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1、*.函数的单调性一、 函数单调性的的判断方法除了用差分法（又称定义法）判断函数的单调性外，常用的方法还是有以下几种：1.直接法直接法就是利用我们熟知的正比例函数、一次函数、反比例函数的单调性，直接判断函数的单调性，并写出它们的单调区间，熟记以下几种函数的单调性：(1)正比例函数：当时，函数在定义域上是增函数；当时，函数在定义域上是减函数.(2)反比例函数：当时，函数的单调递减区间是，不存在单调递增区间；当时，函数的单调递增区间是，不存在单调递增区间.(3)一次函数：当时，函数在定义域上是增函数；当时，函数在定义域上是减函数.（4）二次函数：当时，函数的图像开口向上，单调递减区间是，单调递增区间
2、是；当时，函数的图像开口向下，单调递增区间是，单调递减区间是.注意：在定义域上是增函数，其图像如右图：2.图像法画出函数图象，根据其图像的上升或下降趋势判断函数的单调性.3.运算性质法（1）函数，当时有相同的单调性，当时有相反的单调性；如函数与的单调性相反，函数与的单调性相同；（2）当函数恒为正（或恒为负）时与有相反的单调性，如：函数是递增函数，则在区间是递减函数；（3）若，则与具有相同的单调性，如：函数，在定义域上，且是上的递减函数，是上的递增函数，所以函数是上的递减函数，是上的递增函数；（4）若，的单调性相同，则的单调性与，的单调性相同.如，令，即，因为函数在上单调递减，的单调递减区间是，
3、所以函数的单调递减区间是；(5) 若，的单调性相反，则的单调性与的相同.因为与的单调性相同，所以的单调性与的相同.二、抽象函数单调性的判定没有具体函数解析式的函数，我们称为抽象函数，判断抽象函数单调性是一类重要的题型，其解法采用差分法.实例1 已知定义在上的函数对任意，恒有，且当时，判断在上的单调性.解 设，则.，所以函数在上的单调递减.二、 复合函数单调性的判定方法求复合函数的单调性的步骤：（1） 求出函数的定义域；（2） 明确构成复合函数的简单函数（所谓简单函数即我们熟知其单调性的函数）:;（3） 确定简单函数的单调性；（4） 若这两个函数同增或同减（单调性相同），则为增函数；若这两个函数
4、一增一减（单调性相异）则为减函数简记为“同增异减”.如下表所示：函数复合函数 单调性增增增减增减增减减减减增实例2 求函数在定义域上的单调区间解：由解析式得，即函数的定义域为.令，则.是增函数，而在上是减函数，在上是增函数，函数的递增区间为，递减区间为.三、 单调性的应用1. 用函数的单调性比较大小利用函数的单调性及自变量的大小可以比较两个函数值的大小，即已知函数在定义域的某个区间上为增函数，若对区间内的任意两个值且，则.减函数也有类似的性质.示例3 已知函数在上是减函数，试比较与的大小.解：，与都在区间内.又在区间上是减函数，注意：解答这类型的题目首先要判断函数的自变量是否在所给区间内.示例
5、4 已知是定义在上的增函数，且，求的取值范围.解 是定义在上的增函数，且，可得不等式组即解得，所以所求.2. 用函数的单调性求最值在利用单调性求最值或值域时要注意以下结论：（1） 若在定义域是增函数，则当时，取得最小值当，取得最大值如图2.（2） 若在定义域是减函数，则当时，取得最大值，当，取得最小值如图3.（3）已知函数，如果在上是单调递增（减）函数，在上是单调递减（增）函数，则在时取得最大（小）值，在或时取得最小（大）值，如下图4,5.示例5 求函数的最大值.解：令，则.由题意得函数的定义域为.在上递增，在上递减，但在上递增，在上为递增函数，当时，有最大值4.注意：研究函数最值时，先求定义
6、域，再判断其单调性.3.利用单调性求参数的取值举例应用：课本40页例34.解含“”的不等式根据函数在某区间上的单调性及函数值的大小，可以求自变量的取值范围即已知函数在定义域内的某个区间上为增函数，若则；若已知函数在定义域内的某个区间上为减函数，若则，就是增（减）函数定义的逆应用.示例6 已知函数是上的减函数，且，求实数的取值范围.解：函数是上的减函数，且，.函数的定义域和值域一、复合函数的定义域复合函数的定义域，是函数的定义域中，使中间变量属于函数的定义域全体.示例1 若函数的定义域为，求函数的定义域.解：函数的定义域为，使得有意义的条件是,即，则的定义域为.注意：这类型的题目简记为“对应法则
7、相同，括号内的取值范围相同”.示例2 已知的定义域为，求函数的定义域.解题分析：函数和中的并不是同一个量，若设，则变成，那么的取值范围才是函数的定义域，即“对应法则相同，括号内的取值范围相同”.解：的定义域为，则，所以函数的定义域为.二、求函数值域的常用方法1.公式法：适用于初中所学的一次函数、二次函数、反比例函数及以后学习的基本初等函数，形如（且分式不可约）的值域为.示例3 求函数的值域解：函数，的值域为.2.图像法：适用于能画出图像的函数.如的图像如右图所示，所以值域为.3.不等式性质法（包括配方法、分离常数法、有界性法）适用于解析式只含“一个”或通过变形能化成只出现“一个”的函数，如由，
8、则，可得；又如，因为，所以，所以.示例4求函数的值域解：，由，得.令，则.结合反比例函数的图像可知，当，即时，.的值域为.4.换元法：适用于无理式中含自变量的函.示例5 求函数的值域.解：函数的定义域是.令，则，结合二次函数的图像，原函数的值域为.注意：解这类型的题目要注意函数的定义域,在利用换元法求函数值域时，一定要注意新变量的取值范围，若忽视了这点，就容易造成错误.5.判别式法：适用于形如的函数.示例6 求函数的值域.解：由得，当时，方程无解；当时，要使关于的方程有解，必须，解得原函数的值域为.6.方程思想（包括判别式法、反解法）适用于可解出的解析式的函数.示例7 求函数的值域解：由得，当时，方程无解：当时，要使关于的方程有解，必须，解得.原函数的值域为.示例7：求函数的值域.解：由得，只要，就有.原函数的值域为.