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1、精品名师归纳总结 3.3泰勒公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结常用近似公式ex1x , sinxx x 充分小 ,将复杂函数用简洁的一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结次多项式函数近似的表示, 这是一个进步。 当然这种近似表示式仍较粗糙 （特别当 x 较大时）,从下图可看出。上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进：1、提高近似程度,其可能的途径是 提高多项式的次数。2、任何一种近似,应告知它的误差,否就,使用者“心中担心”。将上述两个想法作进一步的数学化：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对复杂函数f x,想找多项式pn x 来近似表示它。自然
2、的, 我们期望可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结pn x 尽可能多的反映出函数 f x 所具有的性态 如：在某点处的值与导可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数值。 我们仍关怀pn x 的形式如何确定。pn x 近似f x 所产生的误差可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Rn xf xpn x 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【问题一】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 f x 在含x0 的开区间内具有直到n1阶的导数,能否找出一个关于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师
3、归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 xx0 的n 次多项式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结pn xa0a1 xx0 a2 xx 2an xx n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n000且 p k x f k x k0, 1, n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0近似 f x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【问题二】如问题一的解存在,其误差Rn xf xpn x
4、的表达式是什么 .一、【求解问题一】问题一的求解就是确定多项式的系数a0, a1, an。p n x a 0a 1 xx 0 a 2 xx 0 2a n xx 0 na0pn x0 p n x a 12 a 2 xx 0 3 a 3 xx 0 2na n xx 0 n1a1pn x0 p xn2 1 a23 2 a xx 304 3 a4xx 20n n1 an xx n 202 1 a2pn x0 p xn3 2 1 a34 3 2 a x4x 05 4 3 a x5x 20n n 1 n2 a xnx n 303 2 1 a3pn x0 上述工整且有规律的求系数过程,不难归纳出：可编辑资料
5、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 0p n x 0 f x 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1a1p n x 0 f x 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 1a 2pn x 0 f x 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结321a 3p n x 0 f x 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一般的k k, 有1 k2 2 1ap k xf k x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而 ,kn00得到系数
6、运算公式:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 0f x 0 af x0 11 .af x 0 22 .a3f x 0 3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a0f k xk kk .0 , 1, 2 , n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是,所求的多项式为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结pnxf x0f x0 1.xx0f k x0k.k xx0 f n x0n.n xx0 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、【解决问题二】泰勒Tayler中值定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如函数f x
7、 在含有x0 的某个开区间 a, b 内具有直到n1阶导数,就当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xa, b 时,f x 可以表示成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xpn xRn x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0n1f x0 nf k x xx0 f n1 xx0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kk1k . n1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这里 是 x0 与x
8、 之间的某个值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结先用倒推分析法探究证明泰勒中值定理的思路：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x pn x Rn x f n1 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x p n x Rn x n1. xx 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Rn x n 1 xx0 f n n1 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意到: R k xf k x p k x 0 k0 ,1, 2 , n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总
9、结n00n0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0q t tx n1 , q k x 0 k0 ,1 , 2 , n ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0q n1 t n1. 因q t 是关于t 的 n1 次多项式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 n1 p n t 0 因 p n t 是关于t 的 n 次多项式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结取 Rn t f t p n t , 就 n1Rn t f n1 t 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结R x R xR n1 t 可
10、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn0n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结q x 这说明：q x 0 q n1 t t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结R t f t p t qt tx n 1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结只要对函数nn及0在 x 与0 之间反可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结复使用n1次柯西中值定理就有可能完成该定理的证明工作。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【证明】x a, bxx0可编
11、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以 x0 与x 为端点的区间x0 , x 或 x, x0 记为I , Ia, b。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 Rn t f t pn t 在 I 上具有直至n1 阶的导数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结R x R x R x Rn x 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结且n0Rn n 1 t n0f nn0n01 t 可编辑资料 - - - 欢迎下载
12、精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0函数qttx n 1在 I 上有直至n1阶的非零导数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结且q x0 q x0 q x0qn x 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0q n1 t n1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是,对函数Rn t 及q t 在 I 上反复使用n1 次柯西中值定理, 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编
13、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Rn x q x Rn x q x Rn x 0 q x 0 Rn 1 q 1 1 在 x0与 x 之间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Rn 1 Rn x 0 Rn2 在x与之间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结q q x q201可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结102可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结RR x R 3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n2n0n3在x与之间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结q 2
