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1、一向量有关概念：平面对量1. 向量的概念 ：既有大小又有方向的量,留意向量和数量的区分；向量常用有向线段来表示, 留意不能说向量就是有向线段,为什么？（向量可以平移） ；uuur如：已知 A（ 1,2 ）,B（ 4,2 ）,就把向量 ABr按向量 a （ 1,3 ）平移后得到的向量是 （答：（ 3,0 ）2. 零向量 ：长度为 0 的向量叫零向量,记作：0 ,留意 零向量的方向是任意的；uuuruuur3. 单位向量 ：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 与 AB 共线的单位向量是uuur ；| AB |AB4. 相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性；5. 平
2、行向量（也叫共线向量） ：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量,记作： a b , 规定零向量和任何向量平行；提示：相等向量肯定是共线向量,但共线向量不肯定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；r 平行向量无传递性 ！（由于有 0 ；uuuruuur三点 A、B、C共线AB、AC共线；6. 相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量；a 的相反向量是 a ；rr如： 以下命题： （ 1）如 abuuuruuurrr,就 ab ；（ 2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相uuuruuurr r
3、rrrr rrrr同r ；（ 3）如 AB r DC ,就 ABCD 是平行四边形； （ 4）如 ABCD 是平行四边形,就ABDC；（ 5）如ab, bc ,就 ac ；（ 6）如二向量的表示方法 ：a / b,b / c ,就a / c ；其中正确选项 （答：（ 4）（ 5）1. 几何表示法：用带箭头的有向线段表示,如AB ,留意起点在前,终点在后；2. 符号表示法：用一个小写的英文字母来表示,如a , b , c 等；3. 坐标表示法：在平面内建立直角坐标系,以与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i , j 为基底,rrr就平面内的任一向量a 可表示为 axiy jx, y ,称 x
4、, y 为向量 a 的坐标, a x, y 叫做向量 a 的坐标表示；假如向量的起点在原点 ,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同；三平面对量的基本定理：假如 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量 a,有且只有一对实数1 、 2 ,使 a=1 e1 2 e2； 如rrrr（ 1）如 a1,1,b1, 1,c 1,2 ,就 c 1 r3 r（ 2）以下向量组中,能作为平面内全部向量基底的是（答：ab ）； 22uruururuurA. e10,0, e21, 2B.e1 1,2, e25,7uruururuur13C.e13,5, e2uuur uuur6,10D
5、.e12,3, e2,24uuurr uuurruuur（答： B）；r r（ 3） 已知AD, BE分别是ABC 的边BC, AC 上的中线 , 且ADa, BEb , 就 BC 可用向量a,b表示为 2 r4 r（答：ab ）； 33（ 4）已知ABC中,点 D 在 BC 边上,且CD2 DB, CDr ABs AC,就 rs 的值是（答： 0）四实数与向量的积：实数与向量 a 的积是一个向量,记作a ,它的长度和方向规定如下：rr1aa , 2当0 时,a 的方向与 a 的方向相同,当0；当 P 点在线段 P 1 P2uuuur的延长线上时 1；当 P 点在线段 P2 P1 的延长线上时
6、10 ；如点 P 分有向线段P1P2所成的比为,就点 P 分有向线段uuuurP2 P1 所成的比为1 ；如uuur如点 P 分 AB 所成的比为3uuur,就 A分 BP 所成的比为 4uuuur（答：7 ）33. 线段的定比分点公式：设P1 x1 , y1 、 P2 x2, y2 ,Px, y分有向线段P1P2所成的比为,x x1x2就1y y1y21,特殊地,当 1 时,就得到线段 P1 P 2的中点公式x x1x2 2y y1y2 2；在使用定比分点的坐标公式时,应明确 x, y , x1, y1 、 x2 , y2 的意义,即分别为分点,起点,终点的坐标；在详细运算时应依据题设条件,
7、敏捷地确定起点,分点和终点,并依据这些点确定对应的定比；如1（ 1） 如 M（ -3 , -2 ）, N（ 6,-1 ）,且MPMN,就点 P 的坐标为 3（答： 6,7 ）；31uuuuruuur（ 2）已知 Aa,0, B3,2a ,直线yax 与线段 AB 交于 M ,且 AM 2r2MB,就 a 等于 （答：或）x xh十一平移公式：假如点rP x, y 按向量 ah,k平移至Px , y ,就；曲线y ykf x,y0 按向量ah, k平移得曲线f xh,yk 0 . 留意 ：（ 1） 函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？ （ 2） 向量平移具有坐标不变性,可别忘了啊！如rr（
8、1） 按向量 a 把 2,3 平移到 1, 2 ,就按向量 a 把点 7,2 平移到点 （答：（,） ）；（ 2 ） 函数 ysin 2 x 的图象按向量a 平移后,所得函数的解析式是ycos 2 x1 ,就 a 12、向量中一些常用的结论：（答： ,1 ）4（ 1）一个r 封闭r图形首r 尾连r 接而r 成的向r 量和为零向量,要r 注r意运用；rrrrr（ 2） | a | b | | ab | | a |b | ,特殊地,当 a、b 同向或有 0| ab | |a | b |rrrrrrrrrrrrrrrrr| a | b | | ab | ；当 a、brrrrrr反向或有 0| ab
9、| | a |b | a | b | | ab | ；当 a、b不共线| a | b | | ab | | a | b | 这些和实数比较类似 .（ 3 ） 在ABC 中 , 如A x1, y1, B x2, y2, C x3 , y3, 就 其 重 心 的 坐 标 为G x1x2x3 , y1y2y3；如33如 ABC的三边的中点分别为（2, 1）、（-3 ,4）、 （-1 , -1 ）,就 ABC的重心的坐标为 （答： 24, ）；33uuuruuuruuuruuur1GABCuuuruuuruuurrP 为 ABCPG3 PAPBPC 为的重心,特殊地PAPBPC0的重心；uuuruuu
10、ruuuruuuruuuruuur PA PBPB PCPCPAP 为 ABC的垂心；uuuruuur向量uAuBuruAuCur 0 所在直线过ABC 的内心 是BAC 的角平分线所在直线 ；| AB | AC |uuuruuuruuuruuuruuuruuurr | AB | PC| BC | PA| CA | PB0PABC 的内心；uuuuruuuruuuuruuuur（ 3）如 P 分有向线段P1P2所成的比为,点 M 为平面内的任一点,就MPMP1MP2,特殊uuuuruuuur 1地 P 为P1P2 的中点uuur MPMP1MP2 ；2uuuruuuruuuruuuruuuru
11、uur（ 4）向量 PA、PB、PC 中三终点 A、B、C1 . 如共线存在实数、 使得 PAPBPC 且平 面 直 角 坐 标 系 中 , O 为 坐 标 原 点 , 已 知 两 点A3,1 ,B 1,3, 如 点 C 满 足OC1OA2OB , 其中1 ,2R 且 12 1 , 就点 C 的轨迹是 （答：直线 AB）2.2平面对量的线性运算1. 在矩形 ABCD 中, AB3 , BC1 ,就向量 ABADAC 的长等于（）（A ） 2（ B） 23（ C） 3（ D） 42. 下面给出四个命题： 对于实数 m 和向量 a 、 b 恒有：m abmamb 对于实数 m 、 n 和向量 a
