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1、一RS编码对于能够纠正 t 个错误的 RS （n,k,d ）码，具有如下特征：1）码长：12nm符号或)12(mm比特2）信息码元数：t2nk或mk比特；3）监督码元数：t2kn符号或)kn(m比特；4）最小距离：1kn1t2d符号或) 1kn(m比特；最小距离为 d 的本原 RS码的生成多项式为)x()x)(x)(x()x(g2d32式中的 m是一个任意整数。令信息元多项式为：1k1k2210 xmxmmm)x(m二RS编码器的类型1基于乘法形式的RS编码器公式：)x(g)x(m)x(c结构图如下：由上面结构的乘法编码器输出的码字是非系统码。2基于除法形式的RS编码器（1） 根据生成多项式)
2、x(g构造的除法编码器。令)x(g)x( r)x(b)x(g)x(axkn剩余多项式)x( r至少比)x(g低一次。01222t22t21t21t2rxrxrxrxr)x( r则编程的码多项式为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 01222n2n1n1nkncxcxcxcxc)x( r)x(ax)x( c具体实现如下图：（2） 根据校验码多项式)x(h构造的除法编码器设校验多项式为：011k1kkkhxhxhxh)x(h系统码的多项式
3、为：011kn1knknkn2n2n1n1ncxcxcxcxcxc)x(C它的前k位系数：kn2n1nc,c,c是已知的信息位，而后kn位系数：012kn1knc,c,c,c是需求的校验位。码多项式必是生成多项式)x(g的背式，所以)x(g)x(q)x(C1k)x(q,kn)x(g, 1n)x(C而)x(qx)x(q) 1x)(x(q)x(h)x(g)x(q)x(C)x(hnn由于1k)x(q,kn)x(g,kn)x(g, 1n)x(C所以nx)x(q的最低位次数至少为n次，而在)x(C)x(h的乘积中k2n1nx,x,x的次数为 0。1nx的系数：kk1n111n001nhchchc2nx的
4、系数：kk2n112n002nhchchc精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 而kn, 2, 1 , 0i0hck0jjjin由于)x(h为首一多项式，1hk，故上式可写为kn,2, 1ihcc1k0jjjinikn上式展开为：)hchchc(cc)hchchc(c)hchchc(c1k111k0k0)kn(kn1k1kn13n02n2kn1kkn12n01n1kn由上式看出码字C的第一个码元1knc可由k个信息元kn2n1nc,c,
5、c与)x(h的系数相乘得到，而由1knkn3n2nc,c,c,c可得到第二个校验元2knc，再由kn3nc,c信息元和第一、第二校验元2kn1knc,c可得到第三校验元3knc。按这样的线性关系递推，一直可求得所有的kn个校验元012kn1knc,c,c,c。具体实现如下图：（3） RS的时域编码实际例子RS码是非二进制码，它是在)q(GF上的，这里2q。这里我们选用)16(GF域来进行，域中 16 个元素可用 4bits符号表示。例 构造一个能纠正3 个错误符号，码长为15，m=4的 RS码。求生成多项式和编码电路。解：当3t时，最小码距7Dmin，信息元长度9k。该码为（ 15，9）RS码
6、，其生成多项式为：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 692634414510665432axaxaxaxaxaxax)(ax)(ax)(ax)(ax)(ax()x(g由分圆多项式多项式：)1xx)(1xx()x(g42)16(GFa是本原域元素，它是多项式1xx4的根，则01aa4或1aa4以1xx4为模的)2(GF4的元素如下表：1a000011aa280101a0010aaa3910102a01001aaa21001113a10
7、00aaaa231111101aa400111aaaa23121111aaa2501101aaa23131101236aaa11001aa31410011aaa3710111a150001)2(GF4中每个元素都可表示成它的自然基地32a,a,a, 1（在域)2(GF上）的线性组合，如下形式：012233aaaaaaa因此在)2(GF4上的42进制 RS码，它的编码电路可用k或kn级42进制寄存器实现。本例是用6kn级乘法器电路实现，如下图。图中的移位积存器必须是由能积存 16 进制的元件组成，这可用4 级触发器组成的移存器完成。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - -
8、- - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 9641410a,a,a,a,a常乘器可用模 2 加法器构成。在域)2(GF4上的系数9641410a,a,a,a,a可用自然基地表示为如下形式：)aa(a)aaa(a)aaaa(a)aaa()1aa(a)aaa(a)1aaa(a) 1aa(aaaaaaaaa)aaaaaaa(a020122012331232023123223310011112213301223310)aa(aaaaaaaaaaaaa)aaaaaaa(a012233014151162173012
9、23314)aa(a)aaa(a)aa(a)aa()1a(a)aa(a)aa(a) 1aa(aaaaaaaaa)aaaaaaaa(a03013212323021232334051627300122334)aa(a)aaa(a)aa(a)aaa()aa(a)1aa(a)1a(a)aa(aaaaaaaaa)aaaaaaa(a120132023013230312233607182930122336)aa(a)aaaa(a)aaa(a)aaa()aa(a) 1aa(a)aaa(a) 1aaa(aaaaaaaaa)aaaaaaa(a130123212330233021232233901011121230
10、122339)2(GF4中乘10a的转换电路如下表示：)aa(a)aaa(a)aaaa(a)aaa()aaaaaaa(a0201220123312301223310式中：1233aaaa01232aaaaa0121aaaa020aaa精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 电路中乘1014a)2(GF)2(GF4中乘14a的转换电路如下表示：233aaa122aaa0131aaaa010aaa电路中乘1414a)2(GF)2(GF4中乘4
11、a的转换电路如下表示：03aa32aa21aa030aaa电路中乘1414a)2(GF)2(GF4中乘6a的转换电路如下表示：0133aaaa022aaa0131aaaa120aaa电路中乘614a)2(GF)2(GF4中乘9a的转换电路如下表示：0233aaaa1232aaaa01231aaaaa130aaa电路中乘914a)2(GF7, 9,15RS编码器具体实现电路如下图所示：工作过程如下：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - - （
12、1） 门打开，开关拨到符号输入端，所有移存器清0。然后将 6 个 16进制信息符号，一边送入移存器， 一边送入信道。 注意每一节拍移动一个16 进制符号。（2） 6 个 16进制符号送入移存器后，完成除法运算，移存器中的就是余式。此时，门关闭，开关拨到下面。再经过6 个节拍的移动，得到所有6 个校验元，并且跟随信息元送入信道，完成一个码字的编码过程。（3） 清洗积存器，打开门，开始第二组信息元的编码。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - - -