新课标人教版高中数学必修一集合函数知识点总结.docx

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1、精品名师归纳总结高中数学必修 1 集合与函数学问点总结【1.1.1 】集合的含义与表示(1) 集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.(2) 常用数集及其记法N 表示自然数集, N 或 N 表示正整数集, Z 表示整数集, Q 表示有理数集 ,R 表示实数集 .(3) 集合与元素间的关系对象 a 与集合 M 的关系是 a M,或者 a M,两者必居其一 .(4) 集合的表示法 自然语言法：用文字表达的形式来描述集合. 列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. 描述法： x|x 具有的性质 ,其中 x 为集合的代表元素 . 图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.(5) 集

2、合的分类 含有有限个元素的集合叫做有限集. 含有无限个元素的集合叫做无限集不含有任何元素的集合叫做空集.【1.1.2 】集合间的基本关系(6) 子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) A A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A B子集 或B AA 中的任一兀素都属于 B(2) A如 A B 且 B C , 就A C如 A B 且 B A , 就T 或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A BA B ,且 B真子A B 1AA 为非空子集 可编辑资料 - - -

3、欢迎下载精品名师归纳总结 或集B A中至少有一元素不属于 A如 A B 且 B C,就 A C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 中的任一兀 素集合都属于 B,A B相等B 中的任一兀(1) A B(2) B AA. 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结素都属于 A(7) 已知集合 A 有 nn 1 个元素,就它有 2n 个子集,它有 2n 1 个真子集,它有 2n 1个非空子集,它有 2n 2 非空真子集 .【1.1.3 】集合的基本运算8 交集、并集、补集名记意义性质示意图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

4、纳总结称号(1) AI A A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结交AI B集x| x 代且x B(2) AI(3) AI B A AI B B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) AU A A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结并AUB集x| x 代或x B(2) AUA(3) AUB A AUB B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结补eu Ax| x U , 且 x A1AI 何 A痧Al B uAU.jB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结集痧AUBIUAB2 AUe UA

5、 U可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【补充学问】含肯定值的不等式与一元二次不等式的解法(1) 含肯定值的不等式的解法不等式解集|x| aa 0x| a x a|x| aa 0x |x a 或 x a把 ax b 看成一个整体,化成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| ax b| c,| ax b | cc 0|x| a ,|x| aa 0 型不等式来求解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 元二次不等式的解法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结判别式000b2 4ac二次函数/ .2y ax bx ca 0r0的图象|VVO一兀一次方

6、程2ax bx c 0a0、,i2ib Jb 2 4ac 2ax1 x 2b2a无实根的根 其中 X 1 X22ax bx c 0a0x |x X 1 或 x X 2r 1X|X的解集b _ c 2aR2ax bx c 0a0x| X 1 X X 2 的解集1.2 函数及其表示【1.2.1 】函数的概念(1) 函数的概念设 A、B 是两个非空的数集,假如依据某种对应法就f,对于集合 A 中任何一个数 X,在集合 B 中都有唯独确定的数 fx 和它对应,那么这样的对应 包括集合 A, B 以及 A 到 B 的对应法就 f 叫做集合 A 到 B 的一个函数,记作可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

7、名师归纳总结 函数的三要素 ： 定义域、值域和对应法就 . 只有定义域相同,且对应法就也相同的两个函数才是同一函数.(2) 区间的概念及表示法设 a,b 是两个实数,且 a b,满意 a x b 的实数 x 的集合叫做闭区间,记做a, b ; 满意 a x b 的实数 x 的集合叫做开区间,记做 a,b ; 满意 a x b ,或 a x b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做a,b ,a,b ; 满意x a,x a,x b,x b的实数 x 的集合分别记做 a,a,b,b.留意：对于集合 x| a x b 与区间 a,b ,前者 a 可以大于或等于 b,而后者必 须a b .(3)

8、 求函数的定义域时,一般遵循以下原就： fx 是整式时,定义域是全体实数 . fx 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数. fx 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合. 对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于 1. y tanx 中, x k k Z .2 零 负 指数幕的底数不能为零 . 如 fx 是由有限个基本初等函数的四就运算而合成的函数时,就其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集 . 对于求复合函数定义域问题,一般步骤是：如已知fx 的定义域为 a,b ,其复合函数 fgx 的定义域应由不等式 a gx b 解出. 对

