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1、高校微积分 l 学问点总结【第一部分】高校阶段预备学问1、不等式：abab 2a2b 22ababc3 abc引 申a1a2.ana a .a3a3b3c33abca1a2n.an nn1 2nn a1a 2.an2abab 112aba2b2 2双向不等式：a - ba bab 两侧均在 ab0 或 ab 0 时取等号扩展：如有 yx1x 2.x n,且 x1nx 2.xnp p为常数就y的最大值为： x1x 2.x nn2222222柯西不等式：设 a1、a2、.an,b1、b2、. bn均是实数,就有：a1b1a2b2.anbna1a2. anb1b2.bn当且仅当, aibi为常数,
2、i1,2,3.n 时取等号2、函数周期性和对称性的常用结论1、如 f （x+a）=f （x+b）,就 f （x）具有周期性；如 f （ a+x）= f （ b-x ）, 就 f （x）具有对称性；口诀：“内同表示周期性,内反表示对称性”2、周期性（ 1）如 f （x+a）=f （b+x）,就 T=|b-a|（ 2）如 f （x+a）=-f （ b+x）,就 T=2|b-a|（ 3）如 f （x+a）=1/f （ x）,就 T=2a（ 4）如 f （x+a）=【1-f （ x）】/ 【1+f （x）】,就 T=2a（ 5）如 f （x+a）=【1+f （ x）】/ 【1-f （x）】,就 T=4
3、a 3、对称性（ 1）如 f （a+x）=f （b-x ）,就 f （x）的对称轴为 x=（ a+b）/2（ 2）如 f （a+x）=-f （ b-x ）+c,就 f （x）的图像关于（ a+b）/2 ,c/2 ）对称4、函数图象同时具备两种对称性,即两条对称轴,两个对称中心,一条对称轴和一个对称中心,就函数必定为周期函数,反之亦然；（1） ）如 f （x）的图像有两条对称轴 x=a 和 x=b,就 f （x）必定为周期函数, 其中一个周期为 2|b-a|；（2） ）如 f （x）的图像有两个对称中心（ a,0）和（ b,0）,（a b）,就 f （x）必定为周期函数,其中一个周期为2|b-a
4、|；（3） ）如 f （x）的图像有一个对称轴x=a 和一个对称中心（ b,0）,（ a b）,就 f （x）必定为周期函数,其中一个周期为4|b-a|；3、三角函数Lmn正弦 sinn l余弦cosm l正切 tann m余切 cotm n正割 secl m余割 cscl n倒数关系：tan1cotsin1csccos1sec商的关系：sin costansec csccos sincotcsc sec平方关系：sin2cos211tan211cot21平常针对不同条件的两个常用公式：sin 2tancos21cot1一个特殊公式：sinsinsin- sinsinsin-二倍角公式：sin
5、 2 A2sinAcosA222cos2 Acos A - sin A1 - 2sin Atan2 A2tanA 1 - tan2 A半角公式：sin 2a21 1 - cosa 2cos2a 21 1cosa2tan a 2sina1cosa1 - cosa sinacota 2sina 1- cosa1cosa sina三倍角公式：sin3a4sinasin3asin- a 3cos3a4cosa cos3acos- a 3tan3atanatana3tan- a 3万能公式：2tanasina21tan2a 2cosa1 - tan2a21tan 2a2tana2tana 21 - ta
6、n2a2两角和公式：sin sin- coscos-sin sincos coscos coscos coscos- cos- sin sinsin sinsin sintantan-tan 1 - tantantantan- tan1tantan和差化积公式：sinsin2sin1 cos-122sin- sin2cos1 sin-122coscos2cos1 cos-122cos- cos- 2 sin1 sin-122tanAtanBsin ABtan ABcos Acos B1tan Atan BtanA - tanBsinA - Btan A - BcosAcosB1tanAtanB
