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1、2019-2020学年春七年级数学下册1.5 平方差公式学案3（新版）北师大版学习目标：1.了解平方差公式的几何背景.2.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.3.体会符号运算对证明猜想的作用.学习重点：平方差公式的几何解释和广泛的应用.学习难点： 准确地运用平方差公式进行简单运算，培养基本的运算技能.学习过程：一.类比引入师同学们，请把自己准备好的正方形纸板拿出来，设它的边长为a.这个正方形的面积是多少？生a2.师请你用手中的剪刀从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形（如图123）.现在我们就有了一个新的图形（如上图阴影部分），你能表示出阴影部分的面积吗？ 图123生
2、剪去一个边长为b的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面积为（a2b2）.师你能用阴影部分的图形拼成一个长方形吗？同学们可在小组内交流讨论.（教师可巡视同学们拼图的情况，了解同学们拼图的想法）生老师，我们拼出来啦.师讲给大伙听一听.生我是把剩下的图形（即上图阴影部分）先剪成两个长方形（沿上图虚线剪开），我们可以注意到，上面的大长方形宽是（ab），长是a；下面的小长方形长是（ab），宽是b.我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，是由于大长方形的宽和小长方形的长都是（ab），我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一个如图124所示的图形（阴影部分），它的长和宽分别为（a+b），（ab），面积为（
3、a+b）（ab）. 图124师比较上面两个图形中阴影部分的面积，你发现了什么？生这两部分面积应该是相等的，即（a+b）（ab）=a2b2.生这恰好是我们上节课学过的平方差公式.生我明白了.上一节课，我们用多项式与多项式相乘的法则验证了平方差公式.今天，我们又通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释，太妙了.生用拼图来验证平方差公式很直观，一剪一拼，利用面积相等就可推证.师由此我们对平方差公式有了更多的认识.这节课我们来继续学习平方差公式，也许你会发现它更“神奇”的作用.想一想：（1）计算下列各组算式，并观察它们的特点. （2）从以上的过程中，你发现了什么规律？（3）请你用字母表示这一规律，你能
4、说明它的正确性吗？生（1）中算式算出来的结果如下： 生从上面的算式可以发现，一个自然数的平方比它相邻两数的积大1.师是不是大于1的所有自然数都有这个特点呢？生我猜想是.我又找了几个例子如： 师你能用字母表示这一规律吗？生设这个自然数为a，与它相邻的两个自然数为a1，a+1，则有（a+1）（a1）=a21.生这个结论是正确的，用平方差公式即可说明.生可是，我有一个疑问，a必须是一个自然数，还必须大于2吗？（同学们惊讶，然后讨论）生a可以代表任意一个数.二.思考讨论例如：计算2931很麻烦，我们就可以转化为（301）（30+1）=3021=9001=899.师的确如此.我们在做一些数的运算时，如果
5、能一直有这样“巧夺天工”的方法，太好了.我们不妨再做几个类似的练习.例1用平方差公式计算：（1）10397 （2）118122师我们可以发现，直接运算上面的算式很麻烦.但注意观察就会发现新的奥妙.生我发现了，103=100+3，97=1003，因此10397=（100+3）（1003）=100009=9991.太简便了！生我观察也发现了第（2）题的“奥妙”.118=1202，122=120+2118122=（1202）（120+2）=12024=144004=14396.生遇到类似这样的题，我们就不用笔算，口算就能得出.三.例题学习例2计算：（1）a2（a+b）（ab）+a2b2；（2）（2x
6、5）（2x+5）2x（2x3）.分析：上面两个小题，是整式的混合运算，平方差公式的应用，能使运算简便；还需注意的是运算顺序以及结果一定要化简.解：（1）a2（a+b）（ab）+a2b2=a2（a2b2）+a2b2=a4a2b2+a2b2=a4（2）（2x5）（2x+5）2x（2x3）=（2x）252（4x26x）=4x2254x2+6x=6x25注意：在（2）小题中，2x与2x3的积算出来后，要放到括号里，因为它们是一个整体.例3公式的逆用（1）（x+y）2（xy）2 （2）252242分析：逆用平方差公式可以使运算简便.解：（1）（x+y）2（xy）2=（x+y）+（xy）（x+y）（xy）
7、=2x2y=4xy（2）252242=（25+24）（2524）=49随堂练习1.（1）704696（2）（x+2y）（x2y）+（x+1）（x1）（3）x（x1）（x）（x+）（可让学生先在练习本上完成，教师巡视作业中的错误，或同桌互查互纠）解：（1）704696=（700+4）（7004）=49000016=489984（2）（x+2y）（x2y）+（x+1）（x1）=（x24y2）+（x21）=x24y2+x21=2x24y21（3）x（x1）（x）（x+）=（x2x）x2（）2=x2xx2+=x四.应用拓展解方程：（2x+1）（2x1）+3（x+2）（x2）=（7x+1）（x1）（先由学生试着完成）解：（2x+1）（2x1）+3（x+2）（x2）=（7x+1）（x1）（2x）21+3（x24）=7x26x14x21+3x212=7x26x16x=12 x=2五.小结作业