9、于含字母参数的函数,求其定义域,依据问题详细情形需对字母参数进行分类争论 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,仍要符合问题的实际意义 .(4) 求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的. 事实上,假如在函数的值域中存在一个最小 大 数,这个数就是函数的最小 大 值. 因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同. 求函数值域与最值的常用方法： 观看法：对于比较简洁的函数,我们可以通过观看直接得到值域或最值. 配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后依据变量的取值范畴确定

10、函数的值域或最值. 判别式法：如函数 y fx 可以化成一个系数含有y 的关于 x 的二次方程ayx 2 byx cy 0, 就在 ay 0 时,由于 x, y 为实数,故必需有b2y 4ay c y 0, 从而确定函数的值域或最值 . 不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值. 换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题. 反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值 . 数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值. 函数的单调性法 .【122】函数的表示法(5) 函数的表示方法可编辑

11、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种.解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法：就是列 出表格来表示两个变量之间的对应关系 .图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系 .(6) 映射的概念 设 A、B 是两个集合,假如依据某种对应法就f,对于集合 A 中任何一个元 素,在集合 B 中都有唯独的元素和它对应,那么这样的对应 包括集合 A ,B 以及 A 到 B 的对应法就 f 叫做集合 A 到 B 的映射,记作 f : A B . 给定一个集合 A 到集合 B 的映射,且 a A,b B . 假如元素 a 和元素 b

12、对应, 那么我们把元素b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象 .1.3 函数的基本性质【1.3.1 】单调性与最大 小 值1函数的单调性定义及判定方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数的性质定义图象判定方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数减去一个增函数为减函数 .对于复合函数 y fgx ,令 u gx ,如 yo* J可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为增,就 y f gx 为增。如

13、y fu 为减, u gx 为减,就 y f gx 为增。 如 y fu 为增, ugx 为减,就 y fgx 为减。如 y f u 为减, u gx 为 增,就 y f gx 为减.打“ / ”函数 fx x aa 0 的图象与性质xfx 分别在 , a、 a,上为增函数,分别在 、 a,o 、上为减函数.最大 小 值定义一般的,设函数y fx 的定义域为 I,假如存在实数 M 满意： 1 对于 任意的 x I,都有 fx M 。 2 存在 Xo I,使得 f x o M . 那么,我们称 M 是函数 f x的最大值,记作 fmax x M . 一般的,设函数 y fx 的定义域为 I,假如

14、存在实数 m 满意： 1 对于任 意的 x I,都有fx m 。 2 存在 xo I,使得 fxo m . 那么,我们称 m 是 函数 f x 的最小值,记作 fmax x m .【1.3.2 】奇偶性函数的奇偶性定义及判定方法函数的定义图象判定方法性质234可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数的奇偶性假如对于函数 fx 定义域内任意 一个 X, 都有 f -. .x) =-fx, 那么函.数 fx 叫做奇函假如对于函数 fx 定义域内任意 一个 X, 都有 f -(1) 利用定义 要先判肯定义域是否关于原点对称 (2) 利用图象 图象关于原点对称 (1) 利用定义 要先判肯定

15、义域是否关于 原可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结. . .x=fx,那么函数fx叫做偶函数 .如函数 fx 为奇函数,且在 x 0 处有定义,就 f0 0 .点对称 (2) 利用图象 图象关于 y 轴对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反 . 在公共定义域内,两个偶函数 或奇函数 的和 或差 仍是偶函数 或 奇函数 , 两个偶函数 或奇函数 的积 或商 是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积 或商 是奇函数 .补充学问函数的图象1 作图利用描点法作图 :确定函数的定义域。化解函可编

16、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数解析式。争论函数的性质 奇偶性、单调性 。画出函数的图象 .利用基本函数图象的变换作图：要精确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幕函数、三角函数等各种基本初等函数的图象 . 平移变换h 0, 左移 h 个单位k 0, 上移 k 个单位y f x h o 右移出个单位 y fx h y f x k o, 下移出个单位 y fx k 伸缩变换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1,缩yfx01 伸y f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Ayfx0 A1