14、q x 0 3 q3302可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结R n1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn1n1在 x0 与n 之间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结q n1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f n1 n1n 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 n1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结记Rn x n 1 ,f n在 x0 1 与 xq x 之间f n1 xx0 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 n1. n1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、几个概
15、念nf k x fk n 1 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x1、f x0 k 10 xx0 k . n1. xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结此式称为函数f x 按 xx0 的幂次绽开到n 阶的泰勒公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结或者称之为函数f x 在点x0处的n阶泰勒绽开式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n0时, 泰勒公式变为可编辑资料 - - - 欢迎下
16、载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0 1f xf x0 f 0 1 xx0 f x0 f xx0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 01.这正是拉格朗日中值定理的形式。因此,我们也称泰勒公式中的余项。f n 1 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Rn x n1. xx0 为拉格朗日余项 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 12、对固定的n ,如f n1 xMaxb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Rn x有Mn1.xx0可编辑资料 - - - 欢迎
17、下载精品名师归纳总结此式可用作 误差界的估量 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Rn xMxx0 xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n0000 xx0 n1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 Rn xo xxn xx 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结R xxx xx n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明： 误差 n是当0 时较0高阶无穷小,这一余项表达可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -
18、- - 欢迎下载精品名师归纳总结式称之为 皮亚诺余项 。3、如 x00 ,就 在 0 与x 之间,它表示成形式x 01 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结泰勒公式有较简洁的形式 麦克劳林公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xf 0f 0 xf 0 x 2f n 0x nf n1 x x n1 01可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1.2.近似公式n. n n1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xf 0f 0 x 1.f 0 x 22.f 0n.x n 01可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结误差估量式可编辑资料
19、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结Rn xMxn1 n1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x【例 1】求f xe 的麦克劳林公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 n解： fk xexk0,1,2 , n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 0f 0f0f n 0e01 , f1 xe x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ex1xx2x ne
20、xxn 1 01 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是1.ex2.n. nxx211.xn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有近似公式1.2.n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xen 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其误差的界为Rn x nx1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结我们有函数yex的一些近似表达式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 、 y1xy1x(2) 、1 x2y1x23 、1 x
21、221 x36可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 matlab 中再分别作出这些图象,观看到它们的确在逐步靠近 指数函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 2】求f xsin x的 n 阶麦克劳林公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f n xsin xn解：2f n 0sin n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 00, f 01, f00, f 3 01, f 4 00,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结它们的值依次取四个数值0, 1, 0,1。可编辑资料 -
22、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结x3x5m 1x2m 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin xx3.5.2m1.R2m x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结R xsinx2m12x2 m 1 01 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 m其中： 2m1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同样,我们也可给出曲线图象。ysin x的近似曲线如下, 并用 matlab 作出它们的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yxyx1 x3yx 61 x361x5120可编辑资料 - -
23、 - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 3】求 tgx解：f x1cos2tgx 的麦克劳林绽开式的前四项,并给出皮亚诺余项。x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 tgx2 cosx sin x2sin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos4 xcos3 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosxcos3 xsin x 3cos2 xsin x2 cos2 x6sin2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 tgx2cos6 xcos4 x
24、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tgx x00, tgxx 01, tgxx 00, tgxx02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是：tgxx2 x33.o x3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结利用泰勒绽开式求函数的极限, 可以说是求极限方法中的 “终极武器” , 使用这一方法可求很多其它方法难以处理的极限。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limtgxsin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 4】利用泰勒绽开式
25、再求极限x0x3。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tgxx解：1 x33o x3sin xx,1 x36ox3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tgxsin x x1 x 33o x 3 x1 x 36o x 3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x131333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x xx36 o x o x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 x 32o x 3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳
26、总结limtgxsin xlim1 x 32o x3 lim1 x 32limo x 3 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x3x0x 3x0x3x0x32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【注解】现在,我们可以完全的说清晰下述解法的错误之处可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 tgx x sin x x0 ,从而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limtgxsin xlim xxlim 00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x3x0x3x0tgxsin x1 x3o x3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x0 时, tgxsin xxx0,应为2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 5】利用三阶泰勒公式求1818解：18010sin185的近似值, 并估量误差。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 33 1 sinx25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinxxsin13.1x5.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故：10101610555可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结R4 10 105.10120可编辑资料 - - - 欢迎下载