12、,恒有 mn amana 如 mambmR ,就有 ab 如 manam, nR, a0 ,就 mn其中正确命题的个数是（）（A ） 1（ B ）2（ C） 3（ D） 43. 如 a 与 b 的方向相反,且ab ,就 a+b 的方向与 a 的方向；此时 abab 答案：相同； =；uuur4. 已知 D、E、F 分别是 ABC 的边 BC、CA、AB 的中点,且 BCuuur a , CAuuur b , ABc,就以下uuur11uuur 1uuur11uuuruuuruuur各式： EFcb ； BE 22ab ； CF 2ab ； ADBECF220其中正确的等式的个数为答案： 2uu
13、uruuuruuur5. 已知 A、 B、C 三点不共线, O 是 ABC 内的一点,如 OAOBOC0 ,就 O 是 ABC的；（填重心 、垂心、内心、外心之一）答案：重心uuuruuuruuur6. 如 AB8, AC5, 就 BC的取值范畴是答案：3,13uuur解析：由结论 |a|-|b| |ab| |a|+|b|,由于 BCuuuruuurA=| ABAC |；F7. 如图, D、E、F 是 ABC 的边 AB 、BC、 CA 的中点,D就 AFDB =CBE答案： BE8. 在 YABCD 中,uuur r uuur r uuuruuur ABa, ADb, AN3NCuuuurr
14、 r,M为 BC的中点,就 MN ；（用 a、b 表示）uuuruuuruuuruuurrruuuurr1 r解析：如图,由AN3NC得4 AN3A C=3 ab ,AMab , 2uuuur所以 MN3 rrr1 rabab1 r1 rab ；4244uuuruuuruuuruuur9. 化简： ABCD ACBD =答案： 010. 如图,ABCD 是一个梯形, AB CD ,且 AB=2CD ,M 、N 分别是 DC 和 AB 的中点,已知 AB =a, AD =b,试用 a, b 表示 BC 和 MN 一、挑选题2.3平面对量基本定理及坐标表示1设平面对量a 1,0 , b 0,2,就
15、 2a3b A6,3B 2, 6C 2,1D 7,222已知平面对量 ax,1, b x,x ,就向量 a b A平行于 x 轴B平行于第一、三象限的角平分线C平行于 y 轴D平行于其次、四象限的角平分线3已知平面对量 a1,2, b 2,m,且 a b,就 2a 3b A 2, 4B 3, 6C 4, 8D 5, 104. 设点 A2,0 , B4,2 ,如点 P 在直线 AB上,且|AB | 2|AP|,就点 P 的坐标为 A3,1B 1 , 1C 3,1或1 , 1D很多多个uuur5. 如向量 ABuuru=（1,2 ）, BCuuur=（3,4 ）,就 AC=A （ 4,6 ）B -
16、4,-6C -2, -2D 2,26. 已知向量 a x z,3 , b 2 , y z ,且 a b,如 x, y 满意不等式 |x|y| 1,就 z 的取值范畴为 A 2,2B 2,3C 3,2D 3,327. 设两个向量a 2, cos2 和 b m,msin ,其中 , m, 为实数如 a 2b, 2就 m的取值范畴是 A 6,1B 4,8C , 1D 1,6二、填空题8.设 a 1,2, b2,3,如向量 a b 与向量 c 4, 7 共线,就 .119如三点 A2,2,Ba,0 , C0,bab 0 共线,就ab的值为10. 设向量 a, b 满意|a| 25, b 2,1 ,且
17、a 与 b 的方向相反,就 a 的坐标为11. 设 e1, e2 是平面内一组基向量,且a e1 2e2, b e1e2,就向量 e1 e2 可以表示为另一组基向量 a, b 的线性组合,即 e1 e2a b.12. 在平面直角坐标系xOy 中,四边形 ABCD的边 AB DC,AD BC.已知点 A 2,0 ,B6,8 ,C8,6 , 就 D 点的坐标为三、解答题11313. 已知点 A 1,2 , B2,8 以及 AC AB, DA 3BA,求点 C, D 的坐标和 CD的坐标14. 已知 A1,1 、B3 , 1 、Ca, b 1如 A、B、C三点共线,求 a、b 的关系式；uuur(2) 如 ACuuur 2 AB,求点 C的坐标15已知向量 OA 3,4,OB6 , 3 ,OC 5 m, 3 m如点 A,B,C 能构成三角形,求实数 m满意的条件 16已知 O0,0 , A1,2 , B4,5 及OP OA tAB,求(1) t为何值时, P 在 x 轴上？ P 在 y 轴上？ P 在其次象限？(2) 四边形 OABP能否成为平行四边形？如能,求出相应的t 值；如不能,请说明理由