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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -数列中蕴涵的数学思想数学思想是数学学问在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学学问发生、进展和应用的过程中。数学思想与数学学问的形成过程同步进展，同时又贯穿于数学学问的学习懂得和应用过程，是同学形成数学才能的必由之路。而数列学问中蕴涵着丰富的数学思想。一、函数与方程思想可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1、在等差数列an中，已知S10010 ， S10100，那么S110 =。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S1010a110
2、 9d1001099解得a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法 1：设数列an的公差为d，就S100100a12100 99d 10210011d50可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S110110 a1110109d2110可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评析：方程思想突出争论已知量与未知量间的等量关系，通过列方程（组）达到求值的目的。此题利可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用等差数列的性质：Snna1n n12d 来列方程组求解，思路简洁、明晰，表达了方程的思想。可编辑资料 - -
3、 - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法 2：由于an为等差数列，故前n 项和： Snd n 22da1n2d0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dd2S100 2 a100b 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令a ，b ，就：Sanbn。此时可视 S100可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1n2211an 为 n 的二次函数。 由题意得：S10102 a10b100可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得：100可编辑资料 - - - 欢
4、迎下载精品名师归纳总结b 11110 S11 n 2111 n就S11110 2111110110可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1001011010010可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评析：函数思想贯穿于高中代数的全部内容，在争论数列时，函数与方程思想起着非常重要的作用。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结此题利用等差数列的求和公式：Snna1n n1 d 2d n 22dn ，在 d 20 时，可视Sn 是关于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1n 的二次函数，从而利用方程组来求解。这就是函数思想的表达。可编辑资料 - - -
5、 欢迎下载精品名师归纳总结例 2、已知数列cn，其中 cn2n3n ，且数列cn 1pcn为等比数列，求常数p 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由于cn 1pcn是等比数列，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cn 2所以cn 1pcn 1pcnq （ q 为公比）即cn 2pcn 1q cn 1pcn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以2n 23n 2p 2n 13n 1q 2 n 13n 1p 2
6、n3n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结整理得3pq 3n 12pq 2n 1pq 3npq 2n0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即93 p3qpq 3n42 p2qpq 2n0 对
7、于一切自然数都成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而3n 0 ， 2 n 0 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以943 p 3q2 p 2qpq 0 解得pq 0p 2 或p 3q 3q 2所以p2 或 p3 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评析：此题从数列与方程的交汇处着手，依据等比数列的定义，得出一个关于自然数的恒等式，进而列方程组求解。这其中蕴涵着函数和方程的思想。二、数形结合思想可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1、设等差数列an中，Sn 为前 n 项的和，且SpSqpq ， 求 Sp q 。可编辑资料 - -
8、- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：等差数列的前n 项和公式为Snd n 22adn 。当 d 20 时，Sn 是 n 的二次函数。设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Snfnan 2bn ， 又SpSq， 故 对 称 轴 为 npq1。 由 二 次 函 数 对 称 性 知 ：2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Sp qfpqf00 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评析：数形结合就是使函数解析式与函数图象、方
9、程与曲线建立起一一对应关系，使数量关系与图形性质相互转化。此题借助二次函数的对称性，利用数形结合思想使数列问题更直观、明白。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2、在数列n7an中， ann8nN。问 n 为何值时，an 取得最大值和最小值？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n解： ann7187 ，y8n8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设函数fx18x7，其图81可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结象如下列图：x可编辑资料 - - - 欢
10、迎下载精品名师归纳总结n就满意 ann7 的 n 和8an 的值O可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为函数 yfx 图象上的点。易知a2 最小，a3 最大。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评析：数形结合就是“数”与“形”的相互转化，但解决过程中往往偏重于由“数”到“形”的转化。三、分类争论思想可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1、已知等比数列的前n 项之和为Sn ，前 n1 项之和为Sn 1 ，公比 q 0 。令 TnSn Sn 1， 求 lim Tn 。n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归
11、纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：当 q1 时， Snna1 ，lim Tnnnlim1 。nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 1qnS1qn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n当 q1 时， S1Tn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结
12、n1qSn 11q n 111q n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 0 q 1时，lim Tnn1 。如 q 1时，lim Tnnlim。n1qqq n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上，lim Tnn10 q 11q 1q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评析：分类争论常常运用于含字母系数的数学问题，要留意正确进行分类，选取恰当的标准，进行不可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结重不漏的划分。此题中等比数列的前n 项和Sn 要分 q1 和 q1 两种情形分别争论。可编辑资料 - -
13、 - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2、已知数列an满意an 1AanB （ nN， A0 ， B0 ），且首项为a1 ，求通项an 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：当 A1时，an 1AanB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 an 1kAa nBkBkA anA（ 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 kBk，就Aan 1A1 kB即kBA1k可编辑
14、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由（ 1）得：A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结anka1ank是以 a1kB为首项，公比为A 的等比数列。 A1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 anBn 1Ba1AA1A1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 A1时，an 1anB ，即an 1anB ，就an是等差数列，故ana1n1 B 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上，当A1时，
15、a naBA n 11A1B。当 A A11 时， ana1n1 B 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评析：此题中简洁误认为类的完整。A1，从而忽视对A 是否为 1 的争论。解题中要留意争论的分类标准和分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四、化归与转化思想例 1、等差数列前n 项和为 30，前2n 项和为 100，就它的前3n 项和为（）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ A ） 130（ B） 170（ C） 210（D ） 260可编辑资料 -
