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1、. .函数单调性1单调性定义1单调性定义：设函数的定义域为A，区间。如果对于任意，I，当时，都有，那么就说在区间I上是单调减函数区间I叫做的单调减区间；如果对于任意，I，当时，都有，那么就说在区间I上是单调增函数区间I叫做的单调增区间； 单调增区间或单调减区间统称为单调区间。2函数的单调性通常也可以以以下形式表达： 单调递增 单调递减例1定义在上的函数对任意两个不相等实数，总有成立，那么必有 A、函数是先增加后减少 B、函数是先减少后增加C、在上是增函数 D、在上是减函数3增函数、减函数的定义及图形表示xy0x1x2f(x1)f(x2)xy0x1x2 ; f(x1)f(x2) 增函数: 减函数
2、: 注意：对于函数单调性定义的理解，要注意以下两点函数的单调性是对某一个区间而言的f(x)在区间A与B上都是增(或减)函数，在AB上不一定单调单调性是函数在某一区间上的性质，因此定义中的x1，x2在这一区间上具有任意性，不能用特殊值代替在研究函数的单调性时，应先确定函数的定义域xy12345-2-4-1-3-5123123O例1以下图是定义在区间-5，5上的函数，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？例2函数f(x)在区间a，b上单调，且f(a)f(b)0，那么方程f(x)=0在区间a，b A至少有一实根 B至多有一实根 C没有实根 D必有唯一的实根例3函数是定义
3、在上的增函数,且,求的取值X围.例4函数f(x)x1，假设f(a1)f(102a)，那么a的取值X围是_(，1)(3,5)解析由题意，得或或a1或3a5.2函数单调性的证明方法1定义法： 任取x1，x2D，且x1x2； 作差f(x1)f(x2)； 变形通常是因式分解和配方； 定号即判断差f(x1)f(x2)的正负； 下结论指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性2图象法(从图象上看升降)例1判断函数在上的单调性,并用定义证明.例2试讨论函数在区间上的单调性.解： 设，且x2x10，0，当时，那么当时，那么故在区间上是增函数，在区间上是减函数例3函数用单调性定义证明：在上为增函数；解设， 所以在
4、上为增函数.例4证明函数f(x)2x在(，0)上是增函数设x1，x2是区间(，0)上的任意两个自变量的值，且x1x2.那么f(x1)2x1，f(x2)2x2，f(x1)f(x2)2(x1x2)(x1x2)由于x1x20，所以x1x20，因此f(x1)f(x2)0，即f(x1)0，y0都有ff(x)f(y)，当x1时，有f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性并加以证明；(3)假设f(4)2，求f(x)在1,16上的值域解：(1)当x0，y0时，ff(x)f(y)，令xy0，那么f(1)f(x)f(x)0.(2)设x1，x2(0，)，且x1x10.1，f0.f(x2)f(x1
5、)，即f(x)在(0，)上是增函数(3)由(2)知f(x)在1,16上是增函数f(x)minf(1)0，f(x)maxf(16)，f(4)2，由ff(x)f(y)，知ff(16)f(4)，f(16)2f(4)4，f(x)在1,16上的值域为0,4例6定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有f(mn)f(m)f(n)，且当x0时，0f(x)1.(1)试求f(0)的值；(2)判断f(x)的单调性并证明你的结论；解：(1)在f(mn)f(m)f(n)中，令m1，n0，得f(1)f(1)f(0)因为f(1)0，所以f(0)1.(2)任取x1，x2R，且x10，所以0f(x2x1)0时，0f
6、(x)1，所以当x10.又f(0)1，所以综上可知，对于任意的x1R，均有f(x1)0.所以f(x2)f(x1)f(x1)f(x2x1)10.所以函数f(x)在R上单调递减3复合函数的单调性判断1复合函数的概念如果是的函数，又是的函数，即，那么关于的函数称为f,g的复合函数，为中间变量。2结论：设函数在区间M上有意义，函数在区间N上有意义，且当XM时，uN。有以下四种情况：1假设在M上是增函数，在N上是增函数，那么在M上也是增函数；2假设在M上是增函数，在N上是减函数，那么在M上也是减函数；3假设在M上是减函数，在N上是增函数，那么在M上也是减函数；4假设在M上是减函数，在N上是减函数，那么在
7、M上也是增函数。即：同增异减。注意：内层函数的值域是外层函数的定义域的子集。3用表格表示，如下实施该法那么时首先应考虑函数的定义域.tg(x)yf(t)yfg(x)增增增增减减减增减减减增注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性一样的区间和在一起写成其并集. 例1例2求函数的递减区间。例3求函数f(x)的单调区间解：设ux2x6，y.由x2x60，得x3或x2.结合二次函数的图象可知，函数ux2x6在(，3上是递减的，在2，)上是递增的又函数y是递增的，函数f(x)在(，3上是递减的，在2，)上是递增的4函数单调性的常见结论奇函数在其对称区间上的单调性一样；偶函数在其对称
8、区间上的单调性相反；在公共定义域内：增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数函数在上单调递增；在上假设f(x)为增(减)函数，那么f(x)为减(增)函数，5常见函数的单调性例1设函数是-，+上的减函数，假设aR, 那么 A. B. C. D.例2函数y=4x2-mx+5在区间上是增函数，在区间上是减函数，那么m=_;例3函数的递增区间依次是 ABCD例4函数在区间上是减函数，那么实数的取值X围是 Aa3 Ba3Ca5 Da3例5函数f(x)=ax2-(5a-2)x-4在上是增函数, 那么a的取值X围是_. 例6求函数的单调区间例7假设函数yax与y
9、在(0，)上都是减函数，那么yax2bx在(0，)上是()A增函数 B减函数C先增后减 D先减后增例8函数y(x3)|x|的递增区间是_解析：y(x3)|x|作出该函数的图象，观察图象知递增区间为.答案：例9求函数yx22|x|1的单调区间解：(1)由于y即y画出函数图象如下图，单调递增区间为(，1和0,1，单调递减区间为1,0和1，)6函数的单调性的应用例1设函数f (x)是，+上的减函数，假设aR，那么 A f(a2+1)f(a)Bf(a2)f(a)Cf(a2+a)f(2a) 例2函数在上递增，XX数的取值X围.解：设，由恒成立即当时，恒成立又，所以例3求函数在区间上的最大值、最小值.最大
10、值为,最小值为. 例4假设f(x)在区间(2，)上是增函数，那么a的取值X围是_解析：设x1x22，那么f(x1)f(x2)，而f(x1)f(x2)0，那么2a10.得a.提高题1函数在区间上为增函数，那么实数的取值X围_ 2定义域为R的函数f(x)在区间(，5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5t)f(5t)，那么下式子一定成立的是 Af(1)f(9)f(13)Bf(13)f(9)f(1)Cf(9)f(1)f(13)Df(13)f(1)f(9)3函数f(x)假设f(2a2)f(a)，那么实数a的取值X围是()A(，1)(2，)B(1,2)C(2,1)D(，2)(1，)解析：f(x)由f(x)的图象可知f(x)在(，)上是单调递增函数，由f(2a2)f(a)得2a2a，即a2a20，解得2a1. .word.