《2022年微积分基础知识总结以及泰勒公式 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年微积分基础知识总结以及泰勒公式 .pdf（10页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、3.3 泰勒公式常用近似公式，将复杂函数用简单的一次多项式函数近似地表示， 这是一个进步。 当然这种近似表示式还较粗糙（尤其当较大时），从下图可看出。上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进：1、提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数。2、任何一种近似，应告诉它的误差，否则，使用者“心中不安”。将上述两个想法作进一步地数学化：对复杂函数，想找多项式来近似表示它。自然地，我们希望尽可能多地反映出函数所具有的性态 如：在某点处的值与导数值； 我们还关心的形式如何确定；近似所产生的误差。【问题一】设在含的开区间内具有直到阶的导数，能否找出一个关于的次多项式近似? exxxxx1, sin()
2、充分小xf x( )pxn( )pxn( )f x( )pxn( )pxn( )f x( )R xf xpxnn( )( )( )f x( )x0n1()xx0n), 1, 0()()() 1()()()()(0)(0)(0202010nkxfxpxxaxxaxxaaxpkknnnn且f x( )精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 【问题二】若问题一的解存在，其误差的表达式是什么 ? 一、【求解问题一】问题一的求解就是确定多项式的系
3、数。上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出：Rxf xpxnn( )( )( )aaan01,pxaaxxaxxaxxnnn()()()()0102020apxn00()pxaaxxaxxnaxxnnn()()()()1203020123apxn10()pxaaxxaxxnnaxxnnn( )()()()()2 13 24 31230402022 120apxn()pxaax xaxxn nnax xnnn( )()()() ()()32 14 3 25 4 312340502033 2 130apxn()精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载
4、名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 于是，所求的多项式为： (2) 二、【解决问题二】泰勒(Tayler)中值定理若函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数，则当时，可以表示成这里是与之间的某个值。先用倒推分析法探索证明泰勒中值定理的思路：apxfxapxfxapxfxapxfxk kkapxfxafxafxannnnknkk000100200300000010212 13 2 1122 11()()()()()()()(),()()()(),:()()!()()一般地有从而得到系数计算公式fxafxafxkknkk(
5、)!()!()!(, ,)()0300230 1 2p xf xfxxxfxkx xfxnx xnkknn( )()()!()()!()()!()( )( )00000001f x( )x0( , )a bn1xa b( , )f x( )fxpxRxf xfxkxxfnxxnnkknknn( )( )( )()()!()( )()!()()()00101011x0 x精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 这表明：只要对函数及在与之间
6、反复使用次柯西中值定理就有可能完成该定理的证明工作。【证明】以与为端点的区间或记为，。函数在上具有直至阶的导数，且函数在上有直至阶的非零导数，且于是，对函数及在上反复使用次柯西中值定理，有fxpxRxfxpxRxfnxxRxxxfnRxfxpxknq ttxqnnnnnnnnnnkknknk()()()()()()()()!()()()()()!:()()()(, ,)( )(),()()()()()()101011000011100 1 2注意到()(, ,),( )()! ( )( )( )( )( )( ),( )( )()()()()( )()()()()()(xknqtnq ttnp
7、tpttnRtftptRtftRxRxq xq xRtqnnnnnnnnnnnnnn0111100100 1 2110因是关于的次多项式因是关于的次多项式取则1)( ) ttR tf tptnn( )( )( )q ttxn( )()01xx0n1xa bxx( ,)0 x0 x, xx0 ,x x0IIa b( , )R tf tptnn( )( )( )In1RxRxRxRxnnnnn()()()()()00000Rtftnnn()()( )( )11q ttxn( )()01In1q xq xqxqxn()()()()()00000qtnn()( )()!11R tn( )q t ( )
