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1、名师推荐精心整理学习必备第一章立体几何初步1. 柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱 ：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示 ：用各顶点字母，如五棱柱EDCBAABCDE或用对角线的端点字母，如五棱柱AD几何特征 ：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。（2）棱锥： 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为
2、三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示 ：用各顶点字母，如五棱锥EDCBAP几何特征 ：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。（3）棱台： 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示 ：用各顶点字母，如五棱台EDCBAP几何特征 ：上下底面是相似的平行多边形侧面是梯形侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱： 以矩形的一边所在的直线为轴旋转, 其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征 ：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。（5）圆锥
3、： 以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征 ：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。（6）圆台： 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征： 上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。（7）球体： 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征： 球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。2. 空间几何体的三视图定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度
4、 ；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度 ；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度 。3. 空间几何体的直观图斜二测画法斜二测画法特点：原来与 x 轴平行的线段仍然与x 平行且长度不变；原来与y 轴平行的线段仍然与y 平行， 长度为原来的一半。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备4. 柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。（
5、2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长， h 为高，h为斜高， l 为母线 ）chS直棱柱侧面积rhS2圆柱侧21chS正棱锥侧面积rlS圆锥侧面积)(2121hccS正棱台侧面积lRrS)(圆台侧面积lrrS2圆柱表lrrS圆锥表22RRlrlrS圆台表（3）柱体、锥体、台体的体积公式VSh柱1()3VSSSS h台13VSh锥（4）球体的表面积和体积公式：V球=343R； S球面=24 R精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 名师
6、推荐精心整理学习必备第二章直线与平面的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系1. 平面含义：平面是无限延展的2. 三个公理：（1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 符号表示为 A L BL = L A B 公理 1 作用：判断直线是否在平面内. （2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为： A 、B、C三点不共线 = 有且只有一个平面 ，使 A、B、C。公理 2 作用：确定一个平面的依据。（3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为： P = =L，且 PL 公理 3
7、作用：判定两个平面是否相交的依据. 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1. 空间的两条直线有如下三种关系：相交 直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行 直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。2. 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a、b、c 是三条直线ab cb 强调：公理4 实质上是说 平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。3. 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或 互补 . 4. 注意点： a 与 b 所成的角的大小只由a、b 的相互位置来
8、确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； 两条异面直线所成的角(0 ， ) ； 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作ab； 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1. 直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内 有无数个公共点（2）直线与平面相交 有且只有一个公共点（3）直线在平面平行 没有公共点注意：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a 来表示2精品资料 - - - 欢迎下载
9、- - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备a a=A a 2.2. 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1. 直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。( 线线平行，则线面平行)符号表示： a b = aab 2.2.2 平面与平面平行的判定1. 两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示： a b ab = P ab2. 判断两平
10、面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质1. 直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 ( 线面平行 , 则线线平行 ) 符号表示： a a ab = b 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2. 两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示： = a ab = b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定1. 定
11、义 ：如果直线L 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L 与平面 互相垂直，记作L，直线 L 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线L 的垂面。如图，直线与平面垂直时, 它们唯一公共点P叫做垂足。P a L 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备2. 直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点： a) 定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b) 定理体现
12、了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。2.3.2平面与平面垂直的判定1. 二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A l B 2. 二面角的记法：二面角-l-或-AB- 3. 两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。2.3.3 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质1. 直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2. 两个平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - -
13、 - - - - - - - -第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备第三章直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x轴正向 与直线 向上方向 之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0 度。因此，倾斜角的取值范围是0 180（2）直线的斜率定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示，即tank。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当直线 l 与 x 轴平行或重合时, =0, k = tan0 =0; 当直线 l 与 x 轴垂直时 , = 90 , k 不存在 . 当90
14、,0时，0k；当180,90时，0k；当90时，k不存在。过两点的直线的斜率公式：)(211212xxxxyyk（11221212,P xyPx yxx）注意 :(1) 当21xx时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3) 以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4) 求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程点斜式：)(11xxkyy直线斜率k，且过点11, yx注意：当直线的斜率为0时， k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因l上每一点的横坐标都等
15、于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：bkxy，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b两点式：112121yyxxyyxx（1212,xxyy）直线两点11,yx，22, yx截矩式 ：1xyab其中直线l与x轴交于点( ,0)a, 与y轴交于点(0, )b, 即l与x轴、y轴的 截距 分别为,a b一般式：0CByAx（A，B不全为 0）注意：各式的适用范围特殊的方程如：平行于x轴的直线：by（b为常数）；平行于y轴的直线：ax（a为常数）；（6）两直线平行与垂直当111:bxkyl，222:bxkyl时，212121,/bbkkll；12121kkll注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，
16、要注意斜率的存在与否。（7）两条直线的交点0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl相交，交点坐标即方程组00222111CyBxACyBxA的一组解。方程组无解21/ ll；方程组有无数解1l与2l重合（8）两点间距离公式：设1122(,),A x yB xy，（）是平面直角坐标系中的两个点，则222121|()()ABxxyy（9）点到直线距离公式：一点00, yxP到直线0:1CByAxl的距离2200BACByAxd（10）两平行直线距离公式已知两条平行线直线1l和2l的一般式方程为1l：01CByAx，2l：02CByAx，则1l与2l的距离为2221BACCd精品资料 - -
17、 - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备第四章圆与方程1. 圆的定义： 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2. 圆的方程：（1）标准方程：222rbyax，圆心ba,，半径为r ；点00(,)M xy与圆222()()xaybr的位置关系：当2200()()xayb2r，点在圆外当2200()()xayb=2r，点在圆上当2200()()xayb2r，点在圆内（2）一般方程：022FEyDxy
18、x当0422FED时，方程表示圆，此时圆心为2,2ED，半径为FEDr42122当0422FED时，表示一个点；当0422FED时，方程不表示任何图形。（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a， b，r ；若利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。3. 直线与圆的位置关系：与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线0:CByAxl，圆222:rbyaxC，圆心baC,到l的距离为22BACBbAad，则有相离与Clrd；相切与 Clrd；相交与
19、Clrd（2）过 圆外 一点的 切线 方程：k 不存在，验证是否成立 k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】(3) 过 圆上 一点的 切线 方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r24. 圆与圆的位置关系：设圆221211:rbyaxC，222222:RbyaxC两圆的位置关系常通过两圆半径的和 （差），与 圆心距 （d）之间的大小比较来确定。a)当rRd时两圆 外离 ，此时有公切线四条；b)当rRd时两圆 外切 ，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；c)当rRdrR时两圆 相交 ，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；d)当rRd时，两圆 内切 ，连心线经过切点，只有一条公切线；e)当rRd时，两圆 内含 ；f)当0d时，为同心圆。注意： 1. 已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线2. 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - - -