记得0()(1)()(1)a caa exe cae e由椭圆的几何性质知0(1)(1)a exaae e则，整理得2210,ee解得21
15、21(0,1)eee或，又，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 故椭圆的离心率( 21,1)e解法 2 ：由解析 1 知12cPFPFa由椭圆的定义知212222222caPFPFaPFPFaPFaca则即，由椭圆的几何性质知22222,20,aPFacacccaca则既所以2210,ee以下同解析1. 三、解答题：本大题共6 小题，共75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16 （本小题满分13 分， （）小问7 分， （）
16、小问6 分 ）设函数22( )(sincos)2cos(0)f xxxx的最小正周期为23（）求的最小正周期（）若函数( )yg x的图像是由( )yf x的图像向右平移2个单位长度得到，求( )yg x的单调增区间解： （）22( )(sincos)2cosf xxxx22sincossin 212cos 2xxxxsin2cos222sin(2)24xxx依题意得2223，故的最小正周期为32. （）依题意得: 5( )2 sin 3()22 sin(3)2244g xxx由5232()242kxkkZ解得227()34312kxkkZ 故( )yg x的单调增区间为: 227,()34
17、312kkkZ17 （本小题满分13 分， （）问 7 分， （）问 6 分）某单位为绿化环境，移栽了甲、 乙两种大树各2 株设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为56和45，且各株大树是否成活互不影响求移栽的4 株大树中：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - - （）至少有1 株成活的概率；（）两种大树各成活1 株的概率解 : 设kA表示第k株甲种大树成活, 1,2k ; 设lB表示第l株乙种大树成活, 1,2l则1212,AAB B独立
18、, 且121254()(),()()65P AP AP BP B（）至少有1 株成活的概率为: 2212121212118991()1()()()()1 ( ) ( )65900P AABBP AP AP BP B（）由独立重复试验中事件发生的概率公式知, 两种大树各成活1 株的概率为 : 11225 14110846 65 5362545PCC18 （本小题满分13 分， （）问 7 分， （）问 6 分）如题（18）图，在五面体ABCDEF中，ABDC，2BAD，2CDAD，四边形ABFE为平行四边形，FA平面ABCD，3,7FCED求：（）直线AB到平面EFCD的距离；（）二面角FADE
19、的平面角的正切值解法一 : （）,ABDC DCQP平面EFCD, AB 到面EFCD的距离等于点A 到面EFCD的距离，过点A 作AGFD于 G，因2BADABDC，故CDAD；又QFA平面ABCD，由三垂线定理可知，CDFD，故CDFAD面，知CDAG，所以 AG为所求直线AB到面EFCD的距离。在RtABC中，22945FDFCCD由FA平面ABCD，得FAAD ，从而在RtFAD中，22541FAFDAD22 555FA ADAGFD。即直线AB到平面EFCD的距离为2 55。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - -
20、 - - - - - -第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - - （）由己知，FA平面ABCD，得FAAD ，又由2BAD，知ADAB，故AD平面 ABFE DAAE，所以，FAE为二面角FADE的平面角，记为. 在RtAED中, 22743AEEDAD, 由ABCDY得,FEBAP, 从而2AFE在RtAEF中, 22312FEAEAF ,故tan2FEFA所以二面角FADE的平面角的正切值为2. 解法二 : （）如图以A点为坐标原点 ,AB AD AFuuu r uu u r u uu r的方向为, ,x y z的正方向建立空间直角坐标系数, 则A(0,0,0) C
21、(2,2,0) D(0,2,0) 设00(0,0,)(0)Fzz可得0(2,2,)FCzuu u r,由| 3FCuuu r. 即2220223z, 解得(0,0,1)FQABDC，DC面EFCD, 所以直线AB到面EFCD的距离等于点A 到面EFCD的距离。设A 点在平面EFCD上的射影点为111(,)G xy z, 则111(,)AGxy zu uu r因0AG DFuuu r uu u r且0AG CDuuu r uu u r, 而(0,2,1)DFuu u r( 2,0,0)CDuuu r, 此即1112020yzx解得10 x知 G点在yoz面上, 故 G点在 FD上. GFDFuu
