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1、复变函数复习重点一复数的概念1. 复数的概念： zxiy ,x, y 是实数 ,xRe z , yIm z .i 21.注：一般两个复数不比较大小,但其模（为实数）有大小.2. 复数的表示1） 模：zx2y 2 ；2） 幅角 ：在 z0 时,矢量与 x 轴正向的夹角,记为Arg z （多值函数）；主值 arg z 是位于 , 中的幅角；3） arg z 与 arctan yx之间的关系如下：当 x0,arg zarctan y ；xy当 x0,y0,arg z 0,arg zarctan yx；arctan yx4） 三角表示 ： zz号；cosi sin,其中arg z ；注：中间肯定是“
2、+ ”5） 指数表示 ：zz ei,其中arg z；二 复数的运算1. 加减法 ：如z12. 乘除法 ：x1iy1, z2x2iy2 ,就 z1z2x1x2iy1y21） 如 z1x1iy1, z2x2iy2 ,就z1z2x1x2y1y2ix2 y1x1y2 ；z1x1iy1x1iy1x2iy2x1x2y1 y2i y1x2y2x1 ；zxiyxiyxiyx2y2x2y 22222222222211222） 如zz ei1 , zz ei2 , 就1 212z zzz ei3. 乘幂与方根12 ； z1z2z1 ei 12z2innninz1） 如zz cosi sinz e ,就zcos n
3、isin n ze；2） 如zz cosi sinz e ,就in12k2kzz ncosi sinknn0,1,2n1（有 n 个相异的值）（三）复变函数1. 复变函数： wfz ,在几何上可以看作把 z 平面上的一个点集 D 变到 w平面上的一个点集 G 的映射.2. 复初等函数1） 指数函数 ： ezex cosyisin y , 在 z 平面到处可导,到处解析；且 ezez ；注： ez 是以 2i 为周期的周期函数； （留意与实函数不同）3） 对数函数 ：Lnzln zi arg z2k k0,1,2 （多值函数） ；主值 ： ln zln ziarg z ；（单值函数）Lnz 的每
4、一个主值分支ln z 在除去原点及负实轴的z 平面内到处1解析,且 lnzz ；注：负复数也有对数存在； （与实函数不同）3） 乘幂与幂函数：abebLna a0 ； zbebLnzz0注：在除去原点及负实轴的z 平面内到处解析,且zbbzb 1 ；eize izeize izsin zcos z4） 三角函数 ： sin z,cos z2i, t gz2,ctgzcos zsin zsinz,cosz在 z 平面内解析,且sin zcos z, cos zsin z注：有界性 sin z1, cosz1 不再成立；（与实函数不同）eze zeze z4） 双曲函数shz,chz；22shz
5、奇 函 数 , c h z是 偶 函 数 ；s h,zc h在zz 平 面 内 解 析 , 且s h zc, h zc h z ；s h z（四）解析函数的概念1. 复变函数的导数1） 点可导 ：fz0=limz0fz0zfz0；z2） 区域可导 ：fz 在区域内点点可导；2. 解析函数的概念1） 点解析：fz 在z0 及其z0 的邻域内可导,称 fz 在z0 点解析；2） 区域解析：fz 在区域内每一点解析,称fz 在区域内解析；3） 如f z 在z0 点不解析,称z0 为 fz 的奇点 ；3. 解析函数的运算法就 ：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数
6、仍为解析函数；（五）函数可导与解析的充要条件1. 函数可导 的充要条件 ：fzu x, yivx, y 在 zxiy 可导ux, y和 v x, y在uv ,uvx, y可 微 , 且 在x, y处 满 足 CD 条 件 ：xyyx此时, 有 fzuiv ；xx2. 函数解析的充要条件 ：fzu x, yivx, y 在区域内解析u x, y和v x, y在x, y在 D内 可 微 , 且 满 足 CD条 件 ：uv ,uv ；xyyx此时 fzuiv ；xx留意： 如u x, y,v x, y 在区域 D 具有一阶连续偏导数, 就u x, y, v x, y在区域 D 内是可微的；因此在使用
7、充要条件证明时,只要能说明u, v 具有一阶连续偏导且满意CR 条件时, 函数是可导或解析的；f zuiv 肯定3. 函数可导与解析的判别方法1） 利用定义（题目要求用定义,如其次章习题1）2） 利用充要条件（函数以章习题 2）fzu x, yiv x, y 形式给出,如其次3） 利用可导或解析函数的四就运算定理；（函数 fz 是以 z的形式给出,如其次章习题3）（六）复变函数积分的概念与性质1. 复变函数积分的概念：nfz dzlimfkzk , c 是光滑曲线；cnk 1注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分；2. 复变函数积分的性质c1）fz dzc 1 fz dz（ c1 与 c 的
8、方向相反） ；c2）fzgzdzf z dzcg z dz,c是常数；3） 如曲线 c 由 c1 与c2 连接而成,就fz dzcfz dzc1fz dz；c23. 复变函数积分的一般运算法1） 化为线积分：fz dzudxvdyicvdxudy ；（常用于理论证明）cc2） 参数方法：设曲线c ：zz tt ,其中 对应曲线 c 的起点, 对应曲线 c 的终点,就fzd zcfzt z；td t（七）关于复变函数积分的重要定理与结论1. 柯西古萨基本定理 ： 设 fz 在单连域 B 内解析, c 为 B 内任一闭曲线,就fz dz0c2. 复合闭路定理 ： 设 fz 在多连域 D 内解析,
9、c 为 D 内任意一条简洁闭曲线,相交,并且以c1, c2 ,c1, c2,cn 是 c 内的简洁闭曲线,它们互不包含互不cn 为边界的区域全含于 D 内,就fz dzcnk 1 ckfz dz,其中 c 与ck 均取正向；fz dz0 ,其中 由 c 及c1 k1,2,n 所组成的复合闭路；3. 闭路变形原理： 一个在区域 D 内的解析函数fz 沿闭曲线 c 的积分,不因 c在 D 内作连续变形而转变它的值,只要在变形过程中c 不经过使 fz 不解析的奇点；4. 解析函数沿非闭曲线的积分： 设 fz 在单连域 B 内解析, G z为 fz 在 B 内的一个原函数, 就z2fz dzG z2z
10、1G z1 z1, z2B说明：解析函数 fz 沿非闭曲线的积分与积分路径无关,运算时只要求出原函数即可；5； 柯西积分公式 ： 设 fz 在区域 D 内解析, c 为 D 内任一正向简单 闭 曲 线 , c 的 内 部 完 全 属 于 D , z0 为 c 内 任 意 一 点 , 就fzdzc zz02 ifz06. 高阶导数公式 ： 解析函数 fz 的导数仍为解析函数,它的n 阶导数为n1fzdz2i f nzn1,20c zz0n.其中 c 为 fz 的解析区域 D 内环绕而且它的内部完全属于D ；7. 重要结论 ：z0 的任何一条正向简洁闭曲线,1c za n线）1 dz2i,0,n0
11、n0 ； （ c 是包含 a 的任意正向简洁闭曲8. 复变函数积分的运算方法1） 如 fz 在区域 D 内到处不解析,用一般积分法fz dzf z tczt dt2） 设 fz 在区域 D 内解析,c是 D 内一条正向简洁闭曲线, 就由柯西古萨定理,fz dz0cc是 D 内的一条非闭曲线,z1, z2 对应曲线 c 的起点和终点,就有z2fz dzfz dzFz2cz13） 设 fz 在区域 D 内不解析Fz1fzdz2 i fz0曲线 c 内仅有一个奇点 ：c zz0fz2in（ f z 在c 内解析）nc zz0 1 dzfz0n.曲线 c 内有多于一个奇点：fz dzcnk 1 ckf
12、z dz （ ci 内只有一个奇点 zk ）或： fz dzcn2 iResk 1f z, zk （留数基本定理）fzn如被积函数不能表示成 zzo 1 ,就须改用第五章留数定理来计算；（八）解析函数与调和函数的关系1. 调和函数 的概念： 如二元实函数x, y 在 D 内有二阶连续偏导数22且满意x2y20 , x,y 为D 内的调和函数；2. 解析函数与调和函数的关系解析函数 fzuiv 的实部 u 与虚部 v都是调和函数,并称虚部v为实部 u 的共轭调和函数；两个调和函数 u 与 v 构成的函数f zuiv 不肯定是解析函数； 但是如 u, v 假如满意柯西黎曼方程,就 uiv 肯定是解
13、析函数；3. 已知解析函数 fz 的实部或虚部, 求解析函数 fzuiv 的方法；1） 偏微分法 ：如已知实部 uu x, y ,利用 CR 条件,得v ,v ；对 vu 两边积分,得 v yxu dyg x xxy（ *）再对（ *）式两边对 x 求偏导,得 vudygxxxx（ * ）由CR 条件, uvyx,得 uudygx yxx,可求出g x ；代入（ *）式,可求得虚部 vudygx；x2 ） 线 积 分 法 ： 如 已 知 实 部 uu,xy, 利 用 CR 条 件 可 得vvuudvdxdy xyy dxx dy ,故虚部为 vx,yu dxu dyc ；x0 , y 0yx由
14、于该积分与路径无关,可选取简洁路径（如折线）运算它,其中 x0 , y0 与 x, y是解析区域中的两点；3） 不定积分法 ：如已知实部和CR 条件得知,uu x, y ,依据解析函数的导数公式fzuivuiuxyxy将此式右端表示成 z 的函数 Uz ,由于 fz 仍为解析函数,故fzUz dzc（ c为实常数）注：如已知虚部 v也可用类似方法求出实部u.（九）复数项级数1. 复数列的极限1） 复数列 n anibn （ n1,2）收敛于复数abi 的充要条件为lim ana,lim bnb（同时成立）2） 复数列 nnn 收敛实数列 an,bn 同时收敛；2. 复数项级数1） 复数项级数n
15、 nn 0anibn 收敛的充要条件是级数an 与n 0nbn 同0时收敛；n2） 级数收敛的必要条件是limn0 ；注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的争论；（十）幂级数的敛散性1. 幂级数的概念 ：表达式cn zz0或nn 0nc znn0为幂级数；2. 幂级数的敛散性1） 幂级数的收敛定理 阿贝尔定理 Abel：假如幂级数c zn 在 z0n0n 0处收敛,那么对满意zz0的一切 z ,该级数肯定收敛；假如在z0 处发散,那么对满意2） 幂级数的收敛域 圆域zz0的一切 z ,级数必发散；幂级数在收敛圆域内,肯定收敛；在圆域外, 发散； 在收敛圆的圆周上可能收敛；
16、也可能发散；3） 收敛半径的求法 ： 收敛圆的半径称收敛半径；比值法假如limncn 1cn0 ,就收敛半径 R1 ；n根值法limcn0 ,就收敛半径R1 ；假如0 ,就 R；说明在整个复平面上到处收敛；假如,就 R0 ；说明仅在zz0 或 z0 点收敛；注：如幂级数有缺项时, 不能直接套用公式求收敛半径； （ 如c z2n ）nn 03. 幂级数 的性质nn121 ） 代 数 性 质 ： 设a zn ,b zn的 收 敛 半 径 分 别 为R 与 R, 记n 0n 0RminR1, R2 ,就当 zR时,有abzna znb zn（线性运算）nnnnn 0n 0n 0nnna zn b z
17、na baba bzn（乘积运算）0n1 10nn 0n 0n 02） 复合性质 ：设当r 时,fann ,当 zR时,g z 解析n 0且 gzr ,就当 zR时,f g z an gzn 0n ；3） 分析运算性质 ：设幂级数a znnn 0的收敛半径为R0 ,就其和函数fza zn是收敛圆内的解析函数；nn 0在收敛圆 内可 逐项求导,收 敛半径不变； 且fzna zn 1nn 0zR在收敛圆内可逐项求积,收敛半径不变；zfz dz0anzn 1n 0 n1zR（十一） 幂函数的泰勒绽开1. 泰勒绽开： 设函数 fz 在圆域zz0nR内解析,就在此圆域内fzn可以绽开成幂级数fzfz0
18、n 0n.zz0；并且此绽开式是唯独的；注：如 fz 在z0 解析,就 fz 在z0 的泰勒绽开式成立的圆域的收敛半径 Rz0a ；其中 R 为从z0 到 fz 的距z0 最近一个奇点 a 之间的距离；2. 常用函数在 z00 的泰勒绽开式1） ez1 zn1zzzzz23nn 0 n.2.3.n.2） 11zzn1n 0zz2znz1 1nz3z5 1n3） sin zz2n 1zz2n 1zzn 0 2n1.3.5.2 n1.1n2nz2z44） coszz1 1n2nn 0 2n.2.4.2n.z3. 解析函数绽开成泰勒级数的方法1） 直接法：直接求出 c1 f nz,于是fzczz；n
19、n0n0n.n02） 间接法：利用已知函数的泰勒绽开式及幂级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数绽开；n（十二）幂函数的洛朗绽开1. 洛朗级数 的概念：ncnzz0, 含正幂项和负幂项；2. 洛朗绽开定理 ：设函数 fz 在圆环域 R1zz0R2 内到处解析,c为圆环域内绕 z0 的任意一条正向简洁闭曲线,就在此在圆环域内,有fzcnnnzz0,且绽开式唯独；3. 解析函数的洛朗绽开法：洛朗级数一般只能用间接法绽开；*4 利用洛朗级数求围线积分：设fz 在rzz0R 内解析, c 为rzz0R内的任何一条正向简洁闭曲线,就fz dzc2 ic1 ；其中c 1 为f z 在rz
20、z0R内洛朗绽开式中1zz0的系数；说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗绽开式中数；（十三）孤立奇点的概念与分类 zz0 1 的系1； 孤立奇点的定义： fz 在析；z0 点不解析 ,但在z0 的 0zz0内解2；孤立奇点的类型：1 ） 可 去 奇 点 ： 展 开 式 中 不 含zz0的 负 幂 项 ；fzc0c1zz02c2zz02） 极点：绽开式中含有限项zz0 的负幂项；fzc mc m 1c 1cc zz c zz 2g z, zz m zzm 1 zz 01020 zz m0000其中 g zcczz c zzm 1c zz m在 z 解析,m且 gz00, m1, cm 1010
21、000m0 ；3） 本性奇点 ：绽开式中含无穷多项zz0 的负幂项；fzc mc 1cczz c zz m zz m zz 010m000（十四） 孤立奇点的判别方法1. 可去奇点：limzz0fzc0 常数；2. 极点：limfzzz03. 本性奇点：limzz0fz 不存在且不为；4. 零点与极点的关系1） ） 零 点 的 概 念 ： 不恒 为 零 的 解 析 函 数 fz, 如 果 能 表 示 成mfz zz0 z ,其中z 在 z0 解析,z00, m为正整数,称z0 为 fz 的m 级零点；2） 零点级数判别的充要条件z0 是 fz 的 m级零点fz0nmfz00,n01,2,m13
22、） 零点与极点的关系：z0 是 fz 的m 级零点z 是 1的m 级极点；0fz4） 重要结论如 za 分别是z 与z 的 m 级与 n 级零点,就za 是 zz 的 mn级零点；当 mn 时, za 是zz 的 mn级零点；当 mn 时, za 是zz的nm级极点；当 mn 时, za 是zz的可去奇点；当 mn 时, za 是zz 的 l 级零点, lmin m, n当 mn 时, za 是zz 的l 级零点,其中（十五）留数的概念lmn1. 留数 的定义： 设z0 为 fz 的孤立奇点,fz 在z0 的去心邻域0zz0内解析, c 为该域内包含z0 的任一正向简洁闭曲线, 就称积 分 1
23、2ifzd z为cfz在z0的 留 数 （ 或 残 留 ）, 记 作0Res fz, z 1fz dz2ic2. 留数的运算方法如 z0 是 fz 的孤立奇点, 就Re s fz, z 0c 1 ,其中c 1 为 fz 在z0 的去心邻域内洛朗绽开式中zz01 的系数；1） 可去奇点处的留数：如2） m 级极点处的留数z0 是 fz 的可去奇点,就Re s fz, z 00法就 I如 z0 是 fz 的 m 级极点 ,就1d m 1Res fz, z lim zzm fz 0m1) . zz0dzm 10特殊地,如z0 是 fz 的一级极点,就Res fz, z 0limzz0zz0 fz注：
24、 假如极点的实际级数比m低,上述规章仍旧有效；法就 II设 fzP z , P z Q z,Q z 在 z0 解析,P z00,Q z0, Qz0,就P zRe s, z P z0Q z0Qz000（十六） 留数基本定理设 fz 在区域 D 内除有限个孤立奇点z1, z2, zn 外到处解析, c为 D内 包 围 诸 奇 点 的 一 条 正 向 简 单 闭 曲 线 , 就fz dzc2iRe s fzn 1, zn 说明： 留数定理把求沿简洁闭曲线积分的整体问题转化为求被积函数 fz 在c 内各孤立奇点处留数的局部问题；积分变换复习提纲一、傅里叶变换的概念F ft f t ej wt dtF
25、wF 1 F 12F ej t dft 二、几个 常用函数的傅里叶变换F et 1jF ut 1jF t 1F 12三、傅里叶变换的性质位移性（时域） ：0F f tt0 e jwt 0F f t位移性（频域） ：F ej w0tf tF ww w wF ww0 位移性推论：F sinw t f t 1 F ww F ww 0002 j位移性推论：F cos w t f t1 F ww F ww 0002微分性（时域） ：F ftjw F w（ t, f t0 ）,F f n tjwn F w , t, f n1 t 0微分性（频域） ：Fjt ft Fw , Fjt nf t F n w相像
26、性：F fat 1wF a0aa四、 拉普拉斯变换 的概念L f t f t e0stdtF s五、几个 常用函数的拉普拉斯变换L ekt 1；skL t m m1m. m 是自然数 ；（111,m1m m ）L utsm 1L1sm 121 ； sLt 1Lsinktk,s2k 2Lcos ktss2k 2Ls hkt ks2k 2 ,Lchktss2k 2设 f tT f t ,就L ft11e TsT0 ft dt ；（f t 是以 T 为周期的周期函数）六、拉普拉斯变换的性质微分性（时域） ：L ft sF sf0 , L ft s2F ssf 0f 0微分性（频域 ）：Ltft F s,Lt n ft F ns积分性（时域 ）： LtFsft dt 0s积分性（频域 ）：ftsLtFs ds （收敛）位移性（时域 ）：Leat ft F sa位移性（频域 ）：L fte sF s （0 ,t0, ft 0 ）相像性：L fat 1sF a0aa七、卷积及 卷积定理f1 t *f 2tf1 f2 t dF f1tf2 t F1wF2 wF ft f t1 F wF w12122L f1t f 2tF1 sF2 s八、几个积分公式f t t dtf 0f ttt0dtf t0 f tdtLf t dsF sds 15s k0t00f te0kt dtL f t