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1、2019-2020学年中考数学复习 相似形教案 新人教版中考要求1、理解相似图形的性质.2、掌握相似三角形的判定及性质，并能利用他们解决一些简单的几何问题和实际应用题.3、了解位似图形，能利用位似变换将一个图形放大或缩小.知识概要一 相关概念1、成比例线段 如果四条线段a、b、c、d满足（即），那么这四条线段是成比例线段，简称比例线段. 2、相似比 相似多边形对应边的比叫相似比.相似比为1的两个图形全等. 3、位似图形 如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.二 相似三角形的判定 1、平行于三角形一边的直线和其他
2、两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2、如果两个三角形三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似. 3、如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 4、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 5、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三形的斜边和一条直角边的对应比相等，那么这两个直角三角形相似.三 相似三角形的性质 1、相似三角形（多边形）对应角相等，对应边的比相等. 2、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比. 3、相似三角形（多边形）周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方
3、.四 位似变换的坐标规律 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.范例解析例1 （2009深圳）如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为 _分析 要求矩形周长，可矩形的边长都是未知的.由题意，每个小正方形的边长为1，可得AE=EF=4，GF=2，而AEF=EFG=900，不难发现ABEECFFDG，继而可得到这些三角形边长之间的内在联系，求出矩形的边长.解 GFD+EFC=900 EFC+FEC=900 GFD=FEC 又D=C=900 ECFFDG AE=EF=4 BAE=
4、FEC B=C ABEECF AB=EC BE=CF AB=CD EC=2DF AB=2DF=2CF=2BE 设BE=x 则AB=2x x2+(2x)2=42 x= 矩形ABCD的周长=2(AB+BE+EC)=2=点评 本题综合运用了全等与相似三角形的判定和性质，找到线段之间的关系，是解题的关键所在.当然还要用到矩形的性质，并借助勾股定理列方程，因此有一定综合性.例2 （2009衢州）如图，ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)以点C为位似中心，在x轴的下方作ABC的位似图形，并把ABC的边长放大到原来的2倍，记所得的像是ABC设点B的对应点B 的横坐标是a，则点B的横
5、坐标是（ ）ABCD分析 本题是求位似变换下点的坐标，但位似中心不是原点，不能直接利用课本相关结论，为此可将图形向右平移，使位似中心C与原点重合，求出平移后B点坐标，再将图形向左平移到原先的位置，问题便迎刃而解.解 将ABC与ABC向右平移一个单位，则B的横坐标变为，点C的坐标是(-1，0)平移后C点位于原点OABC与ABC的相似比为1：2，点B与点B在原点异侧B点平移后的横坐标为平移前B点的横坐标为，即故选D点评 课本位似变换下点的坐标变化规律是以原点为位似中心，本题通过平移，使这一条件得到满足，这种转化思想在解题时经常用到，要注意仔细体会.当然本题还可分别过B、B点作x轴的垂线，利用相似三
6、角形列比例式，也可求出B点坐标.例3 （2009黄冈）如图，已知AB是O的直径，点C是O上一点，连结BC，AC，过点C作直线CDAB于点D，点E是AB上一点，直线CE交O于点F，连结BF，与直线CD交于点G求证：分析 将等积式化成比例式，发现只要证明BCGBFC即可.证明：AB是O的直径，ACB=90，又CDAB于D，BCD=A，又A=F，F=BCD=BCG，在BCG和BFC中，BCGBFC 即点评 在圆中找角相等比较方便，圆中的相似三角形往往通过“两角对应相等，两三角形相似”这一判定来证.例4 （2009奉化）ABC和DEF是两个等腰直角三角形，A=D=90，DEF的顶点E位于边BC的中点上
7、（1）如图1，设DE与AB交于点M， EF与AC交于点N，求证：BEMCNE；（2）如图2，将DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形？并证明你的结论分析 （1）对于BEM与CNE，有B=C=450，又BEM+CEN=BEM+BME=1350，从而BME=CEN，BEMCNE.（2）图2在（1）的基础上多出了两个三角形（可用字母表示），即EMN与RtAMN，RtAMN不与原两个等腰直角三角形相似，可考虑EMN与BME和CEN是否相似.证：（1）是等腰直角三角形，又是等腰直角三角形，而，（2）与（1）同理，
8、 又 ，则与中有，又，点评 在DEF绕点E旋转过程中，图1、图2中始终有BEM+CEN=BEM+BME，从而得到BME=CEN，在解题中善于抓住图形变化过程中的不变量，至关重要.另外（2）问有一定的开放性，哪些三角形可能相似要能快速判断出，而在证明时要用到（1）的结论，得到比例式，再进行等线段替换，作为判定三角形相似的一个条件，这些是证明相似三角形时常用到的方法，有一定的难度.例5(2009武汉)如图1，在中，于点，点是边上一点，连接交于，交边于点（1）求证：；（2）当为边中点，时，如图2，求的值；（3）当为边中点，时，请直接写出的值BBAACOEDDECOF图1图2F分析 在(1)中通过找两
9、三角形角之间的关系，易证这两个三角形相似.而（2）在原题条件下又加了两个条件，结合（1）的结论，不难得到OE=BF，将求转化为求，再通过作辅助线，使OF与BF所在的三角形相似，从而将进一步转化，直到转化为可求出比的两线段之比.（3）问是更一般的情形，沿用（2）的思路不难写出结果.解（1），；（2）ABCDOEFG如图，作OGAD（或OGBC），垂足为GOA=OC AB=OA=OC由（1）知ABFCOE BF=OEADBC OGADOGBC OGFBDF AB=OA ADB=OGA ABD =OAGADBOGA OG=AD ADBCAB （3）点评 将要求的比转化，常用的方法有等线段替换和等比替