16、- - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 ： 令 n1 ， 就S1a130 ， S2a1a2100 。 故 a270 ， 就 公 差 d40 。 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a37040110S3S2a32 1 0应选（ C）项。可编辑资料 - -
17、 - 欢迎下载精品名师归纳总结评析：化归与转化思想是指在解决数学问题时，采纳某种手段将问题通过变换使之转化，从而使问题得到解决。其特点在于敏捷性和多样性，常用变换方法有一般与特别的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化等。由于此题是挑选题，因此可利用化归思想中从一般到特别的思想。对n 进行赋值，令可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1 ，较易得出答案，使解法简洁化。an 2an 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2、定义：如数列an对任意 nN，满意k （ k 为常数）。就称数列an为等差比可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 1an可编
18、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列。（ 1）如数列an的前 n 项和Sn 满意 Sn2 an1 ， 求 an的通项公式， 并判定该数列是否为等差可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结比数列。（ 2）如数列an为等差数列，试判定an是否肯定为等差比数列，并说明理由。（3）试写出一个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等差比数列的通项公式，使此数列既不是等差数列，也不是等比数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（ 1）当 n2 时， Sn2 an1 ，（ 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
19、名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Sn 12 an 11 ，（ 2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） - （ 2）得 SnSn 12an2an1 ，所以 an2an2an1 ，即 an2an 1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 S1a12 a1a1 ，所以aa12 n 22 ， a2nn2n 1nN。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结任给 nN ，n 2n 1an 1an2n 12n2 ，故数列an为等差比数列。可
20、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）设等差数列an的公差为 d ，就 an 2an 1an 1and 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 d0 时，an 2an 1an 1and1（ 1 为常数）。从而数列dan是等差比数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 d0 时，即数列an是常数列时，不是等差比数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总
21、结（ 3）通项如anaqnbab0 形式的数列，如an23n1 ，不是等差数列，也不是等比可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列，但an 2an 1an 1an23n 223n 1123n 11123n13 为常数，是等差比数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评析：此题把一个新定义的数列问题，通过分析、类比，转化为等差（比）数列，把未知转化为已学、已知，表达了化归这一基本思想。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - -
22、 - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -k五、特别与一般思想可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1、已知数列an中， a11 ，且 a2 ka2 k 11， a2 k 1a2 k3k ，其中 k =1，2，3，。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）求a3 ， a5 。（）求an的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（）a2ka2k 1
23、1（ 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kk令 k1 ，有：a2a11 1110可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 a2k 1a2k3（2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2令 k1 ，有：a3a233可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同样，对递推式（1），令 k2 ，有：a4a31314 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kk对递推式（ 2），令 k2 ，有：a5a434913。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2（）将（ 1）式代入（ 2）式，得：a2 k 1a2 k 131可编辑资料 - - -
24、 欢迎下载精品名师归纳总结又a2k 1a2k 3a2k 3a2k 53k 11 k 1k23k 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a3a131kka11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将以上各式相加得：a2 k 13k3k 13k 23111k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1k 1113211 k12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将上式代入递推式（1）得：a 2k3 k1221 k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳
25、总结因此an的通项公式为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n 为奇数时，ann 13 21nn 13 2121 。当 n 为偶数时，an11 21 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评析：此题在由a1 求 a2 、 a3 、 a4 、 a5 时，将所给递推式中的字母k 赋以特别值1 和 2 分别运算，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结表达了由一般到特别的过程。在求几个特别项的过程中，观看其规律，找到数列递推关系式的特点，从而找到解题思路和方法，这就是由特别到一般的思维飞跃。可编辑资料 -
26、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -六、 有限与无限思想可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1、已知a是各项为正数的等差数列，lg a 、 lg a 、 lg a 成等差数列又b1， n1,2,3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n124na2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 证明bn为等比数列。可编辑资料
27、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结 假如无穷等比数列bn各项的和 S1 ，求数列3an的首项a1 和公差 d 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：无穷数列各项的和即当n时数列前 n 项和的极限 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（）设数列 a n 的公差为d，依题意，由2lg alg alg a得 a 2a a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21421 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 ad 2a a3dd0或dabn 1a2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结111，得1因abn2n 1可编辑资料 - -
28、- 欢迎下载精品名师归纳总结dbn 1a2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a当=0 时， a n 为正的常数列就有1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1当 d = a1 时， a2na21bn1a1 , a2n 1n 121a2n 11) a1 ,就有bn 1bna2n 1a2n 1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是数列 bn 是公比为1 或的等比数列2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）假如无穷等比数列bn的公比 q =1，就当 n 时其前n 项和的极限不存在。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因而 d =
29、 a1 0，这时公比q =11， b122d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这样bn的前 n项和为 Sn1 2d2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11211 n11 2d2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 S=lim Snlim1d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 S，得公差 d =3 ，首项3a1 = d =3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评析：有限与无限思想常常是在考查其它数学思想和方法的同时进行考查，如在由特别到一般的归纳思想和用数学归纳法证明时，都表达了有限与无限思想。此题是在考查极限概念和四就运算时，表达了有限与无限思想。随着高中课程的改革，这种思想的表达和运用必将随着新增内容而得到不断加强，应当引起我们的重视。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载