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1、精品学习资源第一学期高等数学期末考试试卷答案一运算题（此题满分35 分，共有 5 道小题，每道小题7 分），欢迎下载精品学习资源1 求极限lim 1xxcos x23欢迎下载精品学习资源x0sinx欢迎下载精品学习资源解：lim 1xcosx2x32xlimx1cosx1231limxcosx123欢迎下载精品学习资源x0sin xx0xx0x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源lim1x lnecos x 231 lim1x lnecos x 21 limx ln 1cosx23limln 1cosx22欢迎下载精品学习资源x0xx0 x ln 1cosxx0x2x0x欢迎下载精品学习资
2、源欢迎下载精品学习资源limsin x1 欢迎下载精品学习资源x0 1cosx 2 x4欢迎下载精品学习资源2 设 x0 时， fx2x 与是等价无穷小，23xf t dt 与0Ax k 等价无穷小，求常数k 与 A 欢迎下载精品学习资源解：欢迎下载精品学习资源由于当 x3 x0 时，ft dt 与Axk 等价无穷小，所以3 xflim 0t dt1 而欢迎下载精品学习资源0x0Axk欢迎下载精品学习资源3 xk1f t dtf 3 x12x133322欢迎下载精品学习资源lim 0lim3 3 x 2limf 3 x23 3 x2lim xxlim1欢迎下载精品学习资源kx0Axx0Akxx
3、02x32Akxx0 6 Akxk 1x0 6 Akxk 1欢迎下载精品学习资源所以，lim11 因此， k1,A1 欢迎下载精品学习资源k1x0 6 Akxk 162x2axb欢迎下载精品学习资源3 假如不定积分x11x2dx 中不含有对数函数，求常数a 与 b 应满意的条件欢迎下载精品学习资源解：欢迎下载精品学习资源2xaxb2将2x11x化为部分分式，有欢迎下载精品学习资源2xaxb22x11xABx1x1CxD ，21x2欢迎下载精品学习资源x2axb2因此不定积分dx 中不含有对数函数的充分必要条件是上式中的待定系数欢迎下载精品学习资源x11x2AC0 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精
4、品学习资源x2axb即x1 2 1x2BDx1 21x2B 1x 2D22x112x1x 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以，有 x2axbB 1x 2D x1BD x22DxBD 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源比较上式两端的系数，有1BD,a2D,bBD 所以，得 b1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源5 运算定积分52min 1,0x2dx 欢迎下载精品学习资源解：欢迎下载精品学习资源min 1,x2x2x211x21欢迎下载精品学习资源1x12x1x2x122xx33欢迎下载精品学习资源所以，52min 1,0x2dx11dx022 x dx152x2 dx1
5、3 28欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源5. 设曲线 C 的极坐标方程为r解：a sin3，求曲线 C 的全长3欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源曲线 r3a sin3一周的定义域为 0333，即 03 因此曲线 C 的全长为3欢迎下载精品学习资源2srr0da 2 sin6203a 2 sin4cos2d 33asin2d033a 2欢迎下载精品学习资源二（此题满分45 分，共有 5 道小题，每道小题9 分），欢迎下载精品学习资源6. 求出函数 fxlimsinx2n的全部间断点，并指出这些间断点的类型欢迎下载精品学习资源n12x解：sinxx1 21x1欢迎下载精品学习资源f
6、 xlimnsinx22n12x122x1 2欢迎下载精品学习资源0x12欢迎下载精品学习资源因此 x11 与 x221是函数2f x 的间断点1欢迎下载精品学习资源limfxlim00 ， limfxlimsinx1 ，因此 x是函数f x 的第一类可去欢迎下载精品学习资源x1x122x1x1222欢迎下载精品学习资源型间断点1欢迎下载精品学习资源2limfxlimsinx1 ， limfxlim00 ，因此 x是函数f x 的第一类可去型间欢迎下载精品学习资源1111xxxx2222断点欢迎下载精品学习资源7. 设是函数 fxarcsin x 在区间 0,b 上使用Lagrange（拉格朗
7、日）中值定理中的“中值 ”，欢迎下载精品学习资源求极限 limb0 b解：欢迎下载精品学习资源f xarcsin x 在区间 0,b 上应用 Lagrange 中值定理，知存在0,b，使得欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源arcsinbarcsin01b0 12欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以，212b因此，arcsinb欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2lim21lim2barcsinb2limarcsinb 2b222欢迎下载精品学习资源b0 bb0bb0barcsinb欢迎下载精品学习资源令 tarcsin b，就有欢迎下载精品学习资源2lim2t 2lim2s
8、in 2 t2t 2limsin2 t4欢迎下载精品学习资源b0 bt0tsin tt0t欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2tlimsin 2 t32lim2 cos2t211limcos2t21lim2 sin 2t1欢迎下载精品学习资源t04 tt012t6 t0t6 t02t3欢迎下载精品学习资源所以，1lim欢迎下载精品学习资源b0 b3欢迎下载精品学习资源8. 设 f x1 xey 201y dy ，求f0x dx 欢迎下载精品学习资源解：欢迎下载精品学习资源1f x dx01xf x 01xfx dx0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源在方程 f x1 xey 20y
9、 dy 中，令 x1 ，得欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1 1f 1ey 20y dy0ey 20y dy0 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源再在方程 f x1 xey 20y dy两端对 x 求导，得fx1 x2e，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1因此，f0x dx1xf x 01xfx dx01xfx dx0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1xe10x 2 dx1e xe0x 2 dxe11 e x 2201 e1 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源9. 讨论方程exa x2 a0 在区间,内实根的个数欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解：
10、设函数 f x2xax e1 ， fxx2axe2xax eax 2x e欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x令 fx0 ，得函数f x 的驻点 x10,x22 欢迎下载精品学习资源由于 a0 ，所以欢迎下载精品学习资源limfxxlimx2xax e1，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源limfxxlimxax 2e x1x2a limx xe2 x1a limxxe21a limx11 xe欢迎下载精品学习资源因此，得函数xf x 的性态欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源,000,222,00fxf x14 ae11欢迎下载精品学习资源 如 4ae 210 ，即e2a时，
11、函数f x4ax2e x1在2,0 、 0,2 、 2,内各有欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源一个零点，即方程exa x 2 在,内有 3 个实根欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 如 4 ae 210 ，即e 2a时，函数 f x4ax 2e x1 在,0 、 0,内各有一个零点，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源即方程 exa x2 在,内有 2 个实根欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 如 4ae 210 ，即e2a时，函数f x4ax2e x1在,0 有一个零点，即方程exa x2欢迎下载精品学习资源在,内有 1 个实根欢迎下载精品学习资源10 设函数f x
12、可导，且满意欢迎下载精品学习资源fxx fx1 ， f 00 欢迎下载精品学习资源试求函数f x 的极值欢迎下载精品学习资源解：欢迎下载精品学习资源在方程 fxx fx1 中令 tx ，得 ftt ft1 ，即欢迎下载精品学习资源fxx fx1 欢迎下载精品学习资源在方程组fxxfxx xfxfx中消去 fxx ，得欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源积分，留意 f 00 ，得 fxf 0fxxtt22xx 21x2 dt 即欢迎下载精品学习资源0 1txtt21欢迎下载精品学习资源0f x1t 2 dtxln 1x2 2arctan x 欢迎下载精品学习资源xx 212xx 2欢迎下载精
13、品学习资源由 fx1x2得函数f x 的驻点 x110,x21. 而 fx2所以，21x欢迎下载精品学习资源f010 ， f10 2欢迎下载精品学习资源所以， f 00 是函数f x 微小值； f111 ln 22是函数4f x 极大值欢迎下载精品学习资源三应用题与证明题（此题满分20 分，共有 2 道小题，每道小题10 分），欢迎下载精品学习资源11 求曲线 yx 的一条切线，使得该曲线与切线l 及直线 x0 和 x2 所围成的图形绕 x 轴旋转的欢迎下载精品学习资源旋转体的体积为最小 解：欢迎下载精品学习资源设切点坐标为t,t ，由 y1，可知曲线 y2tx 在 t ,t 处的切线方程为欢
14、迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源yt1x2tt，或 y1xt 2t欢迎下载精品学习资源因此所求旋转体的体积为欢迎下载精品学习资源221Vxt02t2xdx843t42t欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源dV所以，dtd 2V8243t 2160 得驻点2t，舍去322t由于3欢迎下载精品学习资源tdt 22343t 22t30 ，因而函数 V 在 t处达到微小值，而且也是最小值因此所求切线3欢迎下载精品学习资源方程为 y3 x1 42欢迎下载精品学习资源12 设函数f x 在闭区间0， 1 上连续，在开区间0， 1内可导，且欢迎下载精品学习资源2e f x0arctan xdx1
15、， f 10 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源证明：至少存在一点0， 1，使得f12欢迎下载精品学习资源1arctan解：欢迎下载精品学习资源由于 fx 在闭区间 0,1 上连续，所以由积分中值定理，知存在0,2，使得欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2e f x0arctan xdx2 efarctan欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2由于ef x 0arctan xdx12f，所以，e2arctan1再由 f 120 ，得欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源e farctane f 14arctan 1 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源作函数 g xef xarctanx ，就函数在区间,10,1 上连续，在区间,1 内可导所以由欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源Rolle 中值定理，存在,10,1 ，使得 g0 而欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源g xe f x fx arctan xf xe1x2 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以存在,10,1 ，使得欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源e ffarctane0f12欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由于 e f0 ，所以 farctan10 ，即 f1211 2arctan欢迎下载