8、In1精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 三、几个概念1、此式称为函数按的幂次展开到阶的泰勒公式；或者称之为函数在点处的阶泰勒展开式。当时， 泰勒公式变为这正是拉格朗日中值定理的形式。因此，我们也称泰勒公式中的余项。为拉格朗日余项 。2、对固定的，若有此式可用作 误差界的估计 。Rxq xRxRxq xq xRqxxRRxqqxRqxRRxqqxRqnnnnnnnnnn()()()()()()()()()()()()()()()()
9、()()()()()0011101010222012020333在与之间在与之间330211111011101101111)()()()()!,()()()!()()()!()()()()()()在与之间在与之间记在与之间xRqxfnxxRxfnq xfnxxnnnnnnnnnnnnnnf xf xfxkxxfnxxkknknn( )()()!()( )()!()()()00101011f x( )()xx0nf x( )x0nn0fxf xfxxf xfxx( )()( )()!()()( ) ()()00 100 10001Rxfnxxnnn( )( )()!()()1011nfxMaxb
10、n()( )1RxMnxxnn( )()!101精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 故表明： 误差是当时较高阶无穷小，这一余项表达式称之为 皮亚诺余项 。3、若，则在与之间，它表示成形式，泰勒公式有较简单的形式 麦克劳林公式近似公式误差估计式【例 1】求的麦克劳林公式。解：，于是有近似公式RxxxMnxxxxnn( )()()!()00010Rxoxxxxnn( )() ()00Rxn( )xx0()xxn0 x000 x) 10(
11、x)10()!1()(!)0(! 2)0(! 1)0()0()(1)1()(2nnnnxnxfxnfxfxffxf)10(!)0(!2)0(! 1)0()0()()(2nnxnfxfxffxfRxMnxnn( )()!11f xex( )fxeknkx()( )(, , ,)0 1 2ffffen( )( )( )( )()000010fxenx()()1exxxnenxxnxn11210121!()!()exxxnxn1122!精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - -
12、 - - - - - - - - 其误差的界为我们有函数的一些近似表达式。(1) 、(2) 、(3) 、在 matlab 中再分别作出这些图象，观察到它们确实在逐渐逼近 指数函数。【例 2】求的阶麦克劳林公式。解：它们的值依次取四个数值。其中：同样，我们也可给出曲线的近似曲线如下， 并用 matlab 作出它们的图象。Rxenxnxn( )()!11yexyx1yxx1122yxxx1121623f xx( )sinnfxxnfnnn()()( )sin()( )sin202fffff( ),( ),( ),( ),( ),( )()0001000100340 1 01,sin!()()!(
13、)xxxxxmRxmmm3512123521Rxxmmxmm2212122101( )sin()()!()yxsinyxyxx163yxxx16112035精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 【例 3】求的麦克劳林展开式的前四项，并给出皮亚诺余项。解：于是：利用泰勒展开式求函数的极限，可以说是求极限方法中的 “终极武器” ， 使用这一方法可求许多其它方法难以处理的极限。【例 4】利用泰勒展开式再求极限。解：，f xtgx( )()c
14、ostgxx12()cos(sin )cossincostgxxxxxx2243()coscossincos(sin )coscossincostgxxxxxxxxxx2326326224tgxtgxtgxtgxxxxx00000102, (), (), ()tgxxxo x2333!()limsinxtgxxx03tgxxxo x1333()sin()xxxo x1633精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 【注解】现在，我们可以彻
15、底地说清楚下述解法的错误之处因为，从而当时，应为【例 5】利用三阶泰勒公式求的近似值，并估计误差。解：故：tgxxxxo xxxo xxxxxo xo xxo xsin()()()()( ()()()13161316123333333333limsinlim()limlim()xxxxtgxxxxo xxxxo xx030333033033121212tgxxxx sin()0limsinlimlimxxxtgxxxxxx0303000 x0tgxxxxsin0tgxxxo xsin()1233sin18181818010sin!()sin!xxxxx33 1531525sin()101016103R455510151012010()!()精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -