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1、复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：zxiy，,x y是实数 , Re,Imxzyz.21i. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示1）模：22zxy；2）幅角 ：在0z时，矢量与x轴正向的夹角，记为Arg z（多值函数） ；主值arg z是位于(,中的幅角。3）arg z与arctanyx之间的关系如下：当0,xargarctanyzx；当0,argarctan0,0,argarctanyyzxxyyzx；4）三角表示 ：cossinzzi，其中arg z；注：中间一定是“ +”号。5）指数表示 ：izz e，其中arg z。(二) 复数的运算1.
2、加减法 ：若111222,zxiyzxiy，则121212zzxxi yy2.乘除法 ：1）若111222,zxiy zxiy，则1212122112z zx xy yi x yx y；112211112121221222222222222222xiyxiyzxiyx xy yy xy xizxiyxiyxiyxyxy。2）若121122,iizz ezz e, 则精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 121212iz zz z e；
3、121122izzezz3.乘幂与方根1）若(cossin )izziz e，则(cossin)nnninzzninz e。2）若(cossin )izziz e，则122cossin(0,1,21)nnkkzziknnn（有n个相异的值）（三）复变函数1复变函数：wfz，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射 .2复初等函数1）指数函数 ：cossinzxeeyiy，在z平面处处可导，处处解析；且zzee。注：ze是以2 i为周期的周期函数。 （注意与实函数不同）3）对数函数 ：ln(arg2)Lnzzizk(0,1, 2)k（多值函数）；主值 ：lnlnarg
4、zziz。 （单值函数）Lnz的每一个主值分支ln z在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且1lnzz；注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）3）乘幂与幂函数：(0)bbLnaaea；(0)bbLnzzez注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且1bbzbz。4）三角函数 ：sincossin,cos,t,22cossinizizizizeeeezzzzgzctgzizzsin ,coszz在z平面内解析，且sincos , cossinzzzz精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2
5、页，共 17 页 - - - - - - - - - - 注：有界性sin1, cos1zz不再成立；（与实函数不同）4）双曲函数,22zzzzeeeeshzchz；shz奇 函 数 ，c h z是 偶 函 数 。,s h z c h z在z平 面 内 解 析 ， 且,s h zc h zc h zs h z。（四）解析函数的概念1复变函数的导数1）点可导 ：0fz=000limzfzzfzz；2）区域可导 ：fz在区域内点点可导。2解析函数的概念1）点解析：fz在0z及其0z的邻域内可导，称fz在0z点解析；2）区域解析：fz在区域内每一点解析，称fz在区域内解析；3）若( )f z在0z点
6、不解析，称0z为fz的奇点 ；3解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；（五）函数可导与解析的充要条件1函数可导 的充要条件 ：,fzu x yiv x y在zxiy可导,u x y和,v x y在, x y可 微 ， 且 在, x y处 满 足CD条 件 ：,uvuvxyyx此时，有uvfzixx。2函数解析的充要条件：,fzu x yiv x y在区域内解析,u x y和,v x y在, x y在D内 可 微 ， 且 满 足CD条 件 ：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载
7、名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - - - ,uvuvxyyx；此时uvfzixx。注意： 若,u x yv x y在区域D具有一阶连续偏导数，则,u x yv x y在区域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明,u v具有一阶连续偏导且满足CR条件时，函数( )f zuiv一定是可导或解析的。3函数可导与解析的判别方法1）利用定义（题目要求用定义，如第二章习题1）2）利用充要条件（函数以,fzu x yiv x y形式给出，如第二章习题 2）3）利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数fz是以z的形式给出，如第
8、二章习题3）（六）复变函数积分的概念与性质1复变函数积分的概念：1limnkkcnkfz dzfz，c是光滑曲线。注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。2复变函数积分的性质1）1ccfz dzfz dz（1c与c的方向相反）；2）,cccfzg z dzfz dzg z dz是常数；3） 若曲线c由1c与2c连接而成，则12cccfz dzfz dzfz dz。3复变函数积分的一般计算法精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 1）化
9、为线积分：cccfz dzudxvdyivdxudy； （常用于理论证明）2）参数方法：设曲线c：()zz tt，其中对应曲线c的起点，对应曲线c的终点，则( )cfzd zfztztd t。（七）关于复变函数积分的重要定理与结论1柯西古萨基本定理：设fz在单连域B内解析，c为B内任一闭曲线，则0cfz dz2复合闭路定理 ：设fz在多连域D内解析，c为D内任意一条简单闭曲线，12,nc cc是c内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以12,nc cc为边界的区域全含于D内，则cfz dz1,knkcfz dz其中c与kc均取正向；0fz dz，其中由c及1(1,2,)ckn所组成的复合闭
10、路。3 闭路变形原理： 一个在区域D内的解析函数fz沿闭曲线c的积分，不因c在D内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中c不经过使fz不解析的奇点。4解析函数沿非闭曲线的积分： 设fz在单连域B内解析，G z为fz在B内的一个原函数， 则212112(,)zzfz dz G zG zz zB说明：解析函数fz沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。5。 柯西积分公式 ：设fz在区域D内解析，c为D内任一正向简单 闭 曲 线 ，c的 内 部 完 全 属 于D，0z为c内 任 意 一 点 ， 则002cfzdzifzzz精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - -
11、 - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 6高阶导数公式 ：解析函数fz的导数仍为解析函数，它的n阶导数为0102(1,2)()!nncfzidzfznzzn其中c为fz的解析区域D内围绕0z的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于D。7重要结论 ：12,010,0()ncindznza。（c是包含a的任意正向简单闭曲线）8复变函数积分的计算方法1）若fz在区域D内处处不解析，用一般积分法cfz dzf z tz t dt2）设fz在区域D内解析，c是D内一条正向简单闭曲线，则由柯西古萨定
12、理，0cfz dzc是D内的一条非闭曲线，12,z z对应曲线c的起点和终点，则有2121zczfz dzfz dzF zF z3）设fz在区域D内不解析曲线c内仅有一个奇点：0001022()!cnncfzdzi fzzzfzidzfzzzn（( )f z在c内解析）曲线c内有多于一个奇点：cfz dz1knkcfz dz（ic内只有一个奇点kz）或：12Re ( ),nkkcfz dzis f z z（留数基本定理）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 17 页 - - - -
13、- - - - - - 若被积函数不能表示成1()nofzzz，则须改用第五章留数定理来计算。（八）解析函数与调和函数的关系1调和函数 的概念： 若二元实函数( , )x y在D内有二阶连续偏导数且满足22220 xy，( ,)x y为D内的调和函数。2解析函数与调和函数的关系解析函数fzuiv的实部u与虚部v都是调和函数，并称虚部v为实部u的共轭调和函数。两个调和函数u与v构成的函数( )f zuiv不一定是解析函数；但是若,u v如果满足柯西黎曼方程，则uiv一定是解析函数。3 已知解析函数fz的实部或虚部， 求解析函数fzuiv的方法。1）偏微分法 ：若已知实部,uu x y，利用CR条
14、件，得,vvxy；对vuyx两边积分，得uvdyg xx（*）再对（ *）式两边对x求偏导，得vudygxxxx（*）由CR条件，uvyx，得uudygxyxx，可求出g x；代入（ *）式，可求得虚部uvdyg xx。2） 线 积 分 法 ： 若 已 知 实 部,uux y， 利 用CR条 件 可 得vvuudvdxdydxdyxyyx，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 故虚部为00,x yxyuuvdxdycyx；由于该积分与
15、路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中00,xy与, x y是解析区域中的两点。3）不定积分法 ：若已知实部,uu x y，根据解析函数的导数公式和CR条件得知，uvuufziixyxy将此式右端表示成z的函数U z，由于fz仍为解析函数，故fzUz dzc（c为实常数）注：若已知虚部v也可用类似方法求出实部. u（九）复数项级数1复数列的极限1）复数列nnnaib（1,2n）收敛于复数abi的充要条件为lim,limnnnnaabb（同时成立）2）复数列n收敛实数列,nnab同时收敛。2复数项级数1）复数项级数0()nnnnnaib收敛的充要条件是级数0nna与0nnb同时收敛；2）
16、级数收敛的必要条件是lim0nn。注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。（十）幂级数的敛散性精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 1幂级数的概念 ：表达式00()nnnczz或0nnnc z为幂级数。2幂级数的敛散性1） 幂级数的收敛定理阿贝尔定理 (Abel)： 如果幂级数0nnnc z在00z处收敛，那么对满足0zz的一切z，该级数绝对收敛；如果在0z处发散，那么对满足0zz的一切z，级数必发散。2）幂
17、级数的收敛域圆域幂级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外， 发散； 在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散。3）收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。比值法如果1lim0nnncc，则收敛半径1R；根值法lim0nnc，则收敛半径1R；如果0，则R；说明在整个复平面上处处收敛；如果，则0R；说明仅在0zz或0z点收敛；注： 若幂级数有缺项时， 不能直接套用公式求收敛半径。 （如20nnnc z）3幂级数 的性质1） 代 数 性 质 ： 设00,nnnnnna zb z的 收 敛 半 径 分 别 为1R与2R， 记12min,RR R，则当zR时，有000()nnnnnnnnnnabza zb z
18、（线性运算）01 10000()()()nnnnnnnnnnna zb za baba bz（乘积运算）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 2）复合性质 ：设当r时，0nnnfa，当zR时，g z解析且g zr，则当zR时，0nnnf g za g z。3）分析运算性质 ：设幂级数0nnna z的收敛半径为0R，则其和函数0nnnfza z是收敛圆内的解析函数；在收敛圆内可 逐项求导，收 敛半径不变； 且10nnnfzna zzR在
19、收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变；1001znnnafz dzznzR（十一） 幂函数的泰勒展开1. 泰勒展开：设函数fz在圆域0zzR内解析，则在此圆域内fz可以展开成幂级数000!nnnfzfzzzn； 并且此展开式是唯一的。注：若fz在0z解析，则fz在0z的泰勒展开式成立的圆域的收敛半径0Rza；其中R为从0z到fz的距0z最近一个奇点a之间的距离。2常用函数在00z的泰勒展开式1）23011!2!3!nznnzzzezznnz2）20111nnnzzzzz1z精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - -
20、 - -第 10 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 3）3521210( 1)( 1)sin(21)!3!5!(21)!nnnnnzzzzzznnz4）24220( 1)( 1)cos1(2 )!2!4!(2 )!nnnnnzzzzznnz3解析函数展开成泰勒级数的方法1）直接法：直接求出01!nncfzn，于是00nnnfzczz。2）间接法：利用已知函数的泰勒展开式及幂级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数展开。（十二）幂函数的洛朗展开1. 洛朗级数 的概念：0nnnczz，含正幂项和负幂项。2洛朗展开定理：设函数fz在圆环域102RzzR内处处解
21、析，c为圆环域内绕0z的任意一条正向简单闭曲线，则在此在圆环域内，有0nnnfzczz，且展开式唯一。3解析函数的洛朗展开法：洛朗级数一般只能用间接法展开。*4利用洛朗级数求围线积分：设fz在0rzzR内解析，c为0rzzR内的任何一条正向简单闭曲线，则12cfz dzic。其中1c为( )f z在0rzzR内洛朗展开式中01zz的系数。说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中10()zz的系数。（十三）孤立奇点的概念与分类1。 孤立奇点的定义：fz在0z点不解析 ,但在0z的00zz内解析。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳
22、- - - - - - - - - -第 11 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 2。孤立奇点的类型：1 ） 可 去 奇 点 ： 展 开 式 中 不 含0zz的 负 幂 项 ；201020fzcczzczz2）极点 ：展开式中含有限项0zz的负幂项；(1)21010201000()()()()()mmmmcccfzcc zzczzzzzzzz0,()mg zzz其中1(1)01000()()()mmmmg zcczzczzczz在0z解析，且00,1,0mg zmc；3）本性奇点 ：展开式中含无穷多项0zz的负幂项；1010000()()()()mmmmccfzcczz
23、czzzzzz（十四） 孤立奇点的判别方法1可去奇点：00limzzfzc常数；2极点：0limzzfz3本性奇点：0limzzfz不存在且不为。4零点与极点的关系1） 零 点 的 概 念 ： 不 恒 为 零 的 解 析 函 数fz， 如 果 能 表 示 成0()mfzzzz，其中z在0z解析，00,zm为正整数，称0z为fz的m级零点；2）零点级数判别的充要条件0z是fz的m级零点000,(1,2,1)0nmfznmfz3） 零点与极点的关系：0z是fz的m级零点0z是1f z的m级极点；4）重要结论精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归
24、纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 若za分别是z与z的m级与n级零点，则za是zz的mn级零点；当mn时，za是zz的mn级零点；当mn时，za是zz的nm级极点；当mn时，za是zz的可去奇点；当mn时，za是zz的l级零点，min(, )lm n当mn时，za是zz的l级零点，其中( )lm n（十五）留数的概念1留数 的定义： 设0z为fz的孤立奇点，fz在0z的去心邻域00zz内解析，c为该域内包含0z的任一正向简单闭曲线，则称积 分12cfzd zi为fz在0z的 留 数 （ 或 残 留 ）， 记 作0Re
25、,s fzz12cfz dzi2留数的计算方法若0z是fz的孤立奇点， 则0Re ,s fzz1c， 其中1c为fz在0z的去心邻域内洛朗展开式中10()zz的系数。1）可去奇点处的留数：若0z是fz的可去奇点，则0Re ,s fzz02）m级极点处的留数法则 I若0z是fz的m级极点 ，则0Re ,s fzz01011lim()(1)!mmmzzdzzfzmdz特别地，若0z是fz的一级极点，则0Re ,s fzz00lim()zzzzfz精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 1
26、7 页 - - - - - - - - - - 注： 如果极点的实际级数比m低，上述规则仍然有效。法则 II 设P zfzQ z，,P z Q z在0z解析，00,P z000,0Q zQz，则000Re ,P zP zszQ zQz（十六） 留数基本定理设fz在区域D内除有限个孤立奇点12,nz zz外处处解析，c为D内 包 围 诸 奇 点 的 一 条 正 向 简 单 闭 曲 线 ， 则12Re ,ncnfz dzis fzz说明： 留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积函数fz在c内各孤立奇点处留数的局部问题。积分变换复习提纲一、傅里叶变换的概念( )( )( )jwtF f
27、tf t edtF w11()()( )2jtFFFedf t二、几个 常用函数的傅里叶变换1 ( )F e tj精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 1 ( )()F u tj ( )1Ft12()F三、傅里叶变换的性质位移性（时域） ：00()jwtF f tte( )F f t位移性（频域） ：000( )()()j w tw w wF ef tF wF ww位移性推论：0001sin( )()()2Fw t f tF wwF
28、 wwj位移性推论：0001cos( )()()2Fw t f tF wwF ww微分性（时域） ：( )()( )F ftjw F w（,( )0tf t） ，( )( )()( )nnF ftjwF w，(1),( )0ntft微分性（频域） ：( )(),()( )( )nnFjt ftFwFjtf tFw相似性：1()()wF f atFaa(0)a四、 拉普拉斯变换 的概念0( )( )( )stL f tf t edtF s五、几个 常用函数的拉普拉斯变换1ktL esk；11(1)!(mmmmmL tmss是自然数)； （1(1)1, (),(1)()2mmm）1 ( )1L u
29、 tLs；( )1Lt2222sin,cosksLktLktsksk2222s,ksLhktL chktsksk设()( )f tTf t，则01 ()()1TTsL f tf t dte。 （( )f t是以T为周期的周期精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 函数）六、拉普拉斯变换的性质微分性（时域） ：20 , ( )( )(0)(0)L ftsF sfL fts F ssff微分性（频域 ） ： ( )L tftF s，( )
30、()nnLtf tFs积分性（时域 ） ：0tF sLft dts积分性（频域 ） ：sftLFs dst（收敛）位移性（时域 ） ：atL ef tF sa位移性（频域 ） ：sL fteF s（0,0,( )0tf t）相似性：1()()sL f atFaa(0)a七、卷积及 卷积定理1212( )*( )( )()f tftfftd1212( )( )( )()F ftftF wF w12121( )( )()()2F ftftFwFw1212( )( )( )( )L f tftF sF s八、几个积分公式( ) ( )(0)f tt dtf00( ) ()()f ttt dtf t0
31、00( )( )( )f tdtL f tdsF s dst15 0( )( )kts kf t edtL f t精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 17 页 - - - - - - - - - -