复变函数在中学数学中的应用1.doc

.- 毕 业 论 文 学生姓名 林文强 学 号 160901074 学院 数学科学院 专 业 数学与应用数学 题 目 复变函数在中学数学中的应用 指导教师 熊成继 （姓 名） （专业技术职称/学位） 2013 年 5 月  毕业论文独创性声明 本人郑重声明： 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。本论文除引文外所有实验、数据和有关材料均是真实的。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 作者签名： 日 期： 摘 要：本文通过对代数、几何以及三角函数等问题的探讨来说明复数在中学数学中的应用。将一些解决起来非常复杂的非复数问题，依据题目所给出的条件的特性，将该题目经过一定方式转换成复数问题，然后运用复数的性质及意义解决它。例如在代数问题中，利用复数模的性质；几何问题中，可以利用复数的几何意义及其与向量的关系；在三角函数中，可以利用复数的三角形式。运用复数解题的方法突破了常规的解题方法，有助于培养学生的创新思维。 关 键 词：复数；代数；几何；三角函数 Abstract：Based on the algebra, geometry and trigonometry problems to illustrate the application of the complex in the middle school mathematics. Some solutions are very complicated non complex problems, according to the characteristics of the given conditions, the title after a certain conversion into a complex problem, and then use the nature and meaning of complex number to easily solve. For example, in the algebraic problem, using the properties of complex modes; geometric problems, can the geometric meaning of complex utilization and its relationship with the vector; in the trigonometric function, can use the triangle form of complex number. Using the method of complex problem solving through the method of solving problems of conventional, contributes to the cultivation of students creative thinking. Keyword: Complex Number; Algebra; Geometry; Trigonometric Function 目录 1 引言 ………………………………………………………………………………… 6 2 预备知识 ………………………………………………………………………… 8 2.1 复数的形式 …………………………………………………………………… 8 2.2 复数的代数性质 …………………………………………………………… 8 2.3 复数的几何意义 …………………………………………………………… 9 3 复数的应用 …………………………………………………………………… 10 3.1 复数的代数应用 …………………………………………………………… 10 3.2 复数的几何应用 …………………………………………………………… 12 3.3 复数的三角函数应用 …………………………………………………… 17 结论 …………………………………………………………………………………… 20 参考文献 ……………………………………………………………………………… 21 1 引言 复数是指能写成如下形式的数，这里，都是实数。是虚数单位，满足：。 第一次提出负数的是意大利数学家卡尔丹（Girolamo Cordano）。他在1545年发表的《重要艺术》一书中讨论了是否能把10分成两部分使它们的乘积为40。并为此做出了解答，他将10分成了和，使的=40成立。尽管他认为它们是毫无意义的。 然而真正给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔，他在1937年发表的《几何学》中提出“虚的数”与“实的数”相对应。从此，虚数才流传开来。 虚数的出现，引起了数学界的一片困惑，很多数学家都不承认虚数。瑞士数学家欧拉说：“一切形如，，的数学式都是不可能有的，想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根。对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻。”还有德国数学家莱布尼茨也在1702年说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所，它大概存在和虚妄两界中的“两栖物”。”然而真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验，并最终让所有人承认它的。随着微积分的发明和发展。1777年欧拉在《微分公式》一文中第一次用表示-1的平方根，首创了用作为虚数的单位。此后，复数才被人们广泛的承认和使用。 众所周知所有实数都能在一条数轴找到唯一一个对应的点，那么虚数呢？1806年德国数学家阿甘得发表了虚数的图像表示法，即虚数也能用一个平面上的点表示。在直角坐标系中，取横轴上的实数对应点A，取纵轴上的实数b对应点B，并过这两点引平行于坐标轴的直线，取它们的交点为c就表示复数。像这样，由各点都对应复数的平面叫做“复平面”。 1831年高斯以实数组代表复数，由此建立复数的基本运算。并于1832年第一次提出“复数”这名词，同时将两种表示点的不同方法加以综合。统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中，并把数轴上的点与实数一一对应，拓展为平面上的点与复数一一对应。并利用复数与向量之间一一对应的关系，阐述了复数的几何加法与乘法。至此，复数理论才比较完整和系统的建立起来。 经过数代数学家持之以恒的努力，深刻探讨并发展了复数理论，终于揭示了虚数的神秘面纱。虚数成为了数系大家庭中的一员，从而实数集才扩充到了复数集。并且随着科学技术日新月异的变化，复数理论在多项科学研究发现中都有重要的意义。不仅在解决堤坝渗水问题中起到了重要的作用，而且为建立巨大水电站提供了重要的理论依据，并且在证明机翼上升力的基本定理中也起到了重要的作用。 复数内容在高中教材引入之后为学生解决数学问题提供了一种新的工具，使学生借助这一工具解决以前许多不能解决或者不好解决的问题。也因此复数得到了越来越多的学生和老师的关注。因此越来越多关于复数的应用的文章发表。例如：李平兰曾发表《复数在代数与几何的应用》并在其中讨论了关于复数在代数不等式，三角函数，几何题方面的应用。本文从中得到许多启发。刘绛玉，石宁，许景彦在一起发表的《复数的几何意义及其应用》中重点介绍了复数的几何意义以及复数在几何方面的应用。还有许多关于复数的应用的文章在这里就不一一介绍了。然而这些文章大部分都只是介绍了复数在中学数学中的某一方面的应用。所以本文旨在中学生已有的知识基础上，综合借鉴前人的文章，尽可能的全面的讨论复数在中学数学中的应用。其内容包含了复数在代数、三角函数以及几何上的应用。 本文将在中学生已有的知识的基础上，主要是介绍复数在中学数学上的应用。全文阐明复数的意义及其性质的基础上，首先讨论了复数在解代数问题中的应用，重点的复数的模的性质的应用运算上。然后借助复数运算的几何意义，给出了复数在几何上的应用。最后是运用了复数的三角形式及性质，说明了复数在三角函数上的应用。 2 预备知识 复数（Complex Number）为形如的数。式中，为实数，是一个满足的数，因为任何实数的平方不等于－1，所以不是实数，而是实数以外的新的数。在复数中，称为复数的实部，称为复数的虚部，称为虚数单位。当虚部等于零时，这个复数就是实数；当虚部不等于零时，这个复数称为虚数，虚数的实部如果等于零，则称为纯虚数。由上可知，复数集包含了实数集，因而是实数集的扩张。 复数内容在高中教材中引入之后，使学生对数的概念已初步形成了较完整的认识。而且复数知识沟通了代数，三角，几何之间的有机联系，这样又为学生解决数学问题提供了一种强有力的新工具，借助这一工具使以前许多不能解决或者较难解决的问题顺利的解决。 2.1复数的形式 复数有多种表示形式 ①代数形式： 是复数常用形式 ②几何形式：复数用直角坐标平面上点表示。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。 ③三角形式：复数化为三角形式，式中｜z｜叫做复数的模（或绝对值）；是以x轴为始边；向量OZ为终边的角，叫做复数的辐角，记辐角主值为。这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。 ④指数形式：将复数的三角形式）中的换为 ，复数就表为指数形式，复数的乘、除、乘方、开方可以按照幂的运 算法则进行。 2.2 复数的代数性质 一、 复数模的性质 1 2 3 4 (由1得) 5 6 (由5得) 二、 共轭复数的性质 1 2 ， 3 4 5 6 ， 2.3 复数的几何意义 复数本身的几何意义 在任一复数 和复平面上的点或由原点出发的向量OZ是一一对的 关系，而复数的模则对应此点到原点的距离或有向线段OZ的长度。 加减运算的几何意义 ≠0时，z所对应的向量为OZ,所对应的向量为OZ。则所 对应的向量是以OZ,OZ为邻边的平行四边形OZZZ的对角线OZ（如图1）. 所对应的向量是ZZ（如图2）。 乘除运算的几何意义 复数所对应的向量为OZ ，复数所对应的向量为OZ。则所对应的向量为把OZ按逆时针方向旋转度（<0，则按顺时针方向转动），再将的模变为原来的倍（如图3）。 同上z=所对应的向量为把OZ按顺时针方向旋转度（<0，则按逆时针方向转动），再将的模缩小为原来的倍（如图4）。 3 复数的应用 3.1 复数的代数应用 一、复数证明不等式 运用复数的模的一些基本性质证明实数不等式，对于一些较为复杂的不等式给出较为简单的证明。 例1 设，，，为任意实数，证明：+。 分析 这道不等式证法很多，用复数模的性质则极其简单。 证明 令Z=，。 则有= =+++ =+ ==== 不等式得证。 例2 若实数 满足等式 ， （） 求证 ，，。 分析 此题可以多种方法证明 如不等式的性质，解析法等等，可若用复数 法，则明显更加简便。 证明 由题可得： （1） （2） 设复数 则由 得 （3） 将（1），（2）代入（3）得 则有 2（） 由此易得 同理可证 。 由以上2个例题 我们可知在某些不等式证明题中，若能认真观察题目的结构特点，用复数的方法可以更加容易更加简洁的证明。 二、复数求函数的最值 例3 求 的最小值。 解 因为 所以令 则有 ， 因为 可得 （当且仅当与共线，即 ，亦既时成立。） 所以 。 小结 求形如的最小值，设复数，使， ，且或为常数。然后利用不等式公式 来求解的。 例4 求函数的最大值。 解 因为 可设 由复数模的性质可得 = 所以有 注意到 当且仅当时 等号成立。 既 可得 且 当时，有 故 ， 即 可得函数在时取得最大值。 总结 当题型具有复数模的差的形式时。可以借助复数模的性质进行解题。 3.2 复数的几何应用 对于诸如正多边形 等腰三角形 圆等平面几何问题，如果运用普通的平面几何方法不仅难度大技巧高，不易找到关键点甚至无从下手而且单一的方法易造成学生的思维定性。为此寻找运用复数的方法去正题，不仅更加便利简洁而且更让学生耳目一新更好的接受吸收。 一、 平面几何证明题 例5 已知四边形ABCD内接与圆，证明△, △, △, △的重心共圆。 分析 根据共轭复数的性质,复数按顺序四点共圆的充要条件 为，根据这个性质就很容易可证。 证明设四点对应的复数为。 则有 再设△, △,△, △的重心分别为。 则有 ,,, 故,,, 所以, 所以有.所以四点共圆。 例6 等腰斜边为，//,=,交于。求证：=。 分析 本题可引入复平面。 证明 设以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，且设已知等腰△的直角边长为，∠=。则有 :, :。 即 由,可得。 则有：，。 故有 从而有 解得 故∠=30 由条件= , ∠=30可得∠=75。 从而∠=∠+∠=30+45=75=∠即=得证。 例7 有边长为2的正方形，是正方形的中点，点是对角线上的一点，有⊥，⊥ 垂足分别为,。求证⊥且=。 分析 此题有多种解法，本文则用复数解法。 证明 设以B为原点，BC所在直线为X轴，BA所在直线为虚轴建立复平面。则A,B,C,D,E所对应的复数为2i,0,2,2+2i,1+i。 设点P所对应的复数为 则有 可得 所以EM=EN 又有 即，即EM⊥EN得证。 总结 用复数证明平面几何问题，通常是建立一个复平面，用复数表示几 何图形中的点或线段，然后将图形中的一些位置关系转化为复数的数关系，然后再通过复数的运算证明原题。 二、复数解解析几何题 对于某些解析几何题来说，若用纯粹的解析法来解往往都很困难以及麻烦，然而引入复平面，用复数的一些性质意义来处理，往往会有令人耳目一新的方法呈现。 例8 定长为4的线段的两端都在抛物线 上移动，为线段 的中点，求点到轴的最短距离，并求出的坐标。 解 如图5，引入复平面，设,所对应的复数分别为，。 可得 ，。 所以 可得 （为的横坐标） 由复数模的性质可得： 即 得 由题意可知，，。 当且仅当与共线且反向时，等号成立。 即当AB为焦点弦时，取最小值。 再由抛物线的焦点弦公式（为线段与轴的夹角） 即，可得。 所以 所以M的坐标为。 例9 在平行四边形中，若 .求平行四边形的各个内角值。 解 如图7，引入复平面，设平行四边形的锐角∠,令=，=。有复数=0，=,=，=。 故 ， 所以 因为 所以可得 ，即 所以 所以四边形的4个内角∠=∠= ∠=∠= 三、点的轨迹 例10 如图8，线段，现有一直线与相距为2的地方平行。上有一动点，以为边做等腰△使⊥,以为边做等腰△使⊥。求的中点的运动轨迹。 分析 解此类题目最好就是引入复平面。 解 如图8，引入以所在直线为轴，中点为原点建立坐标系。 设直线在轴上方。可得，，:，。 可得。由题意可得，绕点逆时针旋转90得 所以 可得 同理可得 因为是的中点 故 设点坐标为（x，y），则，。 由此可知,均为定值。所以点是定点 例11 图9线段，已知为定点（4,0），为单位圆上的 动点，以为边做正三角形（为顺时针方向），求点轨迹 。 解 以原坐标轴为轴建立复平面，设,,三点所对应的复数分别为 ,,, 由题意可知AB顺时针旋转得到 故有 即 亦即 故 即 所以C点的轨迹是以（，）为圆心，半径为1的圆。 小结 求轨迹是解析几何中的重要内容，如果直接用解析方法求动点间的 关系，有时会很复杂繁琐，但若用复数法求轨迹就很简洁，因为利用树形结合将复数的四则运算的几何意义有机联系在一起，显得非常的方便。 3.3 复数在三角函数上的应用 一、 三角函数的计算 例12 计算 （第五届国际竞赛题） 解 设，则有 ，， 所以= 由等比数列求和公式得： 所以= 小结 运用复数的基本性质计算三角函数的和或积问题，首先要引入复数， 然后再用复数表示三角函数，接着就复数进行计算，最后简化计算结果。这样把三角函数问题转化为复数问题，可以开扩学生的思维模式。 二、三角函数恒等式 例13 △的三角分别为，，，三条对应的边分别为，，。 求证 (证明正弦定理) 证明 如图10以△的顶点为原点，边为轴建立复平面，，，，三点表示的复数分别为,, 可得 ,， 故 ,， 由,得 = 即 由虚部相等得 即 （正弦定理得证） 例13 ,,是△的三个内角。 求证 证明 设,, 因为,所以 由题设可得 ，, ，， 原式右边 =1+ =1+ =1-1+ = 等式左边= ++ = = = 原式左边=右边得证。 结论 本文通过对运用复数的性质及意义解决非复数问题的分析，分别列举了在代数，几何以及三角函数中可以运用复数巧妙解决的问题，同时阐述了应用复数具体结局诸多问题的方法和途径，培养学生的创新以及开拓思维，使其能够掌握解题的要点及策略。 参考文献 【1】 赵瑶瑶.复数的历史与教学.华东师范大学硕士学位论文,2007 【2】 钟玉泉.复变函数论（第三版）.北京：高等教育出版社，2003 【3】 刘绛玉，石宁，许景彦.复数的几何意义及其应用.石家庄：石家庄职业技术学院学报，2001 【4】 李平兰.复数在代数与几何的应用.湖南娄底：邵阳师范高等专科学校学报，2000 【5】 刘金金.复数在求极值问题中的应用.湖南农机,2012