22、u ruuu rP,111(,1)GFxyzuuu r故有1112yz联立 , 解得 , 2 4(0, )5 5G|AGuuu r为直线 AB到面EFCD的距离 . 而2 4(0,)5 5AGuuu r所以2 5|5AGuuu r（） 因四边形ABFE为平行四边形 , 则可设00(,0,1)(0)E xx,0(2, 1)EDxu uu r .ABCDEFxyzG精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 由|7EDuu u r得220217
23、x,解 得02x.即(2,0,1)E.故(2,0,1)AEu uu r由(0, 2,0)ADuuu r,(0,0,1)AFuu u r因0AD AEuuu r uuu r,0ADAFuuu r uuu r, 故FAE为二面角FADE的 平 面 角 ， 又Q(2,0,0)EFuuu r,|2EFu uu r,| 1AFuuu r,所 以|tan2|EFFAEFAu uu ru uu r19 （本小题满分12 分， （）问 7 分， （）问 5 分）已知2( )f xxbxc为偶函数，曲线( )yf x过点(2,5)，( )()( )g xxa f x（）求曲线( )yg x有斜率为 0 的切线，
24、求实数a的取值范围；（）若当1x时函数( )yg x取得极值，确定( )yg x的单调区间解: （）Q2( )f xxbxc为偶函数 , 故()( )fxf x即有22()()xbxcxbxc解得0b又曲线( )yf x过点(2,5), 得225,c有1cQ32( )()( )g xxa f xxaxxa从而2( )321g xxax,Q曲线( )yg x有斜率为0 的切线，故有( )0gx有实数解. 即23210 xax有实数解. 此时有24120aV解得,33,a所以实数a的取值范围 :,33,a（）因1x时函数( )yg x取得极值, 故有( 1)0g即3210a, 解得2a又2( )3
25、41(31)(1)gxxxxx令( )0g x, 得1211,3xx当(, 1)x时, ( )0gx, 故( )g x在(, 1)上为增函数精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 当1( 1,)3x时, ( )0gx, 故( )g x在1( 1,)3上为减函数当1(,)3x时, ( )0g x, 故( )g x在1(,)3上为增函数20 （本小题满分12 分， （）问 5 分， （）问 7 分）已知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程
26、为55x，离心率5e（）求该双曲线的方程；（ ） 如 题 （ 20 ） 图 ， 点A的 坐 标 为(5,0)，B是 圆22(5)1xy上的点， 点M在双曲线右支上，求MAMB的最小值，并求此时M点的坐标解 ： （ ） 由 题 意 可 知 ， 双 曲 线 的 焦 点 在x轴 上 ， 故 可 设 双 曲 线 的 方 程 为22221(0,0)xyabab，设22cab，由准线方程为55x得255ac，由5e得5ca解得1,5ac从而2b，该双曲线的方程为2214yx；（）设点D的坐标为(5,0)，则点 A、D为双曲线的焦点，| 22MAMDa所以| 2|2|MAMBMBMDBD，QB是圆22(5)
27、1xy上的 点 ， 其 圆 心 为(0,5)C， 半 径 为1 ， 故| | 1101BDCD从 而|2|101MAMBBD当,M B在线段 CD上时取等号，此时|MAMB的最小值为101Q直线 CD的方程为5yx，因点 M在双曲线右支上，故0 x由方程组22445xyyx解得54 24 54 2,33xy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 所以M点的坐标为542 4 54 2(,)33；21 （本小题满分12 分， （）问 3
28、分， （）问 4 分， （）问 5 分）已知112211,4,4,nnnnnnaaaaaabnNa（）求123,b b b的值；（）设1,nnnncb bS为数列nc的前n项和，求证：17nSn；（）求证：221164 17nnnbbg解： （）Q2344,17,72aaa，所以12317724.,417bbb（）由214nnnaaa得2114nnnnaaaa即114nnbb所以当2n时，4nb于是1121,17,4117(2)nnnncb bcb bbn所以1217nnScccnL（）当1n时，结论21117464bb成立当2n时，有11111111| 44| |17nnnnnnnnnnbbbbbbbbb b12212121111|(2)171764 17nnnnbbbbnLg所以2121221nnnnnnnnbbbbbbbbL1122*211()(1)11111111717()()()()14171717464 17117nnnnnnnNLgg精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - - -