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1、. .【数学建模论文】数学建模在初中数学中的应用：高军明专业：数学教育班级：12级在职教育硕士（1）班学号：03120046数学建模在初中数学中的应用摘要：数学模型就是根据研究目的,对所研究的过程和现象的主要特征、主要关系，采用形式化的数学语言,概括地、近似地表达出来的一种结构，即把所要研究的实际问题,通过数学抽象构造出相应的数学模型,再通过数学模型的研究使原问题获得解决的过程数学模型是数学知识与数学应用的桥梁，随着数学教学的不断深入，重视数学知识与现实生活的联系，发展学生的数学应用意识和应用能力，已成为数学教育发展的趋势。数学建模将实际问题抽象转化为数学模型,然后用数学方法求解模型，使问题得
2、到解答,能够帮助学生探索数学的应用,产生对数学学习的兴趣，培养学生的创新意识与实践能力。本文谈谈如何在初中数学教学中渗透数学建模的思想与思维过程。关键字：数学建模；中学数学建模；数学；应用什么是数学模型？我们把某种事物系统的主要特征、主要关系抽象出来，用数学语言概括地或近似地表述出来的一种数学结构，称为数学模型。数学模型就是根据研究目的,对所研究的过程和现象的主要特征、主要关系,采用形式化的数学语言,概括地、近似地表达出来的一种结构,即把所要研究的实际问题,通过数学抽象构造出相应的数学模型,再通过数学模型的研究使原问题获得解决的过程数学建模是建立数学模型并用它解决问题这一过程的简称，数学建模就
3、是应用建立数学模型来解决各种实际问题的方法，也就是通过对实际问题的抽象、简化，确定变量和参数，并应用某些 “ 规律 ” 建立起变量、参数间的确定的数学问题 ( 也可称为一个数学模型 ) ，求解该数学问题，解释、验证所得到的解，从而确定能否用于解决实际问题的多次循环、不断深化的过程。数学建模将实际问题抽象转化为数学模型,然后用数学方法求解模型,使问题得到解答,能够帮助学生探索数学的应用,产生对数学学习的兴趣,培养学生的创新意识与实践能力. 本文谈谈如何在应用题的教学中渗透数学建模的思想与思维过程.什么是中学数学建模 ？ 这里的“中学数学建模”有两重含义，一是按数学意义上的理解、在中学中做的数学建
4、模。主要指基于中学X围内的数学知识所进行的建模活动，同其它数学建模一样，它仍以现实世界的具体问题为解决对象，但要求运用的数学知识在中学生认知水平内，专业知识不能要求太高，并且要有一定的趣味性和教学价值 。二是按课程意义理解，它是本文要展开讨论的，一种要在中学中实施的特殊的课程形态。它是一种以“问题引领、操作实践”为特征的活动型课程。学生要通过经历建模特有的过程，真实地解决一个实际问题，由此积累做数学、学数学、用数学的经验，提升对数学及其价值的认识。其设置目的是希望通过教师对数学建模有目标、有层次的教与学的设计和指导，影响学生的学习过程，改变传统的学习方式，实现激发学生自主思考，促进学生合作交流
5、，提高学生学习兴趣，发展学生创新精神，培养学生应用意识和应用数学的能力，最终使学生提升适应现代社会要求的可持续发展的素养。一、数学建模思想的基本步骤及意义数学建模的实质就是应用数学知识将复杂无章的实际问题抽象成符合逻辑的数学关系，然后将所有的数学关系组建成相应的数学模型的过程。数学模型建立的具体流程如下：实际问题假设化简模型建立数学模型实际应用模型验证与评价模型求解1、合理分析问题。首先要对所需研究的问题进行深入的了解，全面分析问题产生的各方面原因，并且要尽可能多的掌握问题相关的背景资料。2、假设化简问题。掌握到问题的研究背景之后就要根据问题的具体特征以及问题的特定目的来对问题进行简化处理，同
6、时还要用精确的数学语言将最终的数学模型描述出来，这一过程主要实现了将复杂无章的问题抽象成具体的问题。3、建立数学模型。数学模型是要建立在先前假设的基础上，通过运用适当的数学工具和数学知识来刻画变量之间的数量关系，从而得出相应的数学结构。4、求解验证模型。在求解数学模型过程中要将其结果与实际情况进行对比，从而来验证求解结果的有效行和准确性。5、模型结果分析。模型结果往往能够体现出所建立模型的可靠性。如果模型求解结果与实际情况相差较大，那么这个模型就不能够充分说明实际问题，此时就要对先前的模型进行适当的修改，然后重新建立数学模型；如果模型求解结果与实际情况正好相符，那么就可以说这个模型是有实际意义
7、的，此时就要根据实际问题来对模型结果做出合理的解释。可以说数学建模是对数学思想和知识的实际应用，也可以说数学建模是解决实际问题的强有力工具。因为数学模型和数学建模不仅能够展示给学生该如何将所学到的数学知识和技巧应用到实际问题的解决当中，而且更重要的是它能够锻炼学生该怎样从实际问题中提炼出数学内涵，使学生对特定的问题模型能够运用合适的方法给予解决。由此可以看出，数学建模在学生应用数学知识过程中的重要性。数学建模思想的教学渗透顺应了当前素质教育和新课程标准教学改革的需要。二期课改中指出：要让学生“在实践应用中逐步积累发现、叙述、总结数学规律的经验，知道一些基本的数学模型，初步形成数学建模能力，能解
8、决一些简单的实际问题”。这一点说明，“数学生活化”是新一轮数学课程改革中的一个重要理念，它强调“从学生的已有经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”。 强化数学建模能力，不仅能使学生更好地掌握数学基础知识，学会数学的基本思想和方法，也能增强学生应用数学的意识，提高分析问题、解决实际问题的能力。数学建模思想的基本步骤：（1）模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题。（2）模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。（3）模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来
9、刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。（尽量用简单的数学工具）（4）模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（估计）。（5）模型分析：对所得的结果进行数学上的分析。（6）模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设，在次重复建模过程。（7）模型应用：应用方式因问题的性质和建模的目的而异。二、数学建模应用的基本要求在初中数学教学中数学建模的应用要结合具体的教学内容来对学生进行训练，一般情况下，教师首先需要创设特定的问题情境，然后对相应
10、的问题建立数学模型，最后对可靠模型进行解释、应用与拓展，学生通过对问题的探讨和研究可以实现真正意义上的“做数学”和“用数学”的过程，从而有助于培养学生的数学思维能力以及实际应用能力。中学阶段常见的数学模型有方程模型、不等式模型、函数模型或几何模型、统计模型等，我们把运用数学模型解决现实问题的方法统称为应用建模。三、初中数学中常见的模型1、建立方程模型方程组模型的建立主要是运用数学语言将问题中的相关条件抽象成若干个方程，并且要使其中的未知数能够满足每个方程，然后将这若干个方程组合在一起对问题进行求解。现实生活中广泛存在着数量之间的相等关系，“方程（组）”模型则是研究现实世界数量关系最基本的数学模
11、型，它可以帮助人们从数量关系的角度更正确、更清晰认识、描述和把握现实世界。【案例1】一元二次方程中的“平均变化率”问题。为了美化环境，某市加大了对绿化的投资，2010年用于绿化投资20万元，2011年用于绿化投资28.8万元，求这两年绿化投资的平均增长率。【解析】1.问题分析 假设这两年绿化投资的平均增长率为，那么2008年用于绿化的投资额为多少元？那么2009年用于绿化的投资额为多少元？ 2.模型建立 2010年用于绿化的投资额为：。 2011年用于绿化的投资额为：。 根据2011年用于绿化的投资28.8万元， 得到方程 如果设起始数据为，终止数据为，平均变化率为，则经过两次增长或降低后得到
12、方程形式为或者。 3.对数学模型求解并回归实际问题 解方程：可得： ，（不符合题意，舍去）。 故这两年绿化投资的平均增长率为20%。点评：对现实生活中广泛存在的如增长率、储蓄利率、产品购销、工程施工、人员调配等含有等量关系的实际问题，通常可以通过构建方程(组)模型来解决。2、建立不等式（组）模型在现实世界中，正如相等关系一样不等关系也是普遍存在的，如在市场经营、生产决策和社会生活中的估计生产数量、核定价格X围、盈亏平衡分析、投资决策等许多问题中，很难确定（有时也不需要）具体的数值，则可挖掘实际问题所隐含的数量关系，建立不等式（组）模型，进而解决实际问题 【案例2】某县筹备20周年县庆，园林部门
13、决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A,B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆。某校九年级（1）班课外小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来。【解析】设搭配A种造型个，则B种造型为（50-）个，依题意，得：，解这个不等式组，得，是正整数，可取31，32，33，可设计三种搭配方案：A种园艺造型31个，B种园艺造型19个；A种园艺造型32个，B种园艺造型18个；A种园艺造型33个，B种园艺造型17个。点评：通过构建一元一次不等式(
14、组)模型，把实际问题转化为一元一次不等式(组)进行求解，一是要注意正确找出实际问题中的不等关系，二是要注意按照列不等式(组)解应用题的基本步骤(审，设、列、解、答)，求出符合题意的答案.在现实世界中，正如相等关系一样不等关系也是普遍存在的如在市场经营、核定价格、分析盈亏、估计产量、投资决策等许多问题中，可以通过挖掘实际问题所隐含的数量关系，构建不等式(组)模型加以解决。3、建立函数模型函数反映了事物间的广泛联系，揭示了现实世界众多的数量关系及运动规律。现实生活中，诸多问题常可建立函数模型求解。【案例3】某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格，
15、经试验发现，当按每件20元的价格销售时，每月能卖360件；当每件25元销售时，每月能卖210件。假定每月销售的件数是价格（元/件）的一次函数。（1）试求与的函数关系式。（2）在商店不积压，且不考虑其他因素的条件下，当销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？最大利润是多少？（总利润=总收入-总成本）【解析】（1）依题意，设一次函数的解析式为，则有 ，解得，。（2）每月获得的利润=，当=24元/件时，有最大值，最大值为1920元。答：当销售价格定位24元/件时，才能使每月获得最大利润，最大利润为1920元。点评：函数揭示了现实世界数量关系和运动、变化规律对于现实生活中普遍存在的最优化问题，如用
16、料最省、成本最低、利润最大等，可以构建立函数模型，转化为求函数的最值问题4、建立三角模型 在现实中我们经常会遇到如测高、测距、航海、拦水坝、人字架等实际问题，一般说来，这些问题的解决通常可建立三角模型，转化为解三角形问题没 【案例4】如图2： 甲、乙两船同时从港口O出发，甲船以16.1海里/小时的速度向东偏南32方向航行，乙船向西偏南58方向航行，航行了两小时，甲船到达A处并观测到B处的乙船恰好在其正西方向求乙船的速度v（精确到0.1海里小时） （参考数据： sin320.53，Cos320.85，tAn320.62，Cot321.60）【解析】由题意知AOB90，要求乙船的速度，得先求OB的
17、长解 由题意可得：OA161232.2（海里）， 132，258AOB180（12）90由B在A的正西方向，可得A132又在RtAOB中，tAnA，OBOAtAnA32.20.6219.964v19.96429.98210.0（海里小时）点评：三角模型与人类的生活密切相关诸如测高、测距、航海、拦水坝、人字架等实际问题，一般说来，这些问题的解决通常可建立三角模型，转化为解三角问题进行求解。5、建立几何模型几何与人类生活和实际密切相关，诸如测量、航海、建筑、工程定位、皮带传动、边角余料加工、道路拱桥设计等涉及一定图形的性质时，常需建立“几何模型”，把实际问题转化为几何问题加以解决。【案例5】如图3
18、，海中有一小岛P，在其距8海里X围内有暗礁，一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60，且A、P之间的距离为16海里，若轮船继续向东方向航行，请计算轮船有无触礁的危险，如有危险，轮船自A处开始至少沿东偏南多少度方向航行，才能安全通过这一海域【解析】依题意画出航行图，如图3，由P向A的正东方向作垂线PB，垂足为B由PAB30，得 PBAP8因为88，故有触礁的危险为了安全，应改变航行方向，并且保证P点到航向的距离不能小于暗礁的半径8，即这个距离至少等于8设安全航向为AD，做PCAD于C，由题意，AP16，PC8，sinPACPAC45，从而知BAC15故轮船自A开始，至少应沿东偏南1
19、5的方向航行，才能安全通过此海域。点评：几何与人类的生活密切相关诸如工程定位、材料加工、拱桥计算、皮带传动、残轮修复和跑道设计等，都涉及到几何图形及其性质，这就需要构建几何模型，将实际问题转化为几何问题进行求解6、概率统计模型 统计的内容具有非常丰富的实际背景，在现实世界中有着广泛的应用要接受统计的观念，建立统计模型，最有效的方法是投入到统计的全过程中去，提出问题，考虑抽样，收集数据，整理数据，分析数据，做出决策，进行交流，评价改进等，并在这个过程中学习和掌握统计的思想方法 【案例6】据报道，某公司的33名职工的月工资如下： 职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数人11215320工资
20、元5500500035003000250020002000（1）请你选择一个统计量（平均数、中位数或众数）来代表这个公司员工的工资水平； （2）假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？ （3）你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？简要地说明理由 【解析】（1）平均数为(155001500023500130005250032000201500)2091(元)； 从表中可以看出中位数是1500（元），众数是1500（元）所以，代表这个公司员工的工资水平的应是中位数或众数，这个统计量是1500（元）
21、 （2）按（1）中的方法可得新的平均数是3288（元），中位数是1500（元），众数是1500（元） （3）中位数或众数1500(元)更能反映这个公司员工的工资水平 平均数、中位数、众数都是描述一组数据集中趋势的特征数，而这里的1500（元）更有说服力 点评：概率在社会生活及科学领域中用途非常广泛诸如抽奖游戏、彩票中奖、股票走势、球队胜负等问题，常可构建概率模型求解统计的内容具有非常丰富的实际背景，在现实世界中有着广泛的应用要构建统计模型，最有效的方法是投入到统计的全过程之中，提出问题、进行抽样、收集数据、整理数据、分析数据、做出决策，并在这个过程中学习、掌握和运用统计的思想方法四、用数学模型
22、解决实际问题可以达到以下目的1用数学模型解决实际问题便与理论联系实际数学教学中，往往忽视运用数学知识解决实际问题的所谓“掐头去尾烧中断”的教学方法，使得中学数学脱离现实生活。因此，解题中要注意引导学生联系日常生活，把日常生活中的一些实际问题用数学来解决。要重视从实际问题中建立数学模型，解决数学问题，从而解决实际问题这个全过程。通过数学模型方法解题，可以把数学与实际问题沟通起来，互相渗透，互相转化，是数学更生地扎根于实际。2用数学模型解决实际问题，能提高学生学习兴趣。不少学生感到数学枯燥无味，所以要数数学学习过程中充满乐趣。数学模型是从实际提炼出来，而后又用之解决问题，可激发学生极大的兴趣；学会
23、了主动学习，学会了去索取自己所要学的知识，对数学有了新的认识，学习数学的兴趣更高了，更自觉了3用数学模型解决实际问题，有助于培养学生创造思维。在高分下令人忧虑的是，中学生应用意识薄弱，动手能力差，虽善于解题，但创造能力差，而运用数学模型解题恰能起到改善作用。数学模型具有激趣、求异、探究的特点，使学生思维处于活跃状态，多角度、多层次的观察、认识、思考问题，使学生充分发挥自己的想象力和主观能动性。独立思考，大胆探索，标新立异，积极提出自己的新观点、新思路、新方法，从地位特点上说带有探索性，在方法形式上富有创造性，有助于培养学生的创新思维和创造性能力。运用数学模型解决实际问题，不仅体现了数学的应用价
24、值，而且有助于学生灵活掌握数学知识和技能，它对于实施素质教育有着巨大的推动作用。在初中数学教学中结合教学内容有意识地介绍有关数学知识的实际背景及应用实例是非常必要的它将有助于学生加深对数学的应用特征的理解，并能使学生得到数学应用的初步训练，应该给学生创造机会接触实际问题，并让他们尝试着解决这些实际问题，在应用中学习如何建立数学模型，运用数学的知识和方法解决实际问题，即如何“用数学”。综上，通过对实际问题建立有效的数学模型不仅可以加深学生对数学知识和方法的理解和掌握，而且还有助于调整学生的知识结构、深化知识层次。同时，学生也可以通过观察和收集、比较和分析等一系列认识活动来完成建模过程，以充分掌握数学及相关学科的内在联系，从而感受到数学的广泛应用。另外，通过数学建模还能够培养学生应用数学意识和自主创新精神，使学生能够成为数学学习的主体。因此在初中数学课堂教学中，教师应该逐步培养学生数学建模的思想、方法，形成学生良好的思维习惯和用数学的能力。. .word.