《2022年知识导学(二用数学归纳法证明不等式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年知识导学(二用数学归纳法证明不等式.docx（9页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、二用数学归纳法证明不等式学问梳理1. 本节例题中的有关结论（1） n2-1,x 0,n为大于 1 的自然数,那么有 ； 当 是实数,并且满意1或者 0时,有；当 是实数并且 01时,有.（ 4 ）假如 nn 为正整数 个正数 a1,a2, ,an 的乘积 a1a2 an=1 ,那么它们的和a1+a2+ +an .2. 用数学归纳法证明不等式在数学归纳法证明不等式时,我们常会用到证明不等式的其他比较重要的一个方法是 .学问导学本节内容主要是认知如何用数学归纳法证明正整数n 的不等式（其中 n 取无限多个值） .其中例 1 供应出了一种全新的数学思想方法：观看、归纳、猜想、证明,这是在数学归纳法中
2、常常应用到的综合性数学方法,观看是解决问题的前提条件, 需要进行合理的试验和归纳, 提出合理的猜想,从而达到解决问题的目的.猜想归纳能培育探究问题的才能,因此,应重 视对本节内容的学习 .前面已学习过证明不等式的一系列方法,如比较法、综合法、分析法、放缩法、反证法等.而本节又增了数学归纳法证不等式,而且主要解决的是 n 是无限的问题,因而难度更大一些,但认真讨论数学归纳法的关键,即由 n=k 到 n=k+1 的过渡,也是学习好用数学归纳法证不等式的重中之重的问题了 .疑难突破1. 观看、归纳、猜想、证明的方法这种方法解决的问题主要是归纳型问题或探干脆问题,结论如何？命题的成立不成立都 预先需要
3、归纳与探究, 而归纳与探究多数情形下是从特例、特别情形下入手, 得到一个结论, 但这个结论不肯定正确, 由于这是靠不完全归纳法得出的,因此,需要给出肯定的规律证明, 所以,通过观看、分析、归纳、猜想,探究一般规律,其关键在于正确的归纳猜想,假如归纳不出正确的结论,那么数学归纳法的证明也就无法进行了.在观看与归纳时,n 的取值不能太少,否就将得出错误的结论.例 1 中如只观看前 3 项： a1=1,b 1=2a1b 3,就此归纳出 n22nn N+,n 3就 是错误的, 前 n 项的关系可能只是特别情形,不具有一般性, 因而,要从多个特别事例上探究一般结论 .2. 从 “ n=k到”“ n=k+
4、1的”方法与技巧在用数学归纳法证明不等式问题中,从“ n=k到”“ n=k+1的”过渡中, 利用归纳假设是比较困难的一步, 它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样,只需拼凑出所需要的结构来,而证明不等式的其次步中,从“n=k”到“n=k+1”,只用拼凑的方法,有时也行不通,由于对不等式来说, 它仍涉及 “放缩 ”的问题, 它可能需通过 “放大 ”或“缩小 ”的过程, 才能利用上归纳假设, 因此,我们可以利用 “比较法 ”“综合法 ”“分析法 ”等来分析从 “n=k”到“n=k+1”的变化,从中找到“放缩尺度 ”,精确地拼凑出所需要的结构 .典题精讲【例 1】 经典回放 已知函数 x=x1 +1,
5、fx=a+b x -ax-bx,其中 a,bN +,a 1,b 1,a且 b,ab=4,(1) 求函数 x的反函数 gx;(2) 对任意 n N+,试指出 fn 与 g2n的大小关系,并证明你的结论.思路分析： 欲比较 fn 与 g2n的大小, 需求出 fn 与 g2n的关于 n 的表达式, 以利于特别探路从 n=1, 2, 3, 中查找、归纳一般性结论,再用数学归纳法证明.解： 1由 y=x1 +1, 得x1 =y- 1y 1,有 x+1=y-1 2,即 x=y 2-2y,故 gx=x 2-2xx 1.2 fn=a+b n-an-bn, g2n =4n-2n+1,当 n=1 时 f1=0,g
6、2=0 ,有 f1=g2. 当 n=2 时, f2=a+b 2-a2-b2=2ab=8, g22=4 2-23=8,f2=g2 2.当 n=3 时, f3=a+b 3-a3-b3=3a2b+3ab2=3aba+b3ab 2ab =48.g23=4 3-24=48, 有 f3g2 3.当 n=4 时,f4=a+b 4 -a4-b4=4a3b+4ab3+6a2b2=4aba2+b2+6a 2b24ab 2ab+6a2b2=14a2b2=224.g24=4 4-25=224, 有 f4g2 4,由此估计当 1 n时2, fn=g2 n,当 n3时, fng2 n.下面用数学归纳法证明.1 当 n=3
7、 时,由上述估计成立；（2）假设 n=k 时,估计成立 .即 fkg2 k k 3,即（ a+b） k -ak-bk4 k-2k+1,那么 fk+1=a+b k+1-ak+1 -bk+1=a+ba+bk -a ak-b bk=a+b a+bk-ak-bk +ak b+abk.又依题设 a+b2ab=4.akb+abk 2ak babkk 1=2ab 2=2 k+2,有 fk+14 a+b k-ak-bk +2k+244 k -2k+1+2k+2=4k+1 -2k+2=g2 k+1 ,即 n=k+1 时,估计也成立 .由（ 1）（ 2）知 n3时, fng2 n都成立 .绿色通道： 为保证猜想的
8、精确性,当设n=1,2 时,得出fn=g2 n,不要急于去证明,应再试验一下 n=3,4 时,以免显现错误.【变式训练】 已知等差数列 a n 公差 d 大于 0,且 a2,a5 是方程 x2-12x+27=0 的两根,数列 b n1的前 n 项和为 Tn,且 Tn=1-bn.2(1) 求数列 a n,b n 的通项公式；（2）设数列 a n 的前 n 项和为 Sn,试比较1 与 Sn+1 的大小,并说明理由 .bn思路分析： “试分析 ”在告知我们,1 与 Sn+1 的大小可能随n 的变化而变化,因此对n 的取bn值验证要多取几个 .解： 1 由已知得,a2 a1a5a512,27.又 a
9、n 的公差大于 0,a5a2.a2=3,a5 =9.d= a 5a 2593=2,a1 =1.3Tn=1- 1 b1, b1=2当 n2时, T n-1=1-12.31bn-1,211bn=T n-T n-1=1-bn-1-2bn-1,化简,得 bn=2bn-1,3b n 是首项为2,公比为31 的等比数列,3bn=2 1 n-1=3323n . an=2n-1,bn=23n .1(2) Sn= 2n 2113nn=n 2,Sn+1=n+1 2,=,bn2以下比较1与 Sn+1 的大小 :bn当 n=1 时, 1b131,S2=4, 2 b1S2,当 n=2 时, 1b291,S3=9,2b2
10、S3,当 n=3 时, 1b327,S4=16,21S5 .猜想： n4时,1Sn+1.bn下面用数学归纳法证明：（1） 当 n=4 时,已证 .12 假设当 n=kk N+,k 时4 ,bkSk+1 ,k即 3k+1 2,2那么, n=k+1 时,1bk 13k 123k=323k+1 2=3k 2+6k+3=k2+4k+4+2k2+2k-1 k+1+1 2=S（ k+1）+1 ,n=k+1 时,1Sn+1 也成立 .bn由（ 1） 2 可知 n N +,n 4时,1Sn+1 都成立 .bn综上所述,当n=1,2,3 时,1Sn+1 .bn【例 2】 2006 江西高考, 22 已知数列 a
11、 n 满意： a1 =3,且 an=3na n 1n 2,n N +.22 an 1n1(1) 求数列 a n 的通项公式；（2） 求证：对一切正整数n,不等式 a1a2an2n！恒成立 .思路分析： 由题设条件知,可用构造新数列的方法求得an；第（ 2）问的证明,可以等价变形,视为证明新的不等式.解：（ 1）将条件变为： 1- n1 1n1 ,an3an 1因此,数列 1-n1 为一个等比数列 ,其首项为 1-ana11=,公比为31n,从而 1-3an1 n,3n据此得 an= n3n3nn 1.1(2) 证明：据得 ,n.a1a2 an=11 11 33211 3n为证 a1a2 an
12、1 .3n2明显,左端每个因式皆为正数,先证明,对每个n N +,111-1-2331 1-n3 1-113 + 321+ + 3n.用数学归纳法证明式； n=1 时,明显式成立, 假设 n=k 时,式成立 .即（ 1- 1 ）（1-31 ）（ 1- 1 ）323k111-+2331+ +k ,3就当 n=k+1 时,11-1-3112 1-3111-3k113k 11 1- 3 + 32+ + 3k 1-k 1 311111111=1-+23311+k31- 3k 1 + 3k11 3 + 32+k 31-3 + 32+ + 3k+ 3k 1 .即当 n=k+1 时,式也成立 .故对一切 n
13、 N +,式都成立 .利用 ,得（ 1-1 ） 1-3132 1-13n 111-+2331+ +n 3=1-1 13 1 n 3=1-1 1-1 n = 1+ 1 1 n 1 .112332232绿色通道： 此题供应了用数学归纳法证明相关问题的一种证明思路,即要证明的不等式不肯定非要用数学归纳法去直接证明,我们通过分析法、 综合法等方法的分析, 可以找到一些证明的关键, “要证明 ”,“只需证明 ”,转化为证明其他某一个条件,进而说明要证明的不等式是成立的 .【变式训练】 已知数列 a n 是正数组成的等差数列,Sn 是其前 n 项的和, 并且 a3=5,a4S2=28.1 求数列 a n
14、的通项公式；（2）求证：不等式 1+11+a11 1+a211 an2n123 对一切 n N+均成立 .3思路分析： 第（ 2）问中的不等式左侧, 每个括号的规律是一样的, 因此12n1显得 “余外 ”,所以可尝试变形,即把不等式两边同乘以2n1 ,然后再证明 .(1) 解：设数列 an 的公差为 d,由已知,得a12d5,10-3d5+d=28,3d2+5d-22=0, 解之得 d=2 或 d=11 .3数列 an 各项均为正,d=2. a1=1,an=2n-1.2 证明： n N+,2a1d a13d28.只需证明 1+11+a111 1+a2an2321n成立 .3当 n=1 时,左边
15、 =2,右边 =2,不等式成立 .假设当 n=k 时,不等式成立,即（1+1 ） 1+ 112321a1a 2 1+k.ak3那么当 n=k+1 时,11+a11+11 1+a 2ak1+1ak 1232k31 1+1=ak 12 3 . 2k232k1以下只需证明23 2k232k12 32k3 .3即只需证明 2k+2 2 k1 .2k3 .2k+2 2-2k1 .2 k3 2=10,1+111+a1111+a211ak 1232k33232k311 .综上知,不等式对于nN +都成立 .【例 3】设 Pn=1+x n,Qn =1+nx+证明 .n n21 x 2,n N+,x -1,+
16、试, 比较 Pn 与 Qn 的大小, 并加以思路分析： 这类问题,一般都是将Pn、Qn 退至详细的 Pn、Qn 开头观看,以寻求规律,作出猜想,再证明猜想的正确性.P1=1+x=Q 1,P2=1+2x+x 2=Q2, P3=1+3x+3x 2+x 3,Q3 =1+3x+3x 2, P3-Q 3=x3,由此估计 ,Pn 与 Qn 的大小要由 x 的符号来打算 .解： 1当 n=1,2 时, Pn=Qn.(2) 当 n3时,（以下再对 x 进行分类） .如 x 0,+ ,明显有 PnQn;如 x=0 ,就 Pn=Qn;如 x -1,0,就 P3-Q 3=x 30,所以 P3Q 3;P4-Q 4=4
17、x 3+x 4=x 34+x0, 所以 P4Q4;假设 PkQk k 3,就 Pk+1 =1+xPk1+xQ k=Qk+xQ k运用归纳假设 =1+k k1) x22+x+kx 2+k k1 x3 2=1+k+1x+kkkk1213x2+kk213x=Qk+1+x Q k+1,2即当 n=k+1 时,不等式成立 .所以当 n3且,x-1,0 时, Pn12;n=2 时, 22=22 ;n=3 时,23 5 2,猜想 n5时,2nn 2,简证2kk 2k 5就, 当 n=k+1 时,2k+1 =22k 2k2=k2 +k2 +2k+1-2k-1=k+1 2+k-1 2-2k+1 2.2综上所述,
18、 n=1 或 n5时, f2 n1 ;n 212n=2 或 4 时,f2 = nn 2问题探究1 ;n=3 时, f2 n1 .21n 21问题：有两堆棋子,数目相同,两人嬉戏的规章是：两人轮番取棋子,每人可以从一堆中任意取棋, 但不能同时从两堆取, 取得最终一颗棋子的人获胜,求证后取棋子者肯定可以获胜 .设每堆棋子数目为n,你可以先试试能证明上述结论吗？导思： 分析题设中的数学思想,转化为数学问题,而本问题可以用数学归纳法证明.探究： 下面用其次数学归纳法证明.证明：设每堆棋子数目为n.（1）当 n=1 时,先取棋子者只能从一堆里取1 颗,这样另一堆里留下的1 颗就被后取棋子者取得,所以结论
19、是正确的.2 假设当 n kk 时1结 论正确,即这时后取棋子者肯定可以获胜.考虑当 n=k+1 时的情形 .先取棋子者假如从一堆里取k+1 颗,那么另一堆里留下的k+1 颗就被后取棋子者取得, 所以结论是正确的 .先取棋子者假如从一堆里取棋子m1 m k颗 ,这样, 剩下的两堆棋子, 一堆有 k+1 颗, 另一堆有 k+1-m颗,这时后取棋子者可以在较多的一堆里取m 颗,使两堆棋子数目都是k+1-m 颗, 这时就变成了 n=k+1-m 的问题, 而不论 m 是 1k 的哪个整数, n=k+1-m 都是不大于 k 的正整数,由归纳假设可知这时后取棋子者肯定可以获胜.于是,当 n=k+1 时结论正确 .由（ 1）（2）知,依据其次数学归纳法,无论每堆棋子的数目是多少,后取棋子者都能获胜 .