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1、【第五部分】不定积分1. 书本学问（包含一些补充学问）（1） ）原函数： F（x）=f（x）, xI,就称 F（x）是 f（x）的一个“原函数”；（2） ）如 F（x）是 f（x）在区间上的一个原函数,就 f（x）在区间上的全体函数为 F（x） +c（其中 c 为常数）（3） ）基本积分表1dxxdxdxxc1x1c 1（1 ,为常数）1dx xxlnca xdxxac a0, a1, a为常数exdxln a exc1dx1x2arctan x 或arc cot xc1dx1x2arcsin x 或arccos xcln x dxx ln xxc1dx1x2ln x1x2c1dxa2x21d
2、xarcsin xca1 arctan xca 2x21a 2x 2dxaa1ln axc 2aaxshx dxchxcchx dxd cosx cosxshxcln cosxcsin x dxcosxccosx dxsin xctan x dxln cosxccot x dxln sin xcsecx dxln secxtan xccscx dxln cscxcosxcsinx dx2x2x214sin 2xccos2 x dx1 sin 2x4ctan2 x dx cot2 x dx sec2 x dxcsc2 x dxtanxxccot xxctanxccot xcsecx tan x
3、dxsecxccscx cot x dxcscxc1x 2x 2 a2a2dxlnxc（ 4）零函数的全部原函数都是 c（ 5） C 代表全部的常数函数（ 6）运算法就数乘运算 af x dxaf x dxf xg xdxf x dxg x dx加减运算线性运算（ 7） 复合函数的积分： f x x dxF xc（ 8）一般地, f axb dx1af axb d axb1aF axbcf xb dxF xbc（9） ）连续函数肯定有原函数,但是有原函数的函数不肯定连续,没有原函数的函数肯定不连续；（10） ）不定积分的运算方法凑微分法 （第一换元法）,利用复合函数的求导法就变量代换法 （其次
4、换元法）,利用一阶微分形式不变性a 2x2dxx2a 2dxx2a 2dxxa sin txa sectxa tan t分部积分法 ：如uu x, vv x均可导,且uxv xdx存在,就uxv xdx也存在并有： uxv x dxu xv xu xv x dx简写为： u dvu vv du【说明：一阶微分形式不变性】释义：函数对应： y=fu功能： dyy duf u du说明：设函数为 yf u, 此时假如 u是自变量,就函数 yf u的微分形式为：dyy duf u du假如u是中间变量,即 ugx,函数即为复合函数；自变量为 x,即 :ygx,复合函数求导得： yf gxg x.那么
5、复合函数yf gx自变量为 x, g xu为中间变量的微分形式为：dyy dxf g xg xdx.由于ug x, g x dxdu.带入得：dyf u du因此,无论u是自变量仍是中间变量,均有 dyf u du这称为一阶微分形式不 变性；（11） ）1dxx2a 2lnx2 a 2xc（12） ）分段函数的积分例题说明： max 1, x2dx解：x（2x - 1）max 1, x2（1 -1x1）x（2x1）1 x332c（1 x- 1）3max1, x2 dxxc（2 -1x1）1 x232c（3 x1）3需要说明的一点,依据连续的原就,c1, c2 , c3需要调整（13） ）在做不
6、定积分问题时,如遇到求三角函数奇次方的积分,最好的方法是将其中的一次方处理到最终dx的部分；如sin 3 x dxsin2 xd cos x（14） 在做不定积分问题时,如遇到 sinx与cosx同时显现且指数不同的情形,就需要通过三角函数公式尽化简的目的；量将其转化成同一次方再进行运算或将二者合并以达到（15） 在运算不定积分过程中,假如单独遇到sinx 的问题,就sinx2sin x2cos x2（16） ）隐函数求不定积分例题说明：例题：设y是由方程y xy 2t 3x确定的隐函数,试求2t1dx x - 3y解法1：令xyt,就x, y t1, 带入；2t1解法2：y xy2xxy21
7、x1yxy2cos2所以1x ysin2所以： xsinsincos2; ysin cos,带入；（17） ）三角有理函数积分的万能变换公式Rsin x, cosx1dx令t t 2tan x2R11t 22tt 2 , 1t 2 21t 2dtcosx其中：sin x21t,t2ttan 2xtan x2t21t1t 2（18） ）某些无理函数的不定积分无理函数中带有A（根号）,变形时将整个根号变为t,即tA例如：1xxx4t 22dx令t 2x2t 21x22t 22 t118tdt2t 21t 21 t 21dt222dtt1t1.欧拉变换2含有 axbxc的积分如a 0,令ax 2bx
8、ct -a x如c0,令ax 2bxcxt -c对于可得： 对于可得：ax 2bxxb2t 2ct 2c t a2atxax 2（19） ）其他形式的不定积分 xf x dxx df xxf xf x dxxf xf xcxx2 esin x dxA1 esin xA2 ecosxc 待定系数法xx x2 ex dxeA1 xA2xA3c2 B1 xB2 xBex dxeA1 xA2xA3c2x2组合法：Isin x1dxsin x2 cosxIcosx2dxsin x2 cosxI1I 21 dxx2I 1I 2ln sin x2 cosx2. 补充学问（课外补充）【例谈不定积分的运算方法】
9、1、不定积分的定义及一般积分方法2、特殊类型不定积分求解方法汇总1、不定积分的定义及一般积分方法（1） ）定义： 如函数 fx在区间 I 上连续,就fx 在区间 I 上存在原函数；其中x=Fx+c0,c 0 为某个常数）,就x=Fx+c0 属于函数族 Fx+cf x积分号被积函数x积分变量f x dx被积表达式推论：如 f xnkifi x dxi 1n就： f x dxkii 1fi x dx（2） ）一般积分方法值得留意的问题：第一,一般积分方法并不肯定是最简便的方法, 要留意综合使用各种积分方法,简便运算；其次,初等函数的原函数并不肯定是初等函数,因此不肯定都能 够积出；不能用一般方法积
10、出的积分：例如： e x2dx,sin x xdx,sin 2 x dx1dxln x1dx1x411.x3dxk2 sin2 xdx 0K 12、特殊类型不定积分求解方法汇总（ 1）多次分部积分的规律uv n 1dxu v nu vn dxu v nu vn 1u vn 1dx.u v nu v n 1u vn2.n 11un 1v dx（2）对于 a cos xc cos xb sin xd sin xdx的积分求解方法为：令a cos xb sin xAc cos xd sin xB c cos xd sin x例如：求3 cos xsin xcos xsin xdx解：令 3cosxs
11、in xAcosxsin xBcos xsin x即可（ 3）简洁无理函数的积分被积函数为简洁式的有理式,可以通过根式代换化为有理函数的积分 R x, n axb dx设tnaxb R x, n axcxbddx令tnaxcxbd R x, n axb, m axbdx令tp axb, 其中p是m,n的最小公倍数（4） 求Idxdx, 其中abk解法： Isin xa sinxb1sin xa xbdxsinabsin xa) sinxb（5）求： In xa) n1dx1 xb) n 1dx, 其中,xn为自然数a解法： I xa xbn x xdx,令tnaxbb（6） 求 I解法：令x
12、m ax2x1tbxcdx（7） 统一公式eax1Ieaxsinbx dxa 2b2 ax a sin bxb cosbxc2Ieaxcosbx dxea2b2a cosbxb sin bxc（8） 运算技巧同时显现同时显现x和 1x和 1x时,令 x x时,令 xtan2 tsin 2 t同时显现1x2 和arcsinx时,令 xsin t同时显现1x2 和arccos x时,令 xcost（9） 求1a 2x2dx解法：令 I1 2aax axdxax ax小结：几分钟含有根号,应当考虑采纳合适的方法去掉根号再进行运算；（10） 当遇到形如dx2axbx的不定积分,可以分为c以下三种情形：
13、ax2bxc 0时,可将原式化为： xx1 xx2 其中,x1 , x为ax 2bxc0的两个解 .2就原不定积分为：dxdx1d xx1d xx2 ax 2bxc xx1 xx2 x2x1xx1xx21xx1lncx2x1xx20时,可以利用完全平方公式,然后化为： xk 2d xk 0时,可以先给分母进行配方,然后化成：1x2adx的形式求解（11） 三角函数的积分：sin m xcos nx dx m和n中有一个奇正数时利用恒等式：sin 2 x1cos2x或 cos2 x1sin 2x；最后将得到形如：cosp xsin xdx或sin q xcos xdx；这两个积分可以直接得到：c
14、osp xsin x dxcosp xd cos x1cosp 1 xc p1sin q xcos x dxsin q xd sin x1sinq 1 xc q1 m, n都是偶数时可以利用恒等式：cos2 x1cos 2 x ,sin 2 x 21cos 2 x 2此外,也可以利用“积化和差,和差化积”公式（12） 三角函数的积分：tanm xsecn x dxm, n均为偶数时,利用恒等式：sec2 xtan2 x12m2m, n均为奇数时,可分出tanxsecx（即 secx的导数）运算m偶n奇时,将tanx改为 secx,然后利用sec x1tanx运算（13） 关于形如：m cosx
15、 a cosxn sin x b sin xdx a2b20 的解法如a0,b0,就原式m cosxn sin x dxm1 xntan x dxm xnaaln cosxca cosxaa如 a0.b0,就原式m cosxn sin x dxn1 xmcot x dxb sin xbbn xmbbln sin xc如a0, b0,m, n至少有一个不为0,就：m cosx a cosxn sin x dx b sin xA a cosx a cosxb sin xdx b sin xBa acosx cosxb sin x dx b sin x AaBb cosx AbBa sin x dx
16、aAaBbAbBacosxm nb sin x.以下内容省略）对 mcos xn sin xdx的推广m cos xn sin xldx a, b, c, m, n, l为常数a cos xb sin xa cos xb sin xc,且 a,b,c, 不同时为 0）如 a0, b0或a0,b0, c为常数,就化简非常简单如 a0, b0, c, m, n,l 中至少有一个不为0,就：原式Aa cos xb sin xcdxB a cos xb sin xcdxa cos xb sin xca cos xb sin xca cos xDdxb sin xcAmanba 2b 2AaBbm有 A
17、bBanBmbna a 2b 2代入原式AcDlmanbDla2b 2c至此,仍需求出a cos x1b sin xdx的解,使用万能代换法c,将其转化为有理不定积分的形式,令ttanx , 就dx 221t 2dt ,sin x2t1t 2, cos x1t 21t 2化简之后为： I（ ca2t 22btdtatc依据 a,b, c的关系得出最终结论；（14） 运算积分时,如遇到用倒代法；x的高次项（如x n）位于分母,并难以分解时,一般使如运算：1x xn1 dx解：令xdx1 , 就dxd 1 tt11dt t 21dtn1tdt1 ln t n1cx xn1t 1 t n1t 21t
18、 nn（15） Inxnma2b2 x2x3dx的递推式1x7方向：针对如推导过程：xn22In1x2dxdx,x4xn 1ddx,x2115dx等积分2x2mx ba21mb2 a2b2 x2 m 11xn 1xn 221mb2 a2b2 x2 m 1n1a2dxm 1b2 x21xn 12m 1n1xn 2a2b2 x2mdx21mba2b2 x2a2b2 x21xn 1a 2xn 2b2 xn（2 1mb2 a2b2 x2 m 1n1a 2b2 x2 mdx1xn 1n1 a2I21mb2 a2x2b2 m 1n 2（16） 利用三角函数性质进一般情形下行解题：例如：求不定积分2sin1
19、2dxx cos x解：原式sin 2 x2cos2 x2dxtan xcot xcsin一些特殊情形x cos x利用公式：secx和tan x是两个非常重要的三角函数,二者的关系为：secx secxtan x1tan 2 xsec2 xtan x sec2 x注：当被积函数是三角角函数的偶次幂时,常拆一项凑微分,剩余偶函数的乘积时,拆开奇用半角公式通过降低幂次项用半角公式降幂之次项去凑微分；当被积次的方法来运算；如为后再运算；函数是三奇次幂,例如：运算不定积分sec6 x dx解： sec6 x dx21tan2 xd tan xtan4 x2 tan2 x1tan x231d tan
20、x5tan x3tanxc5（17） 双曲代换的应用被积函数中含有x2a 2 或 x2a 2 时,除了采纳三角代换外,仍可利用公式：ch 2tsh2t1采纳双曲代换：xa sht或xa cht,消去根式,所得结果一样（18） 一个特殊变换：f xn 1dx1xnf xn1 xndx n（19） 两个重要递推公式 I ndxx2a 2 n1x2n1I n 12na 2x2a 2 n2na 2I nn 1 I ntann x dxtanx n1I n 2 n2（20） 重难点：解题时使用的最多的方法：分部积分法例如求不定积分1dx sin x解：利用分部积分法,令usin1 x, dvdx ,就：
21、 dudx, vx 1x 2sin 1 x dxx sin 1 xx d sin 1 xx sin 1 xx dx1x2x sin 1 x1dx2x sin 1 x11d1x2 x sin 1 x21x21x2c21x2递推公式：n1n 1n1n 2 ,是正整数sin x dxsinnx cos xnsinx dx n1此递推公式说明：假如公式证明过程：可以将sin n2 x的积分积出,便可以积出sin n x的积分；n令usin1 x, dvsin xdx,就dun1sin2 x cos xdx,vcosxn所以有：Isin nx dxsin n 1x d cos xsin n 1 xcos
22、 xcos xd sin n 2 xsinn 1 xcosxn1sinn 2 xcos2 x dxnn21sinn 1 x sinxcosxn1cosxn1sinn 2 x sinx1sin2 xdxn1dxnsin x dxsinn 1 xx cosxn1sinn 2x dxn1Isinnx dx1 sinn 1 x ncosxn1sinn 2 x dx n例如：运算不定积分sin3 x dx解：原式1 sin 2 x3sin3 cosxx dx2 cosx31 sin 2 x3ccosx23sin x dx【第六部分】定积分1. 书本学问（包含一些补充学问）（ 1）定义bf xndx的定义
23、：limSilimnf xixi 1ani 1nn把 a, b区间分成n个小区间, ax0x1.xnb要求当n时,max xixi 10记I ixi 1, xi, 在Ii 上的代数面积为Si ,在Ii 上用矩形代替Si , 在I i 上任取一点 i,Sif i xixi 1 n求和： Sf i i 1nxixi 1求极限：即limnf i i 1 xixi 1（2） 定积分的性质b 1baabbb线性运算性质：af xgxdxf x dxag x dxabf x dxa af x dxaaf x dxb0b区间的可加性：af x dxcf x dxabf x dxc其中,包含a,b,c 的区间
24、可积即可,不一定要求 c（ a, b） f x在a, b 上可积且f xb0,就af x dx0bb如 f x, g x在a, b 上可积且f xg x, 就af x dxbg x dxa如 f x在a, b 上连续,f x0, f x不恒等于0,就af xdx0f x0 : 可能个别点上等于0,也可能整个区间均为0； f x0 : 就是指在整个区间上都等于 0推论：如bf x, g x在区间ba,b 上连续,f xg x, 且f x不恒等于g x, 就：f xadxag x dx如f x在ba,b 上可积,就bf x dxaf xdxa如f x在ba,b 上可积, mf xM, xa,b ,
25、m,M均为常数,就：mbaf x dxaM ba（积分中值定理）如f x在闭区间ba, b 上连续,就至少存在一 点a, b,使得：f x dxaf ba（3） 微积分学基本公式：b牛顿 莱布尼茨公式f x dxaF bF aF x是f x的一个原函数（3） 微积分学基本定理： 设f x在区间I上连续, aI是一个固定点,就由变上限积分 G xxf t dtaxI,定义的函数在I上可导,且G xf x推论：如函数f x在某区间 I上连续,就在此区间上xf x的原函数肯定存在,原函数的一般表达式写成： fat dtc（c是任意常数, xI,I为固定点）（4） 如 U x, V x在区间上连续,就
26、：u xI上可导,当 xI时, U x, V x属于 E,且fx在E区间ddx v xf t dtf uxu xf vxv x（5） 两个推论设函数 f x以及gx在a, b 上连续,就：bf xab2g x dx2bf 2 xabbdxg 2 x dxa1122 f xag xdxf 2 x dxabg 2 x dx 2a（6） 可积函数类：连续函数分段连续函数且间断单调函数点为第一类（7） 上限在上,下限在下（8） 定积分的洛必达法就x：x00（9） 利用定积分求极限是一种很高效的方法,当然大多只是针对于含有1 形式n或者可以分别出1 的多项式；n112nn如：浙江高校 2006 设Un1
27、1. 1nnn,求 lim Unn（11）定积分求导的几种类 型bF xf t dta就： f x（0 常数的导数为 0）xF xF xx 2f t dtaf xF xFa f t dtxF x2 F x就： F x2 xf xf x（ 12）几种简化定积分的运算方法关于原点对称区间上的函数的定积分1、如函数af x在区间0a, a 上连续,就：当 fx 为奇函数f x dxaa2f x dx0当 fx 为偶函数2、如f x在a, a 上连续,由于任意函数可以标为“奇偶”的形式；即：即： f xf xf x 2f xf x 2由于 f xaf x 为偶函数, f xf 22aax 为奇函数,f
28、 x dxa af xf a2ax dxf xf xa22f xf 02ax dxaf x0f xdx所以：af x dxf x0f xdx周期函数的定积分设 fx是周期为 T 的周期函数,且连续；就：a Tf x dxTf x dxa0a是任意常数 sinn x, cosn x在 0,2上的积分对于任意的自然数nn2,有：2sinnx dx02cosn x dx0n1 n nnn1 nnn3 . 12223 . 2 123（ n 为偶数）（ n 为奇数）敏捷运用变量代换计 算积分特殊算法： x0f sin x dxf sin x dx2aa推广：设f xf ax, 就 x0f x dxaf x dx 20（13）换元法求定积分时,b在将 x换成 t的同时,也要将上限与下限进行相应的改变；转变结果可能形成, ab的形式,该函数的导数a是复数；但是对求定积分的值无关,依旧可以正常去求；（ 14）极坐标与直角坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点, x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位；设 M是平面内任意一点,它的直角坐标是 x,y,它的极坐标是 ,0.就：x cosy sin2x 2y2yytanx0xx15 定积分中简洁混淆的 x 与 t 的关系的问题对于定积分, 被积表达式中的无所谓 t 仍