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1、. .学校代码：_11059_学 号：0907022036Hefei University 毕业论文设计BACHELOR DISSERTATION 论文题目：_复变函数在通信工程中的应用_学位类别：_理学学士_学科专业：_数学与应用数学_作者XX：_易顺_导师XX：_王贵霞_完成时间：_2021年4月12日_. .word. .复变函数在通信工程中的应用中 文 摘 要随着现代科学技术理论的开展，学科间的联系越来越密，通过相互协助，为了使复杂的问题能够利用较简单的方法方便，快捷地解决，因此本论文研究的目的是使物理学中本文指通信工程的问题得到简化并建立一定的模型和一整套思路.复变函数作为处理信号与
2、系统的处理工具，在通信工程中起着极大的作用，本文在对复变函数及通信工程的有关定理研究的根底之上，得出了复变函数中的Fourier变换和Laplace变换及其逆变换在对处理通讯信号的表现形式上的运用方法.使物理中复杂抽象的信号转变为可以准确描述的数学函数，从而大大弱化了人们从事物理研究的难度.关键词：Fourier变换；Laplace变换；积分；信号The Application of plex Function in munication EngineeringABSTRACTWith the development of modern scientific and technological
3、 theories, the relations among disciplines have bee closer and closer. Mutual assistance can simplify the plex problems so as to solve them quickly and conveniently. Therefore, this paper here aims to simplify those problems in physics to build a certain model and construct a systematical way of thi
4、nking. As a tool in dealing with signals and systems, plex function plays an exceedingly significant role in munication engineering. Based on the theorem research related to plex function and munication engineering, this paper has concluded the methods used in dealing with forms of munication signal
5、s through Fourier transformation，Laplace transformation and its inverse transformation in plex function. Thus, plicated and abstract signals in physics can be converted toprecisely descriptive mathematical function, which will lower the difficulty in physical researches to a large extent.KEY WORD:Fo
6、urier transformation;Laplace transformation;integration;signal第一章 引 言11.1复变函数的应用以及开展史11.1.1 复变函数的简介11.1.2复变函数的应用11.2 复变函数在通信工程方面的研究现状21.2.1函数的应用21.2.2信号的分类31.2.3信号的简单处理31.2.4通信中常用的根本函数.41.3 本文研究的主要内容和构造安排5第二章 Fourier积分和Fourier变换62.1 Fourier积分62.2 Fourier变换7第三章 Fourier变换在信号分析中的应用93.1确知信号的频域特征93.1.1 周
7、期信号的频谱分析93.1.2 非周期信号的频谱分析133.2 信号的能量谱15第四章 Laplace变换及其简单应用204.1 问题的提出204.2 问题的解答204.3 Laplace变换在信号系统中的简单应用21第五章 总结26参考文献27致 28. .word. .第一章 引 言1.1复变函数的应用以及开展史1.1.1 复变函数的简介 复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况,它的一般形式是：，其中是虚数单位. 多复分析是数学中研究多个复变量的全纯函数的性质和构造的分支学科，它和单复变函数有着很强的渊源，但其特有的困难和复杂性，导致在研究的重点和方
8、法上，都和单复变函数论有明显的区别.因为多复变全纯函数的性质在很大程度上由定义区域的几何和拓扑性质所制约，因此，其研究的重点经历了一个由局部性质到整体性质的逐步的转移.它广泛地使用着微分几何学、代数几何、拓扑学、微分方程等相邻学科中的概念和方法，不断地开辟前进的道路，更新和拓展研究的内容和领域. 就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数论的全面开展是在十九世纪，这个新的分支统治了十九世纪的数学.当时的数学家公认复变函数论是最富饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一.为复变函数论的创立做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的Laplace
9、也随后研究过复变函数的积分，他们都是创立这门学科的先驱.1.1.2复变函数的应用近代有些函数论研究工作是考虑把具有某种性质的一族函数合在一起研究.事实上，P蒙泰尔的解析函数正规族就应属于这种类型的研究，并且显示了其威力.从这种观点出发的研究有了很大开展.它与其他数学分支产生了较密切的联系. 复变函数理论从一个变数推广到多个变数是十分自然的想法，总称为复分析.但是多变数时，定义域的复杂性大大增加了，函数的性质较之单变数时也有显著的差异，它的研究需要借助更多的近代数学工具. 从柯西算起，复变函数论已有了150年的历史.它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成局部.它曾经推动过一些学科的开
10、展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中.它的根底内容已成为理工科很多专业的必修课程.复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前开展，并将取得更多应用.物理学中的流体力学，稳定平面长，航空力学等学科的开展，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论.复变函数论已经深入到微积分方程，数论等学科，对它们的开展很有影响.现如今.复变函数论中仍有不少尚待研究的课题，它将在更多数学家们的不懈努力下，继续向前开展，并将取得更多应用.比方俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的构造问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了奉献.复变函数理论
11、以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个非常重要组成局部.它推动了许多学科的开展，在解决某些实际问题中也是强有力的工具，它的根底内容已成为理工科很多专业的必修课程.1.2 复变函数在通信工程方面的研究现状人类的生活离不开信息交流，尤其在信息化高度兴旺的今天，信息传输与人们的生产和生活更是密切相关.通信目前已成为学术界研究的热门课题，然而在对通信研究的同时，大家不能无视一个重要的局部-数学在通信中的应用.数学推动着通信的开展，它将抽象的信息、信号等概念具体化，便于人类研究.信号是信息传输技术的工作对象，而信号主要是用函数表示，这使得信号的各种变换更加形象化.另外，数学中的极限、微积分方程，数理逻
12、辑，Fourier变换，Laplace变换，线性代数等知识以及数形结合、分类讨论等数学思想在通信中都起到了至关重要的作用，因此数学与通信息息相关.复变函数在很多领域都有重要的应用，其涵盖面极广.可以解决一些复杂的计算问题.在物理领域的应用更是显而易见的，诸如流体力学、电磁学等领域.在通信工程中，复变函数目前更多地表达在信号与系统的学习过程中.连续时间信号的实频域分析和连续时间系统的实频域分析便是是运用Fourier级数及Fourier变换.而连续时间信号与连续时间系统的复频域分析便是运用到了Laplace变换的性质.作为复变函数中重要的Fourier变换和Laplace变换，我们足以看到复变函
13、数在信号即通信中的实用性和研究深度.1.2.1函数的应用在信号传输系统中传输的主体是信号，系统所包含的各种电路、设备那么是为实施这种传输的各种手段.信号是随着时间变化的物理量，一般可以表示为一个以时间为自变量的函数.所以在信号分析中，信号与函数二词常相通用.1.2.2信号的分类信号可按照不同的函数形式进展分类：当信号是一确定的时间函数时，给定某一时间值，就可以确定一相应的函数值.这样的信号是确定信号，反之称为随机信号.如果在某一时间间隔内，对于一切时间值，除了假设干不连续点外，该函数都能给出确定的函数值，这信号就称为连续信号.和连续信号相对应的是离散信号.离散信号的时间函数只在某些不连续的时间
14、值上给定函数值.用确定的时间函数表示的信号，又可分为周期信号和非周期信号.1.2.3信号的简单处理所谓对信号的处理，从数学意义来说，就是将信号经过一定的数学运算转变为另一信号.根本的处理有叠加、相乘、平移，反褶、尺度变换微分与积分等.用函数图形表示如下：(1)相加与相乘(2)自变量的变换波形变换a、平移时移或移位b、压缩与扩展(3)微分与积分微分 积分1.2.4通信中常用的根本函数.在通信中，根本的信号知识是分析信号与系统的根底.而根本信号大都可用数学的函数来表示，以下例举几个常见信号及其函数： 1直流信号：(2) 正弦信号：3有始信号：又称因果信号，指的是对某一时间点，当时，其值为零的信号.
15、4单位阶跃信号：5单位冲激信号：6斜坡信号：7实指数信号：8复指数信号：9矩形脉冲信号：10取样信号：1.3 本文研究的主要内容和构造安排本文通过将复变函数中的两个重要变换Fourier变换和Laplace变换以及通信工程原理中的信号处理结合起来，探讨复变函数在通信工程中的应用.首先，引入Fourier积分和Fourier变换公式的来源，并结合数学函数实例表达其用法.然后再根据通信工程中的周期信号与非周期信号形式，将Fourier变换的用法表达在其实际应用中.除此之外，又由Fourier变换导出Laplace变换，并按照上述写作思路，继续描述Laplace在处理通讯信号中的应用.第二章 Fou
16、rier积分和Fourier变换2.1 Fourier积分在学习Fourier级数的时候，我们已经知道，一个以为周期的函数如果在上满足Dirichlet条件即函数在上满足：1，连续或只有有限个第一类连续点；2，只有有限个极值点，那么在上就可以展成Fourier级数.在的连续点处，级数的三角形式为=+. (2.1其中 ，.而对于Fourier级数的复指数形式为.事实上，利用欧拉公式，此时，2.1式可写为=+ =，如果令,，而它们可以合写成一个式子.假设令 ,那么2.1式可写为 ，也即 . (2.2)对于非周期函数的展开问题，将在后文在通信工程中的应用给出.2.2 Fourier变换Fourier
17、积分定理 假设在上满足以下条件：1.在任一有限区间上满足Dirichlet条件；2.在无限区间上绝对可积即积分收敛，那么有 2.3成立，那么左端的在它的连续点处，应以来代替.这个定理的条件是充分的.我们已经知道，假设函数满足Fourier积分定理中的条件，那么在的连续点处，便有2.1)式，即成立.从2.1式出发，设 2.4 那么 2.5从上面两式可以看出，和通过指定的积分运算可以相互表达.2.4式叫做的Fourier变换式，可记为.叫做的象函数.2.5式叫做的Fourier逆变换式，可记为 .叫做的象函数.第三章 Fourier变换在信号分析中的应用通信系统中所用到的信号是信息的载体和表达形式
18、，也是传输、处理的对象.根据信号参数确实知程度，可将其分为确知信号和随机信号两大类.确知信号的特征是:无论是过去、现在还是未来的任何时间，其取值总是唯一确定的，如一个正弦波形，当幅度，角频和初相均为确定值时，它就属于确知信号们就是一个完全确定的时间函数，其变换规律可以用确知的函数表达式进展描述.反之就是随机信号.本章对常见确知信号及其变换进展介绍，将前述章节的数学理论运用于物理实践中.3.1确知信号的频域特征频域是描述信号在频率方面特性时用到的一种坐标系.对任何一个事物的描述都需要从多个方面进展，每一方面的描述仅为我们认识这个事物提供局部的信息.例如，眼前有一辆汽车，我可以这样描述它方面1：颜
19、色，长度，高度.方面2：排量，品牌，价格.而对于一个信号来说，它也有很多方面的特性.如信号强度随时间的变化规律时域特性，信号是由哪些单一频率的信号合成的频域特性.频域频率域自变量是频率，即横轴是频率，纵轴是该频率信号的幅度，也就是通常说的频谱图.频谱图描述了信号的频率构造及频率与该频率信号幅度的关系.对信号进展时域分析时，有时一些信号的时域参数一样，但并不能说明信号就完全一样.因为信号不仅随时间变化，还与频率、相位等信息有关，这就需要进一步分析信号的频率构造，并在频率域中对信号进展描述.动态信号从时间域变换到频率域主要通过Fourier级数和Fourier变换实现.周期信号靠Fourier级数
20、，非周期信号靠Fourier变换.3.1.1 周期信号的频谱分析在复变函数理论中，任何一个非周期函数都可以看成是由某个周期函数当是转化而来的.为了说明这一点，我们作周期为函数，使其在之内等于，而在之外按周期延拓到整个数轴上,如图1所示，很明显，当越大，与相等的X围也越大，这说明当时，周期函数便可转化为，即有图1这样，在(2.2)式中令时，结果就可以看成是的展开式，即当取一切整数时，所对应的点便均匀地分布在整个数轴上.假设相邻点的距离以表示，即,或,那么当时，有,所以上式又可以写为. 3.1当固定时，是参数的函数，记为，即利用可将3.1式写成很明显，当，即时，这里 .从而可以看做是在上的积分.即
21、 .亦即 .这个公式称为函数的Fourier积分公式. 对于在通信工程中，任何一个周期信号周期为，只要满足Dirichlet条件，就可以展开为正交序列之和，即Fourier级数.周期信号的Fourier级数有三角形式和指数形式两种表达式，三角形式的Fourier级数表达式为 3.2式中，是信号基波分量的角频率，简称基频；和称为Fourier系数；代表直流分量.由级数理论知，Fourier级数为3.3式3.2和式3.3说明任何满足Dirichlet条件的周期信号都可以分解为直流分量和一系列谐波分量的叠加，而各次谐波的分量的频率均为基频的整数倍.实际工程中遇到的周期函数大多满足Dirichlet条
22、件.指数形式的Fourier级数表达式为式中，复系数为显然，是的函数，即.实际上反映了周期信号的Fourier级数表示式中频率为的信号分量的幅度与相位，通常称之为频谱.其大小描述了幅度随时间变化的关系，称为幅度谱；其相位描述了相位随时间变化的关系，称为相位谱.指数形式的Fourier级数说明，任意周期信号可分解为许多不同频率的虚指数信号之和，其各分量的复数幅度或相量就是.由于指数形式表达简洁，便于计算，且物理概念清楚，在通信中广泛应用.例1一周期矩形信号，幅度为，脉宽为，周期为，如图2所示.求的频谱及其指数形式的Fourier级数.图2解：在一个周期，根据前述理论及公式，求得频谱为式中，称为取
23、样函数.由此得周期矩形信号的指数Fourier级数为据此可以画出的双边频谱.显然，频谱的包络分布服从抽样函数分布规律，幅度呈衰减震荡且出现周期性的零点.周期信号的频谱具有如下几个共同特性.1离散型.周期信号的频谱中各谱线是不连续的，所有频谱均由最小间隔为基频的谱线组成.由于谱线之间的最小间隔为基频，而,故信号的周期决定了谱线之间的最小间隔，信号周期越大，基频就越小，谱线之间越密；反之，越小，越大，谱线之间越疏.由于非周期信号可以看做是的周期信号，因此可以预见，非周期信号的频谱应该是连续谱.2谐波性.谱线只出现在基频整数倍的频率位置上.3收敛性.即幅度衰减特性，实际上工程中遇到的绝大多数信号，其
24、幅度谱线将随频率的增加不断衰减，并最终趋于零.3.1.2 非周期信号的频谱分析由上文可知，令周期信号的重复周期，那么可以将其视为非周期信号.为了描述非周期信号的频谱特性，引入了频谱密度的概念.非周期信号的频谱密度定义为经推导有 3.43.5式3.4和式3.5为一个Fourier变换对.式3.4称为的Fourier变换，即频谱密度函数，简称频谱.式3.5称为Fourier逆变换，频谱即可求出信号的时域表达式.时间信号与其Fourier逆变换是一一对应的关系，知其一可求另一，故简记为.例2 一非周期矩形信号如图3所示，求其频谱.图3 解：矩形脉冲信号又称门函数，表达式为.直接利用Fourier变换
25、的定义式(4.4)求得矩形脉冲信号的频谱为即由以上得出的函数表达式即可绘出非周期矩形信号的频谱.并可知道非周期矩形信号的频谱是一个连续谱.Fourier变换是信号时域分析和频域分析的桥梁，在理论分析和工程实际中都有着广泛的应用.例3 试求取样函数频谱密度.解：取样函数的定义是：采样函数的频谱密度为可见，时域中的的Fourier变换是一个门脉冲函数.反之，时域中的门脉冲函数的Fourier变换一定是个函数.也即例2中的结果，其实这不是巧合，而是由于Fourier变换与频域的对称性而具有的结果.例4 正弦信号的频谱.正弦信号可以用指数函数来表示，下面来研究指数信号的傅氏变换.仿照前面的积分方法，可
26、以求得它的傅氏变换为即同样的方法可以得到因为根据傅氏变换的叠加性质得到所以，正弦信号的傅氏变换在频谱图上表示为在正负频率轴位置上的冲激函数.3.2 信号的能量谱设有电流信号流经电阻,在该电阻消耗的瞬时功率为.假设为电压信号，那么瞬时功率为.为了讨论方便，令.那么代表了电流或者是电压信号在电阻上消耗的瞬时功率.它在的时间内消耗的能量为 (3.6)式中称作信号的归一化能量，简称为能量.当为有限值时，称为能量信号. 下面我们介绍Fourier变换的理论应用之一，即帕斯瓦定理.设能量信号的傅氏变换为,即.那么. (3.7)这定理说明，信号的能量可以在时域计算也可以在频域计算.其次，利用Fourier变
27、换及其在通信工程理论中的应用，可描述能量在各个频率分量的分布情况，定义了能量频谱密度函数；对能量为的能量信号，假设频率函数满足 (3.8)那么称为的能量频谱密度函数，简称能量谱.比拟式(3.7)和式(3.8)可以看出:即，能量信号的能量谱等于信号傅氏变换的模平方.能量谱反映了信号的能量在频率轴上的分布情况.信号的能量谱只与信号的幅度谱有关,与其相位谱无关.因此不同的信号可能有一样的能量谱，但对于一个指定的信号，其能量谱是唯一的.为了求解一个复杂信号作用于线性系统后的响应，可以先把这个复杂信号分解成许多组成此信号的分量.用来表示信号分量的函数集常用的是正交函数集.在实际生活中使用最多的正交函数集
28、是Fourier级数.根据具体情况可化为三角Fourier级数或指数Fourier级数. Fourier变换形式详尽而确切地表达了信号分解的结果，但往往不够直观，不能一目了然.为了能既方便又确切地表示一个信号中包含有哪些分量，各分量所占的比重怎样，根据其Fourier变换形式作出其频谱图.这也是在对信号中研究用到的数形结合思想所在.任一周期信号必定可用Fourier级数表示.一般的，因为周期信号可表示为Fourier级数，那么Fourier变换，即周期信号的频谱函数是以为强度的冲激谱线组成.例5 为周期信号，求图4解：利用周期信号的Fourier变换，故.在一定条件下，非周期信号可以看成周期信
29、号在周期趋向无穷大时的极限.由上周期信号的Fourier变换式，当周期趋于无穷大时，可得非周期信号的Fourier变换式为例6 XX工业大学半波余弦脉冲的Fourier变换.解：前述Fourier变换式给出了信号的时域特性与频域特性的一般关系.但还可以根据Fourier的性质得出两者间的假设干特定关系.这些关系提醒了信号的时域特性和频域特性之间某些方面的重要联系.其常用的性质有 线性特性：假设，那么 延时特性：假设， 那么.移频特性：假设，那么尺度变换特性：假设，那么 奇偶特性：假设为的偶函数，其频谱函数仅有实部，是的实偶函数.即.假设为的奇函数，其频谱函数仅有虚部，是的虚奇函数.即.对称特性
30、：假设那么 如果为的偶函数，其频谱函数是的实偶函数即.假设，那么或；或. 微分特性：假设， 那么 ;积分特性：假设，那么 ;域的微分与积分特性：假设，那么 及;卷积定理：假设 ，那么 ;信号通过系统的频域分析法主要研究信号频谱通过系统后产生的变化.因为系统对不同频率的等幅正弦信号呈现的特性不同，因而对信号中各个频率分量的相对大小将产生不同的影响，同时各个频率分量也将产生不同的相移，使得各频率分量在时间轴上相对位置产生变化.叠加所得的信号波形也就不同于输入信号的波形，从而到达对信号的处理目的.第四章 Laplace变换及其简单应用4.1 问题的提出在上一章我们讲过，一个函数当它除了满足Diric
31、hlet条件以外，还在内满足绝对可积的条件是比拟强的，许多函数即使是很简单的函数都不满足这个条件；其次，可以进展Fourier变换的函数必须在整个数轴上有定义，但在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间作为自变量的函数往往在时是无意义的或者是不需要考虑的，像这样的函数都不能取Fourier变换.由此可见，Fourier变换的应用X围受到相当大的限制.那要怎么处理才能解决这个问题呢?4.2 问题的解答对于任意一个函数，能否经过适当地改造使其进展Fourier变换时克制上述两个缺点呢？这就使我们想到了两个函数:单位阶跃函数和指数衰减函数所具有的特点.用前者乘可以使积分区间由换成，用后者乘就可能使
32、其变得绝对可积，因此，为了克制Fourier变换上述的两个缺点，我们自然会想到用来乘，即结果发现，只要选得适当，一般来说，这个函数的Fourier变换总是存在的.对函数进展先乘以，再取Fourier变换的运算，就产生了Laplace变换.对函数取Fourier变换，可得其中， .假设再设 .那么得 .由此式所确定的函数，实际上是由通过一种新的变换得来的，这种变换我们称为Laplace变换.4.3 Laplace变换在信号系统中的简单应用 设函数当时有定义，而且积分是一个复参量在的某一域内收敛，那么由此积分所确定的函数可写为 . 4.1我们称4.1式为函数的Laplace变换式.记为称为的Lap