17、缩1,伸y Af x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对称变换yfxx 轴yfxy fx 暗由 y f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结原yfx点 保yf x去掉 y 轴左边图象直线 y xiy fxyy f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yfx留y 轴右边图象,并作其关于y 轴对称图象y f|x|保留 X 轴上方图象y fX 将 X 轴下方图象翻折上去y |fx l可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 识图对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范畴、变化趋势、对称性等方面争论函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,留意

18、图象与函数解析式中参数的关系 .(3) 用图函数图象形象的显示了函数的性质,为争论数量关系问题供应了“形”的直 观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具. 要重视数形结合解题的思想方法 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其次章基本初等函数 I2.1 指数函数【2.1.1 】指数与指数幕的运算(1) 根式的概念假如 xn a, a R, x R,n 1 ,且 n N ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根 . 当 n 是奇 数时, a 的 n 次方根用符号 ：a 表示。当 n 是偶数时,正数 a 的正的 n 次方根用 符号 n a 表示,负的 n 次方根用符号：a 表示。 0

19、 的 n 次方根是 0; 负数 a 没有 n 次方根 .式子 na 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数 . 当 n 为奇数时 ,根式的性质：n an a ; 当 n 为奇数时, n an a ; 当 n 为偶数时 ,:an |a |a 为任意实数。当 n 为偶数时, a 0 .(2) 分数指数幕的概念a a 0a a 0m 正数的正分数指数幕的意义是：a 下 n/a 0,m,n N, 且 n 1 .0 的正 分数指数幕等于 0.m m 匚 正数的负分数指数幕的意义是：a 下 丄尸 n1ma 0,m, n N, 且a V a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1

20、.0 的负分数指数幕没有意义 .数.(3) 分数指数幕的运算性质 ar as ar s a 0, r,s Rab r arbra 0,b 0, r R留意口诀：底数取倒数,指数取相反 ar s arsa 0,r,s R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【2.1.2 】指数函数及其性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（4）指数函数函数名称指数函数定义函数 y a x（ a 0 且 a 1 ）叫做指数函数a 10 a 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x t3kya/y 10,1. y a x , yy0,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

21、总结OxOx图象定义域R值域0,过定点图象过定点 （0,1 ）,即当 x 0 时, y 1 .奇偶性非奇非偶单调性在 R 上是增函数在 R 上是减函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数值的变化情形ax1x01x01x0xa 1 x 0 a x 1 x 0 a x 1 x 0axax可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 变化对图象的影响在第一象限内, a 越大图象越高。在其次象限内,a 越大 图象越低.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.2 对数函数【221】对数与对数运算可编辑资料 - - - 欢迎

22、下载精品名师归纳总结(1) 对数的定义 如 ax Na 0, 且 a 1,贝収叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x log a N,其中 a 叫 做底数, N叫做真数 . 负数和零没有对数 . 对数式与指数式的互化： x log a Nax Na 0,a 1,N 0 .(2) 几个重要的对数恒等式log al 0 ,log a a 1 ,log aab b.(3) 常用对数与自然对数常用对数： lgN ,即 log 10 N ; 自然对数 : lnN ,即 log e N 其中 e 2.71828 .(4) 对数的运算性质假如 a 0,a 1,M 0, N 0 ,那么加法： log a M

23、log a N log a MN 减法： log a M log a N log a N数乘： n log aM log a Mnn R alogaN N可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 log ab Mn n log a M b 0,n R换底公式： log a Nb 0, 且 b 1 blog b a【222】对数函数及其性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5 对数函数函数对数函数名称定义函数 y log a xa 0 且 a 1 叫做对数函数图象a 10 a 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 1、川 x 1可编辑资料 - - - 欢迎下

24、载精品名师归纳总结yy log axi y。y lOg ax1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1,00/ 1,0X0x定义域0,值域R过定点图象过定点 1,0 ,即当 x 1 时,y 0 .奇偶性非奇非偶单调性在0, 上是增函数在0,上是减函数lOg a x 0 x 1lOg a x0 x 1lOg a x 0 x 1lOg a x0 x 1lOg a x 0 0 x 1lOg a x0 0 x 1函数值的变化情形a 变化对图象在第一象限内, a 越大图象越靠低。在第四象限内,a 越的影响大图象越靠咼 .反函数的概念设函数 y f x 的定义域为 A,值域为 C , 从式子 y

25、 fx 中解出 x,得式子x y . 假如对于 y 在 C 中的任何一个值,通过式子x y ,x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应,那么式子xy 表示 x 是 y 的函数,函数 x y 叫做函数 y fx 的反函数,记作 x f 1y ,习惯上改写成 y Lx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 7 反函数的求法 确定反函数的定义域,即原函数的值域。从原函数式y fx 中反解出1x f y 。将 x f 1y 改写成 y f 1x ,并注明反函数的定义域 . 8 反函数的性质原函数 y f x 与反函数 y Lx 的图象关于直线 y x 对称. 函数 y fx 的定义域、值域

26、分别是其反函数y f 1x 的值域、定义域 . 如 Pa,b 在原函数 y fx 的图象上,贝 S pb,a 在反函数 y f 1x 的图象上. 一般的,函数 y fx 要有反函数就它必需为单调函数.2.3 幕函数(1) 幕函数的定义一般的,函数 y x 叫做幕函数,其中 x 为自变量,是常数 .(2) 幕函数的图象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 幕函数的性质 图象分布：幕函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象. 幕函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限 图象关于 y 轴对称 ; 是奇函数时,图象分布在第一、三象限 图象关于原点对称 。是非奇非偶函数时,图象只分

27、布在第一象限 . 过定点：全部的幕函数在 0, 都有定义,并且图象都通过点 1,1 . 单调性：假如0,就幕函数的图象过原点,并且在 0, 上为增函数 . 假如0,就幕函数的图象在 0, 上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x 轴 与 y 轴. 奇偶性：当 为奇数时,幕函数为奇函数,当为偶数时,幕函数为偶函数 . 当_qq 其中 p,q 互质, p 和 q Z ,如 p 为奇数 q 为奇数时,就 y xP 是奇函数,Pq_q如 P 为奇数 q 为偶数时,就 y x p 是偶函数,如 p 为偶数 q 为奇数时,就 y xp 是 非奇非偶函数 . 图象特点：幕函数 y x ,x 0, ,当1 时

28、,如 0x1 ,其图象在直线 y x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结下方,如 x 1 , 其图象在直线 y x 上方,当 1 时,如 0 X 1 , 其图象在直线 y x 上方,如 x 1,其图象在直线 y x 下方.K 补充学问二次函数1 二次函数解析式的三种形式一般式： fx ax 2 bx ca 0 顶点式： fx ax h 2 ka 0 两根式： fx ax xjx X 2 a 0 2 求二次函数解析式的方法 已知三个点坐标时,宜用一般式. 已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大 小 值有关时,常使用顶点式 . 如已知抛物线与 x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选

29、用两根式求fx更便利 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 二次函数图象的性质2a, 顶可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点坐标是 b4ac b 22a4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二次函数 f x ax 2 bx ca 0 的图象是一条抛物线,对称轴方程为x当 a 0 时,抛物线开口向上,函数在 ,上递减,在 ,上递增,当2a2ax - 时, hnx 坐。当 a 0 时,抛物线开口向下,函数在 ,-上递2a4a2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结增在 2a, 上递减当 x- 时

30、,2afmax x24ac b4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二次函数 f x ax 2 bx ca 0 当b2 4ac 0 时,图象与 x 轴有两个交点M1x i0,M2 x20 JM 1M2 1 |x i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 兀二次方程 ax 2 bx c 0a 0 根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分学问在中学代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理 韦达定理 的运用,下面结合二次函数图象的性质,系统的来分析一元二次方程实根的分布 .设一元二次方程 ax2 bx c

31、 0a 0 的两实根为 xz,且 Xi x. 令fx ax 2 bx c , 从以下四个方面来分析此类问题：开口方向：a对称 轴位置： x 判别式：端点函数值符号 .2a kv xi x2 xi X2 V k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ki v xi X2V k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有且仅有一个根 x 或 X2 满意 kiv x 或 X2 v k2并同时考虑 f ki=0 或 f k2 =0 这两种情形是否也符合 ki v xiv k20,方程 ax2 bx c 0 有两不等实根,二次函数的图象与x 轴有 两个交点,二次函数有两个零点 .2) =0 ,方程 ax2 bx c 0 有两相等实根 二重根 ,二次函数的图象与 x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.3) V0,方程 ax 2 bx c 0 无实根,二次函数的图象与x 轴无交点, 二次函数无零点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载