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1、安阳师范学院本科同学毕业论文一阶常微分方程初等解法田丰数学与统计学院数学与应用数学2021级100801066李波2021年 5 月 10 日作 者系院专 业年 级学 号指导老师论文成果日 期同学诚信承诺书学习文档 仅供参考本人正式承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的争论工作及取得的争论成果 . 尽我所知，除了文中特殊加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的争论成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他训练机构的学位或证书所使用过的材料 . 与我一同工作的同志对本争论所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 .签名：日期：论文使用授权说明本人完全明白安阳师范学
2、院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，答应论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采纳影印、缩印或其他复制手段储存论文 .签名：导师签名：日期：一阶常微分方程初等解法田 丰 安阳师范学院数学与统计学院，河南安阳 100801066摘 要: 文章对一阶常微分方程运用变量别离 , 积分因子 , 恰当微分方程等各类初等解法进行了归纳与总结 , 同时结合例题演示了常微分方程的求解问题；关键词: 一阶常微分方程 ; 变量别离 ; 恰当微分方程 ; 积分因子1 引言常微分方程在微积分概念显现后即已显现, 对常微分方程的争论也可分为几个阶段. 进展初期是对具体的常
3、微分方程期望能用初等函数或超越函数表示其解, 属于“求通解”常微分方程的求解问题 , 而欧拉就试图用积分因子处理 . 但是求解热潮最终被刘维尔证明里卡蒂方程不存在一般初等解而中断. 加上柯西初值问题的提出 , 常微分方程从“求通解”转向“求定解”时代. 在 20 世纪六七十岁月以后 , 常微分方程由于电脑技术的进展迎来了新的时期, 从求“求全部解”转入“求特殊解”时代, 发觉了具有新性质的特殊的解和方程 , 如混沌解、奇特吸引子及孤立子等 .微分方程里各项的次数，其实说的是方程各项中未知函数y及其导数 y ， y， y的次数但是一般接触到的有解析解的微分方程都不会超过1 次， 所以齐次一般指的
4、就是方程各项中未 知函数 y及其导数 y ，y，y的次数为 1 也就是说方程各项中必需 显现且只显现单独的 y，y ，y，y，而不显现它们的平方、 n 次方，也不显现它们相互相乘，也不显现常数项次数为0其中的常见的求解一阶微分方程有：一般变量别离dyf x y ；齐次微分方程dxdyg x ， dydxydxa1 x a2 xb1 y b2 yc1；常数变易 dyc2dxP x yQ x , dydxPx yQ x y n伯努利微分方程；恰当微分方程及积分因子法这些都是常见的解法常微分方程的争论仍与其他学科或领域的结合而显现各种新的分支, 如掌握论、种群分析、种群生态学、分支理论、泛函微分方程
5、、脉冲微分方程等.总之, 常微分方程属于数学分析的一支, 是数学中与应用亲密相关的基础学科 , 其自身也在不断进展中 , 学好常微分方程基本理论和实际应用均特别重要. 因此本文对一阶常微分方程的初等解法进行了简要的分析, 同时结合例题 , 展现了初等解法在解题过程中的应用 .2 一阶常微分方程的初等解法变量别离法一般变量别离法dyf x y ,dx2.1的方程 ,称为变量别离方程 , f x , y 分别是 x , y 的连续函数 .这是一类最简洁的一阶函数.假如 y0 ,我们可将2.1 改写成dyf y xdx ,这样,变量就别离开来了 .两边积分 ,得到dy yf xdxc.2.2这里我们
6、把积分常数c 明确写出来 ,而把dy, yf x dx 分别懂得为1, yf x 的原函数.常数 c 的取值必需保证 2.2 有意义 ,如无特殊声明 ,以后也做这样懂得 .因2.2 式不适合 y0 情形.但是假如存在y0 使 y0 0 ,就直接验证知 yy0 也是 2.1 的解.因此,仍必需寻求 y0 的解y0 ,当 yy0 不包括在方程的通解 2.2中时,必需补上特解 yy0例 1求解方程 dyydxx解 将变量别离 ,得到ydyxdx ,两边积分 ,即得因而,通解为y2x2c,22222xyc .这里 c是任意正常数 ,或者解出 y ,写出显函数形式的解2ycx.例 2求解方程的通解,其中
7、p x是x 的连续函数dypx y ,dx3.1解 将变量别离 ,得到dyp xdx ,y两边积分 ,即ln | y |p xdxc .这里 c是任意常数 .由对数定义 ,有| y |p xdx ce,即令e cc ,得到yecp xdxe,ycep x dx,3.2此外, y0 明显也是方程3.1的解,假如答应3.2 中答应 c0 就 y0 也就包括在3.2中,因而3.1 的通解为3.2,其中 c 为任意常数用变量别离解齐次微分方程.1 用变量别离法解齐次微分方程类型一形如dyg dxx ,y的方程,称为齐次微分方程 ,这里 gu 是u 的连续函数 .作变量变换uy ,x即 yux,于是dy
8、x duu .dxdx代入原方程可得整理后,得到duxudxdug udxxgu ,u .2.3因 2.3 是一个变量别离方程 .就可根据变量别离方法求解 ,然后代回原先的变量 ,即可得到原方程的解例 3求解方程 dydxytan yxx解 这是齐次微分方程 ,以 yxu及 dydxx dudxu 代入,就原方程变为x dudx即uutan u,dutanu .3.3将上式别离变量 ,既有dxxdx两边积分 ,得到cot udu, x这里 c是任意常数 ,整理后,得到ln | sin u |ln | x |c .ec 得到sin u =ecx,sin ucx .3.4此外,方程3.3 仍有解t
9、an u0 .假如在3.3 中答应 c0 ,就tanu0 也就包括在3.4中,这就是说 ,方程3.3 的通解为3.4带回原先的变量 ,得到方程的通解为ysincx. x例 4求解方程x dydx2xyy x0 解 将方程改写为dy2yy ,dxxx这是齐次微分方程 .以 yx别离变量 ,得到u及 dydxx dudxduxdxu 代入,就原方程变为2u.3.5dudx ,2ux两边积分 ,得到 3.5 的通解ulnxc.即当 lnxc0 时,ulnxc 2 .这里 c 时任意常数 .此外,方程 3.5 仍有解u0.留意,此解并不包括在通解 3.5 中.代入原先的变量 ,即得原方程的通解为yxl
10、nxc2 .2 用变量别离法解齐次微分方程类型二形如dya1xdxa2 xb1 y b2 yc1 , c22.4的方程不行直接进行变量别离,但是可以经过变量变换后化为变量别离方程,这里a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2 均为常数 .可分为三种情形来争论 :1a1 a2b1c1b2c2k 常数的情形这时方程可化为有通解dyk ,dxykxc ,其中 c为任意常数 .2a1 a2b1kb2c1 的情形. c2令ua2 xb2 y,这时有dudy2a2b2a2dxdxb ku uc1 . c2是变量别离方程3a1a2b1及 c1b2, c2不全为零的情形由于方程右端分子 ,分母都
11、是 x, y 的一次多项式 ,因此a1 x a2 xb1 yc10,b2 yc20.代表 Oxy 平面上两条相交的直线 ,设交点为,假设令X x,Y y,就方程可化为a1x a 2x1b y0,b2 y0,从而方程2.4 变为dYa1 XdXa2 Xb1Y b2Yg Y. X因此,求解上述变量别离方程 ,最终代回原方程 ,即可得到原方程的解 .4c1c20 的情形,此时直接变换 uy 即可.x例 5求解方程 dy11 .dxxy1解 令uxy1 ,就有yux1 ,代入所求方程d ux111,dxu整理可得du1 ,由变量别离得dxuu 22 xc,故所求方程的解为2xy12 xc .例 6求解
12、方程dyxdxxy1 .y3解 解方程组xy10,xy30,得 x1, y2. 令x X1,y Y1,代入上式方程 ,就有dYXY .dXXY再令 uY 即Y XuX , 就上式可化为dX X1u12uu 2du ,两边积分 ,得ln X 2ln | u22u1 |c ,因此X 2 u22u1ec ,c记ec1, 并带回原变量 ,得Y 22XYX 2c1 , y2 22 x1 y2 x1 2c1.此外简洁验证u 22u10 ,即Y 22 XYX 20,也是方程的解 ,因此方程的通解为y 22xyx 26y2xc,其中 c为任意的常数 .2.2 常数变易法 常数变易法类型一一阶线性微分方程dyP
13、 x y dxQ x ,其中 Px ,Q x在考虑的区间上是 x 的连续函数 ,假设Qx0 ,方程变为dyP x y, dx称其为一阶齐次线性微分方程 ,假设 Q x0, 称其为一阶非齐次线性微分方程.变易别离方程 ,易求得它的通解为这里 c是任意常数 .yceP x dx,现在争论非齐次线性方程的通解的求法 .不难看出 ,是特殊情形 ,两者既有联系又有差异 ,因此可以设想它们的解也应当有肯定的联系而又有差异 ,现试图利用方程的通解的形式去求出方程的通解,明显,假如中 c恒保持为常数 ,它们不行能是的解 .可以设想在中将常数 c 变易为 x 的待定函数 ,使它满意方程 ,从而求出 c x ,
14、为此,令两边同时微分 ,得到yc x eP x dx,dydc xP x dxec x PP x dxx e.代入原方程 ,得到dxdxdc xP x dxec x PP x dxx eP x c x eP x dxQ x ,dx即dc xQ x eP x dx,两边同时积分 ,得到dxc xQ x eP x dxdxc1,这里 c1 是任意常数 ,求得到P x dxyeQ x eP x dxdxc1 .就是方程的通解 .这种将常数变为待定函数的方法通常被称之为常数变易法.例 7求方程 dydxy2 xy2的通解解 原方程可改写为dx2xy2,dyy即dx2 xy ,3.6 dyy第一,求出齐
15、次线性微分方程dx2 x ,dyy的通解为xcy 2.其次,利用常数变易法求非齐次线性微分方程3.6 的通解把c 看成 c y ,将方程 xcy2 两边同时微分得dxdc y y 2dydy2c y y .代入 3.6 ,得到dc y1 ,dyy两边同时积分 ,即可求得c yln yc .从而,原方程的通解为xy 2 cln y ,这里 c是任意常数 .常数变易法类型二形如dyPx y dxQ x y n ,2 .5的方程,称为伯努利方程 ,这里 P x , Q x 为 x 的连续函数 , n0 ,1 是常数.利用变量变换可将伯努利微分方程化为线性微分方程.事实上 ,对于 y0 ,用 y n
16、乘2.5 的两边 ,得到引入变量变换y n dydxy1 nP xQ x ,zy1 n ,从而代入方程2.5 ,得到dz1 dxn yn dy .dxdz1nPx z1dxnQx ,这是线性微分方程 ,可根据前面介绍的方法来求出它的通解,然后代换原先的变量 ,便得到方程的通解 .此外,当n0 时,方程仍有解 y0 .例 8求方程的 dydx6 yxy 2 通解x解 这是 n2 时的伯努利微分方程 .令zy 1,算得dz6 zx ,dx这是线性微分方程 ,求得它的通解为zxcx 2x 68 .代入原先的变量 y ,得到21cx,yx 68或者68xxc,y8这就是原方程的通解 .此外,方程仍有解
17、 y02.3 利用恰当微分方程求解法对于一阶微分方程假设有MNyxMx, y dxNx, y dy0 ,就该方程必为恰当微分方程 .下面争论如何求得该恰当微分方程的解 .把 uMx, y x看作只关于自变量 y 的函数,对它积分可得uMx, y dxy由此式可得uM x,yyydxd yN ,dy由此可得d yN dyM x, ydx ,y又由于 NMxy x, ydx N xM x,xyydxNxyxM x,y dxNM0 ,xy故等式右边只含有 y ,积分可得 y NM x,yydxdy ,进而可得uM x,ydx NM x, ydxdy .y就恰当微分方程的通解为M x, ydx NM
18、x, ydxdyc ,y这里 c是任意常数 .例 10求解方程cos x1 dx 1yyx dy0 . y2解 由于M y1 , Ny 2x1 ,故方程是恰当微分方程 .把方程重新分项组合 , y 2得到cosx1 dx 1x dy0 ,2yyy即d sin xd ln | y |ydxy 2xdy0 ,或者写成d sin xln | y |x 0 .y于是,方程的通解为sin xxln | y |c ,y这里 c 是任意常数利用积分因子求解法函数x, y 为Mx, y dxNx, y dy0 积分因子的充要条件是M N ,yx即NMMN .xyyx假设原方程存在只与x 有关的积分因子x ,就
19、x0 ,就 为原方程的积分因子的充要条件是MN ,即xMN yx仅是关于 x 的函数 .此时可xyx求得原方程的一个积分因子为Nx dxe.同样有只与 y 有关的积分因子的充要条件是yy dyeMN yxM是 仅为 y 的 函 数 , 此时 可求 得 方 程 的一 个 积 分 因 子为例 9求解方程ydx yx dy0 .解 这里 My, NMNyx,1,yX1, 方程不是恰当的 .由于 M2 只与 y 有关,故方程有只与 y 的积分因子yy1以u2乘方程两边 ,得到2ueye 2 ln| y|1 , y 2y1 dx y1 dy yxdy0 ,y 2或者写成ydxxdydy0,y 2y因而通
20、解为xln y| y |c .3终止语文章具体介绍了一阶常微分方程的初等解法，即把一阶常微分方程的解通过初等函数或它们的积分表达出来；但一般的微分方程无法求解，只能是对某些类型通过 相应的方法求解；文章主要介绍一阶常微分方程的一些可解类型和相应的求解方法，这些方法是在微分方程进展的早起由牛顿等发觉的；文章也介绍了求解一阶微分方程的方法和应用一阶微分方程来求解的例子；关于一阶常微分方程的定义和初等解法，前人已经做出了大量的争论和贡献， 得出了大量的成果，这里笔者只是进一步总结和归纳了前人的争论成果；The Fundamental methods of the first-order ordina
21、ry differential equationTian FengSchool of mathematics and Statistics Anyang Normal University, Anyang, 455002Abstract :Inthisthesis, wesummarizethe fundamentalmethodsofthefirst-orderordinary differential equation. At the same time, we analysis the various types of fundamental methods such as the se
22、paration of variables, integratingfactor and the exact differentialequation. Combinedwith examples, we show how the ordinary differential equations solve problems by transforming them into the problems of integration.Key Words: first-order ordinary differentialequation; separation of variables; exac
23、t differential equation; integrating factor参考文献1 王高雄, 周之铭, 朱思铭, 王寿松. 常微分方程第三版 M. 北京: 高等训练出版社; 2006 .2 杨继明 , 常系数线性微分方程组的解法J;宝鸡文理学院学报自然科学版;2001,34-47.3 伍卓群, 李勇编, 常微分方程第三版 M, 北京：高等训练出版社 ,2004.4 杨继明 , 蔡炯辉 ; 常系数非齐次线性微分方程组初值问题的求解公式J.宝鸡文理学院学报自然科学版 ;2001,45-62.5 胡建伟, 汤怀民, 常微分方程数值解法 M, 北京：科学出版社 .1999.6 周义仓. 常微分方程及其应用 .M .北京: 高等训练出版社 ,1985.7 尤秉礼. 常微分方程补充教程 .M .北京: 人民训练出版社 ,1981.