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1、. .利用导数研究方程的根函数与x轴即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图即解导数不等式和“趋势图即三次函数的大致趋势“是先增后减再增还是“先减后增再减；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式组；主要看极大值和极小值与0的关系；第三步：解不等式组即可；1、函数. () 求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程; () 证明: 曲线y = f (x) 与曲线有唯一公共点.【答案】解:() f (x)的反函数,那么y=g(x)过点(1,0)的切线斜率k=.过点(1,0)的切线方程为:y = x+ 1() 证明曲线y=f(x)与曲线有唯一公共点,过程如下.因
2、此,所以,曲线y=f(x)与曲线只有唯一公共点(0,1).(证毕)2、函数(,为自然对数的底数).(1)求函数的极值;(2)当的值时,假设直线与曲线没有公共点,求的最大值.(1), 当时,为上的增函数,所以函数无极值. 当时,令,得,. ,;,. 所以在上单调递减,在上单调递增, 故在处取得极小值,且极小值为,无极大值. 综上,当时,函数无极小值; 当,在处取得极小值,无极大值. (2)当时,. 直线:与曲线没有公共点, 等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程: (*) 在上没有实数解. 当时,方程(*)可化为,在上没有实数解. 当时,方程(*)化为. 令,那么有. 令,得, 当变化时,
3、的变化情况如下表:当时,同时当趋于时,趋于, 从而的取值X围为.所以当时,方程(*)无实数解, 解得的取值X围是. 综上,得的最大值为.3、函数，且在区间上为增函数（1） XX数的取值X围；（2） 假设函数与的图象有三个不同的交点，XX数的取值X围解：1由题意在区间上为增函数，在区间上恒成立即恒成立，又，故的取值X围为2设，令得或由1知，当时，在R上递增，显然不合题意当时，随的变化情况如下表：极大值极小值由于，欲使与的图象有三个不同的交点，即方程有三个不同的实根，故需，即，解得综上，所求的取值X围为4、函数是实数集R上的奇函数，函数是区间一1，1上的减函数 (I)求a的值； (II) 假设在x
4、一1，1上恒成立，求t的取值X围 ()讨论关于x的方程的根的个数。解：I是奇函数，那么恒成立.II又在1，1上单调递减，令那么. III由I知令，当上为增函数；上为减函数，当时，而，、在同一坐标系的大致图象如下图，当时，方程无解. 当时，方程有一个根.当时，方程有两个根.5、.函数且在上的最大值为，1求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在0，内的零点个数，并加以证明。I在上恒成立，且能取到等号在上恒成立，且能取到等号在上单调递增II当时，在上单调递增在上有唯一零点当时，当上单调递减存在唯一使 得：在上单调递增，上单调递减 得：时，时，在上有唯一零点 由得：函数在内有两个零点。6、函数
5、在点处取得极小值4，使其导数的的取值X围为，求：1的解析式；2假设过点可作曲线的三条切线，XX数的取值X围解：1由题意得：在上；在上；在上因此在处取得极小值，由联立得：，2设切点Q，过令，求得：，方程有三个根。需：故：；因此所XX数的X围为：7、为常数在时取得一个极值， 1确定实数的取值X围，使函数在区间上是单调函数； 2假设经过点A2，c可作曲线的三条切线，求的取值X围解：1函数在时取得一个极值，且，或时，或时，时，在上都是增函数，在上是减函数使在区间上是单调函数的的取值X围是2由1知设切点为，那么切线的斜率，所以切线方程为：将点代人上述方程，整理得：经过点可作曲线的三条切线，方程有三个不同的实根设，那么，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故得：. .word.