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1、-常微分方程中的变量代换法毕业论文-第 19 页毕 业 论 文常微分方程中的变量代换法毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知，除文中特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得 及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体，均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。作 者 签 名： 日 期： 指导教师签名： 日期： 使用授权说明本人完全了解 大学关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定，即：按照学校
2、要求提交毕业设计（论文）的印刷本和电子版本；学校有权保存毕业设计（论文）的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。作者签名： 日 期： 学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。作者签名： 日期： 年 月 日学位论文版权使用授权书本学位论
3、文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权 大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。涉密论文按学校规定处理。作者签名：日期： 年 月 日导师签名： 日期： 年 月 日注 意 事 项1.设计（论文）的内容包括：1）封面（按教务处制定的标准封面格式制作）2）原创性声明3）中文摘要（300字左右）、关键词4）外文摘要、关键词 5）目次页（附件不统一编入）6）论文主体部分：引言（或绪论）、正文、结论7）参考文献8）致谢9）附录（对论
4、文支持必要时）2.论文字数要求：理工类设计（论文）正文字数不少于1万字（不包括图纸、程序清单等），文科类论文正文字数不少于1.2万字。3.附件包括：任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）。4.文字、图表要求：1）文字通顺，语言流畅，书写字迹工整，打印字体及大小符合要求，无错别字，不准请他人代写2）工程设计类题目的图纸，要求部分用尺规绘制，部分用计算机绘制，所有图纸应符合国家技术标准规范。图表整洁，布局合理，文字注释必须使用工程字书写，不准用徒手画3）毕业论文须用A4单面打印，论文50页以上的双面打印4）图表应绘制于无格子的页面上5）软件工程类课题应有程序清单，并提供电子文档5.装订顺序
5、1）设计（论文）2）附件：按照任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）次序装订指导教师评阅书指导教师评价：一、撰写（设计）过程1、学生在论文（设计）过程中的治学态度、工作精神 优 良 中 及格 不及格2、学生掌握专业知识、技能的扎实程度 优 良 中 及格 不及格3、学生综合运用所学知识和专业技能分析和解决问题的能力 优 良 中 及格 不及格4、研究方法的科学性；技术线路的可行性；设计方案的合理性 优 良 中 及格 不及格5、完成毕业论文（设计）期间的出勤情况 优 良 中 及格 不及格二、论文（设计）质量1、论文（设计）的整体结构是否符合撰写规范？ 优 良 中 及格 不及格2、是否完成指定
6、的论文（设计）任务（包括装订及附件）？ 优 良 中 及格 不及格三、论文（设计）水平1、论文（设计）的理论意义或对解决实际问题的指导意义 优 良 中 及格 不及格2、论文的观念是否有新意？设计是否有创意？ 优 良 中 及格 不及格3、论文（设计说明书）所体现的整体水平 优 良 中 及格 不及格建议成绩： 优 良 中 及格 不及格（在所选等级前的内画“”）指导教师： （签名） 单位： （盖章）年 月 日评阅教师评阅书评阅教师评价：一、论文（设计）质量1、论文（设计）的整体结构是否符合撰写规范？ 优 良 中 及格 不及格2、是否完成指定的论文（设计）任务（包括装订及附件）？ 优 良 中 及格 不及
7、格二、论文（设计）水平1、论文（设计）的理论意义或对解决实际问题的指导意义 优 良 中 及格 不及格2、论文的观念是否有新意？设计是否有创意？ 优 良 中 及格 不及格3、论文（设计说明书）所体现的整体水平 优 良 中 及格 不及格建议成绩： 优 良 中 及格 不及格（在所选等级前的内画“”）评阅教师： （签名） 单位： （盖章）年 月 日教研室（或答辩小组）及教学系意见教研室（或答辩小组）评价：一、答辩过程1、毕业论文（设计）的基本要点和见解的叙述情况 优 良 中 及格 不及格2、对答辩问题的反应、理解、表达情况 优 良 中 及格 不及格3、学生答辩过程中的精神状态 优 良 中 及格 不及格
8、二、论文（设计）质量1、论文（设计）的整体结构是否符合撰写规范？ 优 良 中 及格 不及格2、是否完成指定的论文（设计）任务（包括装订及附件）？ 优 良 中 及格 不及格三、论文（设计）水平1、论文（设计）的理论意义或对解决实际问题的指导意义 优 良 中 及格 不及格2、论文的观念是否有新意？设计是否有创意？ 优 良 中 及格 不及格3、论文（设计说明书）所体现的整体水平 优 良 中 及格 不及格评定成绩： 优 良 中 及格 不及格教研室主任（或答辩小组组长）： （签名）年 月 日教学系意见：系主任： （签名）年 月 日常微分方程中的变量代换法摘 要变量代换法是求解常微分方程的一种常用的方法，
9、它能使问题化难为易、化繁为简，通过借助恰当的变量代换将微分方程简化为可解类型，求出其通解或者特解。变量代换法在求解常微分方程中有着十分广泛的应用，许多类型的方程求解依赖变量代换法方法来完成。变量变换法也是基于化归思想的一种方法。本文通过分析变量代换法在常微分方程中的应用出发，分类归纳总结了变量代换在几类常微分方程中的求解以及几类特殊的变量代换法，来体现变量代换法在微分方程求解的优越性。关键词 常微分方程；变量代换法；解；应用 VARIABLE SUBSTITUTION METHOD IN CONSTANT DIFFERENTIAL EQUATIONABSTRACTVariable substi
10、tution method for solving ordinary differential equations of a commonly used method, it can make the problem difficult to easy, to simplify by means of proper variable substitution partial differential equations are reduced to solution, obtained the general solution and particular solution.Variable
11、substitution method to solve ordinary differential equations has a very wide range of applications, many types of equations in dependent variable substitution method to complete.Variable transformation methodis also based ona method oftransforming thought.In this paper, by analyzing the method of va
12、riable substitution in ordinary differential equation in the application of, and classified in this paper summarizes the variable substitution in several kinds of ordinary differential equation solving and several kinds of special method of variable substitution, to reflect the variable substitution
13、 method superiority in solving differential equations.KEY WORDS ordinary differentialequation;variable substitution method; solution; application 目 录中文摘要I英文摘要II目 录II引 言21变量代换法的相关概念21.1 变量代换法的定义21.2 变量代换法体现的思想22变量代换在解常微分方程的几种类型的应用22.1一阶微分方程22.1.1 齐次方程22.1.2 分式线性方程22.1.3 一阶线性微分方程22.1.4伯努利（Bernoulli）方程
14、22.1.5黎卡提（Riccati）方程22.1.6一阶隐式方程22.1.7一些特殊形式的方程22.2高阶微分方程22.2.1高阶微分方程的降价22.2.2变系数线性微分方程23.微分方程中几类特殊的变量代换23.1常数变易法23.2 Laplace变换23.3 特征函数法24. 变量代换法在解题中的优越性25. 总结2参考文献2致 谢2引 言微分方程是一个或者几个联系着自变量，未知函数和它的某些导数之间的相互关系的等式。若未知函数的自变量只有一个，那么我们就称它为常微分方程。常微分方程在数学专业中具有一定的地位，同时它在经济、建筑、物理、工业等领域中都有着十分广泛的应用。微分方程的一个主要问
15、题是“求解”，但是一般微分方程无法求解，只能通过对某些类型用相应的方法求解。在微分方程发展过程的早期，人们致力于寻求一阶微分方程的通解。一些大科学家，比如伯努利家族、高斯、欧拉、拉普拉斯和拉格朗日等，都参与了早期的微分方程求解工作，发明了许多解法，这些方法现被称为初等积分法。初等积分法，就是将微分方程的解通过初等函数或者它们的积分表示出来的方法。利用初等积分法可将常微分方程中的求解问题转化为一般的积分问题, 它是一阶微分方程所有解法中的最基本解法。初等积分法包括分离变量法；变量代换法；常数变易法；积分因子法；引入参数法；凑全微分法。变量代换法往往跟分离变量法结合使用，在一阶微分方程中变量分离方
16、程是一个最基本的类型, 可以先进行分离变量再通过初等积分法来求它的通解。用初等积分法求解常微分方程的一般是进行一定的变量变换,把所给的方程转化为变量分离方程。它一种重要的数学思想方法，恰当运用变量代换法可以起到化繁为简、化难为易的效果。许多类型的一阶微分方程都可以通过适当的变量代换化为变量分离方程。如何寻找恰当的变量变换把给定的方程转化为变量分离方程,没有一般的方法，但对于一些特殊类型的方程，这种变量代换却有着固定的形式。此外，变量代换法在高阶微分方程求解中也有着广泛的应用。在许多教材中有关常微分方程的解法都有一定的归纳、概括和总结。很多常微分方程都很难解，运用恰当的变量代换可将方程简化并进一
17、步求出其解，本文将对变量代换这种重要的方法进行系统的讨论和研究，阐明它在求解常微分方程中的重要性。1变量代换法的相关概念1.1 变量代换法的定义变量代换法，也叫变量变换法或者换元法，是通过用新的变量去替换原方程的变量，将原方程化成更加简单更容易求解的形式，从而达到求解目的的一种方法。在一阶微分方程中变量分离方程也是一种最基本的方程类型，通过变量代换变形等方法可将不同类型的一阶微分方程最终化为变量分离方程进而求解。步骤包括：（1）分离变量；（2）对方程两边同时积分并整理成通解；（3）借助初始条件来求方程的特解。1.2 变量代换法体现的思想变量代换法其实是基于化归思想的一种方法。所谓化归思想,是指
18、在研究和解决数学问题时,通常是将复杂的问题通过一系列的变换转化为相对简单的问题，将难解的问题通过一系列的变换转化为相对容易求解的问题，将未解决的问题通过一系列的变换转化为已经解决的问题。从常微分方程发展的历程可以看出,化归是常微分方程的重要数学思想方法,常数变易法、变量代换法、逐步逼近法、算子法、级数解法等,它们都是用联系变化的观点把问题化难为易，化繁为简的化归方法。非齐次方程问题转化为齐次方程问题,一阶线性方程组转化为一阶线性方程问题,高阶方程问题转化为低阶方程问题。2变量代换在解常微分方程的几种类型的应用2.1一阶微分方程2.1.1 齐次方程 如果函数是关于变量的零次齐次函数，即对于满足,
19、则我们称一阶常微分方程为齐次方程。当时，齐次方程也可以表示为的形式。为求解齐次方程，我们引进新的未知函数，利用等式可以把齐次方程化为等价的变量分离方程由于变量分离方程总是能用初等积分法求解的，因此齐次方程也是能够求解的。 例1 求解方程 解 该方程是齐次方程。令，则得积分得代回原变量得通解其中C是任意常数.有些方程经过简单的变换后可以变成齐次方程，基本思想在下面的例题中介绍。 例2 求解方程 解 令,则 是齐次方程.令，那么所以如果则 积分得 即 将代入，得通解 其中C为任意常数.由所得解包含在通解中. 例3 解方程 解 解方程组：解得令： 得 则原方程变为： 积分可得： 代回原变量得原方程的
20、通解： ，其中C为任意常数.2.1.2 分式线性方程形如叫做分式线性方程.如果则方程为它是齐次方程，只要令即可把它化为变量分离方程来求解.如果即c和l不全为0，此时可分为如下两种情形来讨论：先求线性代数方程组的解再作自变量和未知函数的(平移)变换：那么原方程就化为和的方程它已是齐次方程.只要令即可把化成变量分离方程再来求解.此时可设从而原方程可以写成再令为新的未知函数，x仍为自变量，则上述方程可以化为这也是一个变量分离的方程.2.1.3 一阶线性微分方程形如 （2.1）的方程叫做一阶线性微分方程，其中是区间I上的连续函数. 该方程对应的齐次方程的通解为,作变量代换,将此作为原方程的解,代入原方
21、程可得从中解出，进而完成原方程的求解过程. 例4 求解微分方程 解 从现有形式我们看不出它是y的线性方程，我们可将它变形 （2.2） 即视y为自变量，x为未知量，则（2.2）是线性方程（2.2）的相应齐次线性方程的通解为其中C是任意常数，假设(2.2)有如下形式的解其中是待定函数，将其代入得积分得即可求得通解为： 其中C为任意常数. 原方程还有特解 例5 求解微分方程 解 从现有形式我们看不出它是y的线性方程，我们可将它变形若令则方程变成 （2.3）（2.3）的两边同乘,得积分得于是，（2.3）的通解为所以，原方程的通解为其中C为任意常数.2.1.4伯努利（Bernoulli）方程 形如 (2
22、.4) 的方程称为伯努利方程(Jakob Bernoulli，1654-1705，瑞士数学家)，其中为的连续函数，为常数且和.通过变量代换法可将伯努利方程转化成线性方程:方程两边同乘以得引入变量变换：就有这是关于未知函数的一阶线性方程.因而，方程(2.4)的通解可以写成其中C是任意常数，当时，也是伯努利方程的解， 例6 求解微分方程 解 该方程是时的伯努利方程.如果则令则故它是一阶线性方程，求得其通解为其中C是任意常数.将其代会原变量，可得原方程的通解：其中C1(=7C)是任意常数.原方程还有特解 例7 求解微分方程 解 初看上去，似乎无法着手，但若对调t、x的地位，就化为它是以为自变量，为未
23、知函数的线性方程，从而可求得和的关系式。该方程又可写为即 所以 即 是原方程的通积分.2.1.5黎卡提（Riccati）方程 形如的方程叫做黎卡提（Riccati）方程（J.Riccati,1676-1754），其中为区间I上的连续函数，且不恒等于0，其右端函数是一个关于二次多项式.一般来说，它不能用初等积分法来解出. 若假设它的一个特解是作变换则方程可化为以为未知函数的伯努利方程这是一个的伯努利方程，故可用初等积分法来求解。 定理：设Riccati方程其中都是常数，且若则能用某一初等变换将上述方程化成变量分离方程的充要条件是 例8 求解微分方程 解 将此方程变形为：这是一个Riccati方程
24、.根据方程的特点可观察出此方程有一个特解令，则方程可变为该方程的通解是从而，原方程的通解是其中C是任意常数.2.1.6一阶隐式方程 前几节给出的一阶方程的几种解法，都是基于可以明显解出而且可表示成的形式，但对于一般形式中无法解出或者解出的表达式相当复杂的情况下，则难以用上述那些方法求解，而宜采用引进参数（变量代换）使之变为导数已解出的类型再求解，这里介绍两种类型，可以解出或的方程，即和 对于方程 (2.5) 其中有连续偏导数. 引进参数,则式(2.5)改为，两边对求导数，并将代入，得到这是一个关于的一阶微分方程，且它的导数已解出.于是可利用上面的方法求解.假设其通解为，则原方程的通解为其中，为
25、参数,为任意常数. 例9 求解方程 解 从方程中可以看出解出是有一定困难的，但易解出令, 上方程写为两边对求导数，整理得即由此可得和其中为任意常数，将上述两式分别与 联立，得原方程的通解和特解其中,为参数，为任意常数. 类似地，对于方程同样令于是两边对求导数，并以代入，得到这是关于p的一阶微分方程，并且它的导数已经解出，于是可以用前面的方法求解，设其通解为即得原方程的参致形式通解为其中,为参数，为任意常数. 例10 求方程的解. 解 从方程中可看到解出是相当困难的，但易解出,引入参数,则所求方程可改写成,两边对求导，并代入,得到即 由此可得于是原方程的参数形式的通解为其中,为参数，为任意常数.
26、(1) 不显含或的方程，即和.对于方程，令，则从几何观点看表示平面上的一条曲线，若能够把此曲线用适当参数表示成其中,为参数.基于基本公式，则有即 于是原方程的参数形式的通解为其中,为参数,为任意常数. 注意：此方法的关键在于把曲线写成适当的参数形式，易于积分. 例11 求方程的解. 解 此方程即为上面例题10中的方程，但它为（2）类型方程，它不显含未知函数y ,令，则方程写成，于是方程可以写成参数形式则，计算，因此原方程的参数形式的通解为其中, 为参数,为任意常数. 类似地，对于不显含自变量的方程，采用同样的处理方法，即对方程令则方程改写成此方程可以用适当的参数形式表示：基于基本公式则原方程的
27、通解参数形式为其中, 为参数,为任意常数. 注意：方程中只是不显含自变量，而不是不含，因此还要关注方程是否有解.若存在，满足，则不难验证也是方程的解. 例12 求方程的解. 解 方程中不显含自变量，令代入方程得这是原方程的参数形式，由基本公式得对其积分，得到故原方程通解的为其中,为参数，为任意常数. 另外，方程即有解可知其也为原方程的解.2.1.7一些特殊形式的方程 一些特殊形式的方程也可以用变量代换法来求解，比如可令;可令;可令;可令;可令;2.2高阶微分方程2.2.1高阶微分方程的降价高阶微分方程一般没有普遍的解法，通常通过降阶法来处理问题，把高阶微分方程通过变量代换转化为较低阶的方程来求
28、解，下面讨论三类可降阶的方程的类型：类型1： 特点:方程不显含未知数及令则方程可降为阶的方程若可求得该方程的通解为则由逐次积分次，可得原方程的通解. 例13 求解方程 解 原方程是不显含未知数的二阶方程，所以令有则方程化为即这是伯努利方程，解之得 即积分得方程的通解为 其中为任意常数.类型2 : 特点:方程不显含自变量.令则方程经过变换后，可得 比原方程降低了一阶,若可解得它的通解为则由分离变量，可得原方程的通解. 例14 求解方程 解 令，可得，则原方程化为：得或，积分得，即，所以这就是原方程的通解.类型3: (2.6) 特点：变系数线性齐次方程.如果已知方程(2.6)的个线性无关的特解，则
29、(2.6)可降低阶，即可得到阶的齐次线性方程.特别地，如果已知(2.6)的个线性无关的解，则(2.6)的基本解组可以求得.方程(2.6)的求解问题可转化为寻求它的个线性无关的特解，这一过程虽然没有一般可遵循的方法(这跟常系数线性方程有很大的差异)，但如果知道方程的一个非零特解，则可通过线性变换，把方程降低一阶；一般情况下，若已知方程个线性无关的特解，则可通过一系列同类型的交换将方程降低阶，并且新得到的阶方程也是线性齐次的.特别地，对二阶线性齐次方程来说，如果已知它的一个非零解，就可求出方程的通解. 事实上，设 是二阶齐次线性微分方程 (2.7)的解，通过变量代换后，方程就化成这是一阶线性微分方
30、程.解得因此 (2.8)这里是任意常数.取，我们得到了方程(2.7)的一个特解它与显而易见是线性无关的，因为它们之比并不是等于常数.因此，表达式(2.8)是(2.7)的通解，它包括了方程(2.7)的所有解， 例15 已知是方程的解，试求方程的通解. 解 这里,由(2.8)得到其中是任意常数，这就是方程的通解，2.2.2变系数线性微分方程 欧拉方程是一类可化为常系数线性微分方程的变系数线性微分方程，下面介绍其求解的方法。 形如 (2.9)称为欧拉方程. 其中为常数. 令则用归纳法可以证明其中都是常数. 将其代入方程(2.9)，就得常系数齐次线性方程 (2.10)其中是常数，通过求解(2.10)，
31、再代回原变量，就能得到方程 (2.9)的通解.对 令结果一样. 由上面知，(2.10)有形如的解，从而(2.9)有形如的解.因此，可直接求欧拉方程的形如的解，将代入(2.9)并约去因子，便得到关于的代数方程可证这正是(2.10)的特征方程.事实上，用归纳法可以证明：对有关系式 例16求解方程 解 令得 (2.11) 特征方程是 特征根是从而，方程(2.10)的通解是如果也考虑变换则原方程的通解是其中是任意常数. 例17 求解方程 解 该方程是欧拉方程.令 则代入方程得它是常系数线性方程，其特征方程为特征根是于是， 如果也考虑变量代换则原方程的通解是其中是任意常数.变系数线性微分方程的有限解 考
32、虑方程 (2.12)作变量代换 (2.13)其中函数待定.因为代入方程(2.12)得 (2.14)若要消去含一阶导数的项，即要只需取于是，作变换 (2.15)方程(2.12)就变成 (2.16)其中称为不变式.当是以下三种情形时:(1) (为常数),(2) (3) 常数，可求得方程(2.14)的有限形式通解，从而也就求出了原方程(2.12)的有限形式通解，这是因为 在情形(1)方程(2.16)是欧拉方程，可求出(2.16)的有限形式通解； 在情形(2)是方程(2.16)的一个特解，进一步可得方程(2.16)的通解； 在情形(3)常数,方程(2.16)是常系数线性微分方程，可求出(2.16)的有
33、限形式通解. 例18 讨论Bessel方程 (2.17)其中常数 解 将方程变形为可见， 令原方程就变成特别地，考虑时的Bessel方程，即 (2.18)此时不变式为常数，通过变换可化为 (2.19)这是常系数的线性微分方程，其通解为所以，方程(2.18)的通解为其中为任意常数，它的形式与用幂级数求出的相同.3.微分方程中几类特殊的变量代换3.1常数变易法 形如 (3.1)的方程称为一阶线性微分方程的标准形式，其中为区间上关于的连续函数.时，方程(3.1)变为 (3.2)称方程(3.2)为一阶非齐次线性方程.对于一阶非齐次线性方程(3.2)，其通解为 (3.3)其中，为任意常数.很明显方程(3
34、.2)是方程(3.1)的特殊形式，两者间既有联系又有区别，所以可设想方程(3.1)的通解是式(3.3)的某种推广，而使用这种推广的一个经验且简单有效的方法就是把式(3.3)中的常数变易为的待定函数，使它满足方程(3.1)，从而求出，也就是求方程(3.1)如下形式的解: (3.4)微分之，代入方程(3.1)得到 (3.5)即两边对积分，得到为此，方程(3.1)的通解为 (3.6)其中,c是任意常数. 上述这种将常数变易为待定函数的方法一般称作常数变易法，进一步，方程(3.1)满足初始条件的解为 例19 求方程的通解，其中为常数. 解 要求的方程是一阶非齐线性方程的标准形式. 首先，求相应的齐次方
35、程的通解,易知其通解为其次,通过常数变易法来求原方程的通解.故把上式中看成待定函数,即设为原方程的解，微分之并代人原方程，整理得积分之，求得因此原方程的通解为其中,是任意常数. 3.2 Laplace变换 假设函数在区间上分段连续，且有正数和使得 (3.6)则含复参数的无穷积分 (3.7)当 时存在.称函数为的Laplace变换，并记做称为原函数，而称为像函数.称为的Laplace 反演变换，或简称Laplace逆变换，并记为由定义易见，Laplace变换及其逆变换都是线性算子，即其中是任意常数，由定义并经过计算，可以算出一些特殊的函数的Laplace变换及性质. 例20 求解初值问题 解 令
36、方程两边同时取Laplace变换，得反查Laplace变换表，得因而，所求的解为常系数线性微分方程组的初值问题也可以用Laplace变换法来求解.3.3 特征函数法 下面讨论求解阶常系数线性微分方程 (3.8)和相应的齐次线性方程 (3.9)其中是实常数,是区间上的实值连续函数，而是线性微分算子. 问题的关键是求出齐次线性微分方程(3.9)的一个基本解组. 可以借助微分方程组的结论.作变换 则方程(3.9)等价于常系数齐次线性微分方程组 (3.10)其中 (3.11)此矩阵的的特征行列式是 (3.12)利用行列式的性质，可计算出的特征方程为 (3.13)这恰是在微分方程(3.9)中把别换成所得
37、出的代数方程.因而,方程(3.13)也叫做微分方程(3.9)或(3.8)的特征方程，它的根称作特征根. 例21 求解方程 解 特征方程是它有两个特征根所以，通解是其中是任意常数.4. 变量代换法在解题中的优越性通过对一些类型的常微分方程的解法的分析，变量代换法在求解微分方程中具有重要的作用和地位，通过适当的变量代换还可以将方程简化最终转化为可以求积分的类型，或是把多元未知数一元化，或是把高阶方程低阶化，使微分方程的形式变的相对来说更加简单，求解更加容易。同时，在一些类型的常微分方程的一题多解中采用变量代换法往往比较容易。在常微分方程中，变量代换是常用的方法，至于什么方程作什么变换可达到求解的目的必须根据方程的特点，仔细分析，灵活运用，将方程化成更加容易求解的类型。5. 总结 本文主要从变量代换法的概念，变量代换法在常微分方程的几种类型中的应用包括低阶微分方程和高阶微分方程，微分方程中的几类