7、积化和差公式：sincossincos- coscos- cos-1 2cos-12sincossinsin-12口诀：奇变偶不变,符号看象限证明： acoaAbsinAa2b2 sin AM ,其中tanMab证：设 acosAbsinAxsin AMacosAbsinAxa cosAb sinAxx由题, ax2bx21,sinMa,cosM xbxxa2b2原式得证4、数学归纳法数学上证明与自然数 N有关的命题的一种特殊方法, 它主要用来争论与正整数有关的数学问题,在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立；22例如：前 n 个奇数的总和是 n ,那么前 n 个偶数的总和是： n
8、+n最简洁和最常见的数学归纳法证明方法是证明当n 属于全部正整数时一个表达式成立,这种方法由下面两步组成：递推的基础：证明当 n=1 时表达式成立递推的依据：证明假如当 n=m时成立,那么当 n=m+1时同样成立（1） ）第一数学归纳法证明当 n 取第一个值 n0 时命题成立, n0 对于一般数列取值为 0 或 1,但也有特殊情形假设 n=k（kn0,k 为自然数）时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立（2） ）其次数学归纳法对于某个与自然数有关的命题 P（ n）验证 n=n0 时 P（ n） 成立假设 n0 nk 时 P（n）成立,并在此基础上,推出 P（ k+1）成立（3） ）倒推归
9、纳法验证对于无穷多个自然数 n 命题 P（n ）成立假设 P（k+1 ）成立,并在此基础上,推出 P（n ） 成立（4） ）螺旋式归纳法对两个与自然数有关的命题验证 n=n0 时 P（ n） 成立假设 P（ k）（kn0）成立,能推出 Q（ k） 成立,假设 Q（ k） 成立,能推出 P（ k）成立；5、初等函数的含义概念：初等函数是由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常 数经过有限次的有理运算以及有限次数函数复合所产生,并且能用一个解析式表示的函数；【有理运算：加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方】【基本初等函数：对数函数、指数函数、幂函数、三角函数、反三角函数】6、二
10、项式定理：即二项绽开式,即（ a+b ）n 的绽开式abnCn a0nCn a1n-1b.Cn akn -kbk.Cn bnn其中Cn 称为二次项系数kCn akn -kb 叫做二次项绽开式的通k项,它是第 k1项,用 Tk1其中, Cnknn - 1 .n - k -1k -1k -1 ！ kCnn - k1k表示7、高等数学中代换法运用技巧倒代换把原式中的一个变元或原式中的一部分用另一个变元的倒数来代替,此种方法被称为“倒代换”法增量代换如题目中已知 xm,就引入帮助元 x=m+a（a0）,再将帮助元代入题中解题；此种代换方法称为“增量代换法”三角代换x 2a2、a 2x2、x2a2双代换
11、xnlimnyn：引入两个帮助元进行代换8、其他一些学问点（ 1）0 不是正数,不是负数；是自然数； 0 是偶数,偶数分为：正偶数、负偶数和 0（2） ）正偶数称为“双数”（3） ）正常数：常数中的正数（4） ）质数：又称“素数”；一个大于1 的自然数,假如除了 1 和它自身以外, 不能被其他自然数整除的数,否就称为“合数”；最小的质（素）数是2；1 既不是素数,也不是合数；（5） ） exp：高等数学中,以自然对数 e 为底的指数函数（6） ）在数学符号中, sup 表示上界； inf表示下界（7） ）：表示恒等于（ 8） 0 的阶乘是 1. 阶乘是一个递推定义,递推公式为： n！ =n（n
12、-1 ）！ 由于 1的阶乘为 1,即 1！=10！,故 0！=1【其次部分】函数与极限常用结论 （等价无穷小很重要）n1x1nx111x n1x nex1x11 - xx1xex1ln 1 xx x1时成立xn11e nn1- 1 1nen11其中,ne, e 为初等函数,又称“幂指函数”, e 即依据此公式得到,e2.718n11- n211222.n 2n n1 2 n161323.n32n n12saa2.ana n 1 - asa - 1an - bna - ba n -1a n-2 b.b n-111am - b ma - bam -1am -2b.bm -1v x如 lim u x
13、a0,lim v xb a、b为常数,就 lim u xabxx 0xx 0xx 011f xf xe一些重要数列的极限：ln 1 xxex -1xax -1xlna1x- 1xarcsinxxarctanxx另一些重要的数列极限：lim1nnk0 k0lim qn n0 q 1为常数lim n an1 a1nlim ann！0 a为常数lim n n1nx0时, sinxxtanxx1 - cosx1 x 22列举一些趋向于 0 的函数： q1, qn0a a0,b0, b0an a1, bnn - c0 10 lnn柯西极限存在准就：柯西极限存在准就又叫柯西收敛原理；给出了极限收敛的充分必
14、要条件是： 对于任意给定的正数 ,存在这样的正整数 N,使得当 mN,n N时就有|xn-x m|；这个准就的几何意义表示,数列 Xn 收敛的充分必要条件是：该数列中足够靠后的任意两项都无限接近；夹逼定理的两个条件： 左右极限存在；左右极限相等【极限运算的技巧总结 （不包含教材介绍的方法以及公式） ：】（1） ）洛比达法就设函数 fx ）和 Fx）满意以下条件：xa 时, limfx=0,limFx=0;在点 a 的某去心邻域内fx）与 Fx ）都可导,且 Fx ）的导数不等于0;xa 时, lim fx/Fx）存在或为无穷大就 x a 时, lim fx/Fx=lim fx/Fx（2） ）等
15、价无穷小一般要将变量的取值变为趋向于0 的代数式,如 x,令 t=1/x无穷小的概念：高阶无穷小： 当 lim A =0 时,假如 lim （B/A=0, 就说 B是比 A高阶的无穷小低阶无穷小： 当 lim A =0 时,假如 lim （B/A= , 就说 B是比 A低阶的无穷小假如 lim （ B/A=K（K0,1 ）,就说 B 是 A 的同阶非等价无穷小等价无穷小： lim （B/A）=1,就说 B为 A的等价无穷小（3） ）斯托尔茨定理设数列 yn 单调增加到无穷大,就lim xnnynlim xnnynxn 1yn 1 4. fx是连续函数： limf g xflim g xaxx0
16、xx0（5） ）求两个数列之商的极限,在两数列都具有高次项的情形下,可以直接比较最高次项而忽视较低次项,该原理仅仅限于无穷数列,对于有穷数列不能直取；（6） ）分母趋近于 0,而分子不为 0,其极限不存在或无穷（7） xncc.c , lim xn1n14c2证明： xncxn1 , 所以 lim xnnlimnxn 1 ）设 lim xnnA,对（）两侧求极限可知 lim xnnclimnxn 1所以, ACA, A114c2（8） ）在运算极限题目中, 如题目中同时显现 sin x 、arcsin x 、或者 cosx 、arcsosx时,令 t=sinx 或cosx（9） ）在求极限的过
17、程中假如遇到 n 次项等高次项而无法解题时,一般可以通过借助 ex 进行消去高次项的运算,有的也可以使用泰勒公式；（10） ）运算极限时显现显现 tantan x 或者 sinsin x 的形式,应用泰勒公式运算；（ 11）三个重要的结果如 lim ana, 就 lim a1a2.annnna如 lim annaan0, 就 lima1nna2 .ana如 a 0, n1,2,3,., lim an 1a, 就 limannnanann（ 12）有的题目涉及递推公式、数列问题如：Sn12322523.2 n32n 1解题思路：2SnSn函数的连续性和间断点问题（1） ）如何争论并确定函数的连续
18、性？如该函数是初等函数,就该函数在其定义域区间均连续如是一元函数, 就可对其求导, 其导数在某点上有意义就函数在该点必定连续（可导必连续）求助极限,函数在该点极限等于函数在该点函数值,运算时留意左右极限（2） ）间断点问题间断点的分类：如 limf xA, 而fx在xx0处没有定义或者有定义但f xA,就称为f x的xx 0可去间断点；如xx0 为函数f x的可去间断点,只需补充定义或转变f x在xx0的函数值,使f x在xx0 处连续,此时f x已经不是原函数；如 limf xf x0 , limf xf x0；但 fx0 f x0, 就称 xx0为函数f xxx 0xx0的跳动间断点,f
19、x0 f x0 称为跳动度可去间断点和跳动间断存在点统称第一类间断点；第一类间断点的特点是左右极限均如 f断点 x在xx0的左右极限至少有一个不存在时, xx0称为函数f x的其次类间假如函数段连续f x在区间a, b 上仅有有限个第一类间断点,就函数f x在区间a, b 上按（3） ）一样连续与不一样连续一样连续（匀称连续）：设函数 f x定义在集合x上,如0.（ ） 0当x、xx且满意 xx 时,就有f xf x ,就称fx在x上一样连续；定义说明,无论x中的两点 x和x 位置怎样,只要二者充分靠近,相应函数值差的肯定值就可以任意地 小；不一样连续：设函数f x定义在集合x上,存在00,无
20、论对多么小的0,总limxx0f xAlimxx0f xA存在x、x,尽管 xx ,但是f xf x0Alimf x充要条件xx0【第三部分】导数与微分法线斜率和切线斜率相乘等于 -1 （切线与法线垂直）u1u2.un u1 u 2.un u1 u2. un u1 u2.u nu1 u 2.un.u1 u 2.un 反函数求导：反函数导数原函数导数=1或写成： dydx1x x 0dx0y ydy常见的函数的导数（基础函数求导）：c 0 c为常数xx -1ax axlnaex exxloga1x lnalnx 1 xx1lnxsinx cosxcosx -sinxtan x 1tan2xsec
21、2xcotx -csc2xsecx secxtanxcscx -cscxcotxarcsinex 11 - x 2arccosx -11 - x 2arctanx 11x 2arccotx -11x2x特殊复合函数： yuv（ x）的求导方法 ：转化yev xln u xyuvv ln uvu uy=f（x）亦称为“ 零阶导数 ”（函数的零阶导数就是其本身）隐函数： F（x,y）=0, y=f（ x）带入即可得到 F【x,f（x）】=0,满意该恒等式即为隐函数国际数学通用标记：C a、bf x fx 是 a、b 上的连续函数D a、bf x fx 在 a、b 上可导C 2 a、bf x fx
22、的二阶导数在a、b 的区间上连续D 2 a、bf x fx 在 a、b 内二次可导易错点： 求导时,不能将 y 与 f（x）等同；二者导数未必一样【带有肯定值的函数该如何求导？】带有肯定值的函数脱掉肯定值符号后是一个分段函数,应当分段求导； 特殊应留意的是,分段点的导数严格来讲,应当按定义来求；【经典题型总结】（ 1）设函数 f（ x）在 x0 时可导,且对任何非零数 x, y 均有 fxy=fx+fy,又 f1存在；证明当 x0 时, fx可导；证：令 x=1,由 fxy=fx+fy得： fy=f1+fy,所以： f1=0对任何 x 0,由题设及导数定义知,limf xxf xlimfx 1
23、 xf xlimf xf 1 x x- f x x0xx0 xx0xlim1 x0 xf 1 x）-x xf 11 f 1x所以函数在f x不等于0的时候到处可导（2） 在方程 x2d 2 ya x dya x dya y120a , a为常数）中令 x1et , 证明可将112dx2dxdxd 2 ydy方程化成如下的形式：dt 2a11dta2 y0dydydt证：dxdtdxdy e dtd 2 yt; dx 2dydtdtdxdy1dtdx dtdy e tdt e ttd 2 y dt 2edye t e tdtd 2 ydt 2e 2tdy e 2 tdt2原式e2t dy e 2
24、tdy e2t a etdy e ta y0d 2 ydx2dx1dx2dy所以： 2dta11dta 2 y01ddx（3） 化简：dxdy解：原式1ddxdxdy1ddxdydydydx21dxd 2 xdx2dydydydxd 2 x32dydy高阶导数：（1） ）高阶导数的运算法就nnnuvuv c uncu n其中 c为常数nn uv0n0Cn uv1Cn un-1 v 1.nCn u0 v nkCn uk 0n- k v k（2） ）【浅谈高阶导数的求法】高阶导数求法一般包括6 种方法,即依据高阶导数定义求之； 利用高阶导数公式求之；利用莱布尼茨公式求之；用复合函数的求导法就求之；
25、用泰勒公式求之；交叉法 ,等等；定义法： 运用求导公式,求导法就求导,n 阶导数一般比较其规律性高阶求导公式： 把高阶求导公式化为代函数之和,分别求之莱布尼茨公式求导： 当所求导数的函数是两个函数的乘积时, 宜用莱布尼茨公式求之；特殊地,当其中一个函数的高阶导数为 0,可以用此公式求之； 两个因子中,其中有一个函数的各阶导数有明显的规律性时,可以用此公式 ；复合函数求导法： 复合函数求导法就仍可以推广到多次复合的情形； 在求导时, 能从外层向内层逐层求导,始终求到对自变量求导数为止；如存在单值反函数,常用复合函数求导法就,求其反函数的高阶导数；【名词释义】 单值反函数： 如对定义域每一个自变量
26、 x,其对应的函数值 f（x） 是唯独的,就称 f（x）是单值函数；反过来,对于任何一个函数值y,都有唯独的一个自变量 x 与之相对应,就此时称 y=f（ x）为单值反函数；泰勒公式求导法f xx 3sinx,利用泰勒公式求 f 6 0解： f xx 4 - xxx108-.63！ 5！ 7！f 6 01-, f 6 06！3！-1 2 0证明题：证明一函数（隐函数）到处可导： 就应先依据题意找出几个关键的点,然后根据导数的基本公式：limf（ x x）- f（ x）进行判定 x0x证明 f（ x） =a,即证 F（x）=f（ x）-a=0（3） ）部分初等函数的高阶导数nxxnaxaxnex
27、ex- nnlna-1 .- n -11 xnlnn -1-1-n！n -11xnlnxn -1-1n -1！ x- nnsinxsin xn2ncosxcos xn2n线性复合公式：f axban f n axb一阶导数：切线斜率二阶导数：曲线曲率关于曲线凹凸性的两个定理及应用设a x1x2b（1）如f(x) 的图形在a, b 上是凸的,就f x1f x2f x1 f x2(2) 如f x的图形在a,b 上是凹的,就f x1 x2f x2 x2x12f x1 f x x1【经典题型总结】X=f（ t）d 3y（1）设f （t）存在且 f（t） 0,求3dxY=t f（ t） -f（t）dy解
28、答：f tt f t- f tt f ttd2 y dx 2dxdd 2ydtdx 2 dx dtdd 2 yf tt f t11f tf td3 ydtdx 2f tf tdx 3dxdtf t f t3（2） 函数的二阶导数等于原函数,求该函数表达式解：设 yp, y yydp dxp dpdpdydydx y dyp dp , dyp dp dyy y12绽开： p21 y 22a a是任意常数2就py 2a,即 dydxy2adyy2adx,即dyy 2at dxln yy2atxlnb（其中b是任意常数）通解为： y2y 2axb e xb exa e-x yya b e,可得 y-
29、2 2b yy2ab e-x,可得 yb e-xa ex-1ec222 b令c1b , c 2- a , 得通解： y 2bc ex-x2亦可写为： y其中,c1shxc2chx双曲正弦shxex - e- x2ex - e- x,双曲余弦chxexe-x 2exe-x双曲正切thxexe-x ,双曲余切cthxex - e- x（3） f（ x）、g（x）都可导,且满意： f（ x）=g（x）、f （ x）=g（x） f（ 0）=0； g（ 0） =1；证明： g2（ x） -f2（ x） =1证：由上可知, f （x） =f（ x）设f（x）c exc e（-x其中 c1、c2为任意常数）
30、12f 00, cc0, f xc ex - c e-x又 f 0121, f x1 ex211- 1 e-x2同理, g x1 ex21 e-x2g 2 x - f 2 x1【微分：】 自变量的转变量等于自变量的微分导数又称“微商”；dxxdyA xA dxf xdxdyf xdx微分四就运算：设 u=u（x）、v=v（x）在点 x 处均可微,就 uv、uv、u/v （v0）在 x 处都可微,且：（1） d uvdudv（2） duv特殊地,v dud c uu dvc duc是常数3 d uv du - udv v0v特殊地, d 1vv 2- dv v0 v2截距的性质： 截距不是距离,
31、所以截距是有正负的证明yf x ：yy dy dxddydxdxd 2y dx 2f x拐点： 在数学上,拐点是指转变曲线向上或者向下方向的点；直观地说,拐点是使切线穿越曲线的点 （即曲线的凹凸分界点） ；如该曲线的图形函数在拐点有二阶导数,就二阶导数必为零或者不存在驻点： 函数的导数为 0 的点称为函数的驻点可导、可微、连续、极限之间的关系？可导 可微可导 可微） = 连续 = 极限存在 左极限、右极限都存在且相等（箭头反方向的话不肯定成立）可导 = 左导数、右导数都存在且相等连续 = 左连续且右连续 +极限值等于函数值连续 极限存在且等于函数值极限存在 左极限、右极限都存在且相等在某点处（
32、左、右）极限是否存在与该点处函数是否有定义无关【第四部分】微分中值定理及导数的应用（ 1）费马定理设 f （ x）在点 x0 处取到极值,且 f （ x0）存在,就 f （x0）=0；（ 2）罗尔定理假如函数 fx 满意：在闭区间 a,b上连续 ; 在开区间 a,b 内可导; 在区间端点处的函数值相等,即fa=fb,那么在 a,b 内至少有一点 a b ,使得 f=0.（ 3）拉格朗日中值定理假如函数 fx满意: （1）闭区间a,b上连续（ 2）开区间 a,b 内可导；那么: 在a,b 内至少有一点 a b ,使等式 fb-fa=f b-a成立；（ 4）柯西中值定理假如函数 fx及 Fx满意： （1）在闭区间 a,b上连续 ;（2）在开区间 a,b内可导;（3）对任一 xa,b,Fx 0；那么在 a,