10、换，本题这两种替换都用到了.另外，构造相似三角形时，通常是作平行线，构造“A字型”或“X字型”等基本相似图形，从而得到需要的比例式.巩固训练一、选择题1（2009天津）在和中，如果的周长是16，面积是12，那么的周长、面积依次为（ ）A8，3B8，6C4，3D，6ADCPB602（2009烟台）如图，等边的边长为3，为上一点，且，为上一点，若，则的长为（ ）ABCD3.（2009牡丹江)如图， 中，于一定能确定为直角三角形的条件的个数是（ ）A1B2 C3 D44.（2009宁波）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述
11、正确的是（ ）AAOM和AON都是等边三角形B四边形MBON和四边形MODN都是菱形C四边形AMON与四边形ABCD是位似图形D四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形DBCANMO5.（2009济宁）如图，在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ） A. 2 cm2 B. 4 cm2 C. 8 cm2 D. 16 cm26(2009温州)一张等腰三角形纸片，底边长l5cm，底边上的高长225cm现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )A第4
12、张 B第5张 C.第6张 D第7张7（2009广州）如图，在平行四边形ABCD中，的平分线交于点，交的延长线于点，垂足为，若，则的周长为（ ）A8B9.5C10D11.5ADGBCFE二、填空题8（2009朝阳）如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点）20米的处，则小明的影长为_米OAMB9. （2009年黄石）在ABCD中，在上，若，则 10.（2009庆阳）如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似形，点F的坐标为（1，1），点C的坐标为（4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是 11（2009大连）如图，原点O是ABC和ABC的位似中心，点A(1，0)与点A(2，
13、0)是对应点，ABC的面积是，则ABC的面积是_12. （2009日照）将三角形纸片（ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B，折痕为EF已知ABAC3，BC4，若以点B，F，C为顶点的三角形与ABC相似，那么BF的长度是 BCEADF13（2009贺州）如图，正方形ABCD的边长为1cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是 cm2三、解答题14（2009河南）（1）把两个含450角的直角三角板如图1放置，点D在BC上，连接BE、AD，AD的延长线交BE于点F，求证：AFBE（2）把两个含300角的直角三角板如图2放置，点D在BC上，连接BE
14、、AD，AD的延长线交BE于点F，问AF与BE是否垂直？并说明理由.ADEFCB图1图2DBEFAC15（2009长沙）在中，是边上一点，以为直径的与边相切于点，连结并延长，与的延长线交于点（1）求证：；（2）若，求的面积AEDOBCF16（2009安徽）如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，DMEAB，ABMFGDEC且DM交AC于F，ME交BC于G（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；（2）连结FG，如果45，AB，AF3，求FG的长17（2009广东）正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，（1）证明：RtA
15、BM RtMCN；（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；（3）当M点运动到什么位置时RtABM RtAMN，求此时x的值.18.(2009年上海)已知ABC=90，AB=2，BC=3，ADBC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足（如图1所示）（1）当AD=2，且点与点重合时（如图2所示），求线段的长；（2）在图1中，联结当，且点在线段上时，设点之间的距离为，其中表示APQ的面积，表示的面积，求关于的函数解析式，并写出函数定义域； （3）当，且点在线段的延长线上时（如图3所示），求的大小A
16、DPCBQ图1DAPCB（Q）图2图3CADPBQ巩固训练答案一、选择题1、A 2、B 3、C 4、C 5、C 6、C 7、A 二、填空填8、5 9、3：5 10、（，0） 11、6 12、或2 13、 三、解答题14、（1）证明：在ACD和BCE中，AC=-BC，DCA=ECB=900，DC=ECACDBCE，DAC=EBCADC=BDFEBC+BDF=DAC+ADC=900BFD=900，AFBE（2）AFBE，理由如下：ABC=DEC=300，ACB=DCB=900DCAECB，DAC=EBCADC=BDFEBC+BDF=DAC+ADC=900BFD=900，AFBE15、（1）证明：连
17、结切于，又即，AEDOBCF又，（2）设半径为，由得，即，解之得（舍）16、（1）证：AMFBGM，DMGDBM，EMFEAM以下证明AMFBGMAFMDMEEAEBMG，ABAMFBGM（2）解：当45时，可得ACBC且ACBCM为AB的中点，AMBM又AMFBGM，又，17、（1）证明：四边形ABCD是正方形，B=C=90，AMB+BAM=90ABM+CMN+AMN=180，AMN=90AMB+CMN=90BAM=CMNRtABMRtMCN（2）RtABMRtMCN，即解得： , 即：又当x=2时，y有最大值10.当M点运动到BC的中点时，四边形ABCN的面积最大，最大面积是10.（3）解
18、法一：RtABMRtAMN，即化简得：，解得：x=2当M点运动到BC的中点时RtABM RtAMN，此时x的值为2.解法二：，要使，必须有，由（1）知，当点运动到的中点时，此时18、（1）RtABD中，AB=2，AD=2，=1，D=45PQ=PC即PB=PC，而PBC=D=45PC=PB=（2）在图1中，过点P作PEBC，PFAB于点F。A=PEB=90，D=PBERtABDRtEPB设EB=3k，则EP=4k，PF=EB=3k，=函数定义域为FEFEADPCBQ图1DAPCB（Q）图2图3CADPBQ（3）答：90证明：在图3中，过点P作PEBC，PFAB于点F。A=PEB=90，D=PBERtABDRtEPB=RtPQFRtPCEFPQ=EPCEPC+QPE=FPQ+QPE=90