33、lace变换或称为象函数.假设是的Laplace变换，那么称为的Laplace逆变换或称为象原函数，记为=.由4.1式可以看出，的Laplace变换，实际上就是的Fourier变换.下面我们通过一个例题简单展示一下Laplace变换在周期信号中的应用.例7 求周期三角波且的Laplace变换.图5解：根据Fourier变换的思路及形式，以及结合前述章节关于Laplace变换在信号处理中的理论有:令,那么，而所以由于当时，所以，从而一般地，以为周期的函数，即，当在一个周期上是分段连续时，那么有成立.这就是求周期函数的Laplace变换公式.Laplace变换可看成是Fourier变换在复变数域中
34、的推广.与Fourier变换类似，对于Laplace变换式中每一对正、负的指数分量决定一项变幅度的“正弦振荡，其幅度也是一无穷小量，且按指数规律随时间变化.与Fourier变换中一样，这些振荡的频率是连续的，并且分布及于无穷.通常称为复频率，并把看成是信号的复频谱.例8因果信号，求其Laplace变换. 解：可见，对于因果信号，仅当时，其拉氏变换存在.收敛域如下图.图6 Laplace变换建立了信号在时域和复频域之间的对应关系，为今后更方便对系统进展分析，在此了解其一些根本性质线性性质：设,，为任意常数，那么.尺度变换：设 ，那么当时有时间平移：设，那么 频率平移：设，那么 时域微分：设，那么
35、.如果函数为有始函数，上式可简化为.时域积分：设，那么 .复频域微分与积分：设，那么，.对参变量微分与积分：设,为参数,那么 及.初值定理：设函数及导数存在，并有Laplace变换，那么的初值为 .终值定理：设函数及导数存在，并有Laplace变换，且的所有极点都位于左半平面内，那么的终值为. 实频域卷积定理实卷积定理设那么或. 复频域卷积定理复卷积定理设,那么.通过变换将时域中的积分微分方程变成复频域中的代数方程，在复频域中进展代数运算后那么可得到系统响应的复频域解，将此解再经反变换那么得到最终的时域解.在这种变换过程中，反响系统储能的初始条件可自动引入，运算较为简单，所得的响应为系统全响应
36、.从信号分解的角度看Laplace变换域模型的建立,在Laplace变换中鼓励被分解为无穷多个具有形式的指数分量之和.如果能求得系统对每一指数分量所产生的响应，叠加后再变换到时域，同样可以求得零状态响应.对于具体的电路系统，不需列写电路的微分方程也可以求解.方法是建立电路的域模型即所有电量用其Laplace变换表示，元件的约束用其运算阻抗表示，储能元件的初始储能用等效源的Laplace变换表示.这样由基尔霍夫定律的运算形式，可以由域电路模型直接列写出域的方程来求解.第五章 总结本文的目的是在掌握复变函数相关理论的根底之上，将其应用于物理实践上的研究，使物理学中本文指通信工程的问题得到简化并建立
37、一定的模型和一整套思路.总结出动态信号从时间域变换到频率域主要通过Fourier级数和Fourier变换实现.周期信号靠Fourier级数，非周期信号靠Fourier变换等一系列结论.研究意义在于有助于我们从数学的角度审视实际问题，拓宽我们的思维并且为社会提供更有力的帮助!参考文献1沈惠川,Dirac-pauli表象的复变函数理论及其在流体力学中的应用1J应用数学和力学,1986, No.4.2X元林.积分变换M. :高等教育,2003.3罗纳德N布雷斯韦尔.Fourier变换及其应用M.：XX交通大学,2005.4粟向军,赵娟.通信原理M.:清华大学,2021.5王素珍,贺英,汪春梅,王涛,李改梅.通信原理M.:邮电大学,2021.6李宗豪.根本通信原理M. :邮电大学,2006.致 本论文是在导师王贵霞教授的悉心指导下完成的.导师渊博的专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严于律己、宽以待人的崇高风X，朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远.不仅使我树立了远大的学术目标、掌握了根本的研究方法，还使我明白了许多待人接物与为人处世的道理.本论文从选题到完成，每一步都是在导师的指导下完成的，倾注了导师大量的心血.在此，谨向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢！ 易顺2021年5月于XX学院. .word.