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1、学习资料收集于网络,仅供参考概率论与数理统计第一章概率论的基本概念 2样本空间、随机大事学习资料1. 大事间的关系AB就称大事 B 包含大事 A,指大事 A 发生必定导致大事B 发生AB x xA或xB 称为大事 A 与大事 B 的和大事,指当且仅当A, B 中至少有一个发生时,大事AB 发生时发生时,大事AB x xA B 发生A且xB 称为大事 A 与大事 B 的积大事, 指当 A,B 同A B x xA且xB 称为大事 A 与大事 B 的差大事,指当且仅当A 发生、 B不发生时,大事A B发生AB,就称大事 A 与 B 是互不相容的,或互斥的,指大事 A 与大事B 不能同时发生,基本领件
2、是两两互不相容的ABS且 AB,就称大事 A 与大事 B 互为逆大事,又称大事A与大事 B 互为对立大事2. 运算规章 交换律 A结合律 AB BBCA ABBAA BC AB) CA BC安排律 A （ BC） AB) ACABC) AB AC徳摩根律 ABA 3频率与概率B ABAB定义在相同的条件下,进行了n 次试验,在这n 次试验中,大事 A 发生的次数n A 称为事件 A 发生的 频数,比值 n An 称为大事 A 发生的 频率概率：设 E 是随机试验, S 是它的样本空间, 对于 E的每一大事 A 给予一个实数, 记为 P（ A）,称为大事的概率1. 概率 P A 满意以下条件：（
3、 1） 非负性 ：对于每一个大事A0P A1（ 2） 规范性 ：对于必定大事 SPS1（ 3）可列可加性 ：设A1, A2 , An 是两两互不相容的大事, 有nPAk k 1nP Ak （ n 可k 1以取）2. 概率的一些重要性质：（ i ） P 0（ ii）如A1, A2 , An 是两两互不相容的大事,就有nPAk k 1nP Ak （ n 可以取）k 1（ iii）设 A, B 是两个大事如AB ,就P BAP BP A ,PBPA （ iv ）对于任意大事 A, P A1（ v） P A1P A（逆大事的概率）（ vi ）对于任意大事 A, B有P ABP AP BP AB 4 等
4、可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素,试验中每个大事发生的可能性相同eiA如 事 件A包 含k个 基 本 事 件 , 即1 ei ei , 里2ki 1, i 2, i k是1,2,n中某 k个不同的数,就有P AkP ei j j 1k A包 含 的 基 本 事 件 数nS中 基 本 事 件 的 总 数 5条件概率（ 1） 定义：设 A,B 是两个大事,且P A0 ,称PB | AP ABP A为大事 A 发生的条件下大事 B 发生的 条件概率（ 2） 条件概率符合概率定义中的三个条件；1 非负性：对于某一大事B,有 P B | A02；规范性：对于必定大事S, P
5、S | A13可 列 可 加 性 ： 设B1 , B2 ,是 两 两 互 不 相 容 的 事 件 , 就 有PBi A i 1P Bi A i 1（ 3） 乘法定理设 P A0 ,就有P ABP BP A | B 称为乘法公式（ 4） 全概率公式：PAnP Bi P A | Bi i 1贝叶斯公式：PBk| AP Bk P A | Bk n 6独立性PBi P A | Bi i 1定义设 A, B 是两大事,假如满意等式P ABP APB ,就称大事 A,B 相互独立定理一设 A, B 是两大事,且P A0 ,如 A, B 相互独立,就PB | AP B定理二如大事 A 和 B 相互独立,就以
6、下各对大事也相互独立：A 与 B ,A 与B ,A 与B其次章随机变量及其分布 1 随机变量定义设随机试验的样本空间为Se.XXe是定义在样本空间S 上的实值单值函数,称 XXe为随机变量 2 离散性随机变量及其分布律1. 离散随机变量：有些随机变量,它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个,这种随机变量称为离散型随机变量P Xxk pk 满意如下两个条件（ 1） pk0 ,（ 2）Pk =1k 12. 三种重要的离散型随机变量（ 1）分布设 随 机 变 量X只 能 取0与1两 个 值 , 它 的 分 布 律 是P Xk p（k1 - p）1-k, k0,1 （0p1,就称 X 听从以 p 为
7、参数的分布或两点分布；（ 2）伯努利试验、二项分布设试验 E只有两个可能结果： A与 A ,就称 E为伯努利试验 . 设 PAp（0p1 ,此时 PA 1 - p . 将 E 独立重复的进行n 次,就称这一串重复的独立试验为n 重伯努利试验；PXk n pk q n-k, k k0,1,2,n 满意条件 （1） pk0 ,（ 2）kPk =1 留意到1n p k q n-k 是二项式（ p kq）n 的绽开式中显现p k 的那一项,我们称随机变量X 听从参数为n, p 的二项分布；（ 3）泊松分布设 随 机 变 量 X所 有 可 能 取 的 值 为 0,1,2 , 而 取 各 个 值 的 概
8、率 为P Xkk e-, kk.0,1,2, 其中0 是常数,就称 X 听从参数为的泊松分布记为X （ ） 3 随机变量的分布函数定义设 X 是一个随机变量,x 是任意实数,函数FxPXx,-x称为 X 的分布函数分 布 函 数F xP Xx , 具 有 以 下 性 质 1F x是 一 个 不 减 函 数（ 2 ）0 F x1,且 F 0, F 1（ 3） F x0F x, 即F x是右连续的 4 连续性随机变量及其概率密度连续随机变量：假如对于随机变量X 的分布函数 F（ x ）,存在非负可积函数f x ,使对于任意函数 x 有F xx-f（ t） dt,就称 x为连续性随机变量,其中函数f
9、x称为 X 的概率密度函数,简称概率密度1 概率密度（ 3）f x具有以下性质,满意（ 1）x2f x0, 2-f xdx1；,Px1Xx2f xdx ；（ 4）如x1f x在点 x 处连续,就有F xf x2, 三种重要的连续型随机变量(1) 匀称分布如连续性随机变量X 具有概率密度f x1,a b - axb ,就成 X 在区间 a,b 上服0,其他从匀称分布 . 记为 X (2) 指数分布U（ a, b）如连续性随机变量X 的概率密度为f x1 e-x, x.0其中0 为常数,就称 X0,其他听从参数为的指数分布；（ 3）正态分布如连续型随机变量X的概率密度为f x x）221e2,-x
10、,2其中 , （0为常数,就称X听从参数为, 的正态分布或高斯分布,记为X N（ , 2）特殊,当0,1时称随机变量X 听从标准正态分布 5 随机变量的函数的分布定理设随机变量X 具有概率密度f x x,-x , 又设函数g x到处可导且恒有,g x0, 就Y=g X 是 连 续 型 随 机变 量 , 其 概 率 密 度 为fY yf X h y0h, y ,y, 其他第三章多维随机变量 1 二维随机变量定义 设 E是一个随机试验,它的样本空间是Se.XXe 和 YYe是定义在 S 上的随机变量,称 XXe 为随机变量,由它们构成的一个向量（X, Y）叫做二维随机变量设 （ X , Y ） 是
11、 二 维 随 机 变 量 , 对 于 任 意 实 数 x , y , 二 元 函 数F（ x,y）PXxYy 记成PXx, Yy 称为二维随机变量 （ X,Y）的分布函数假如二维随机变量 （ X,Y）全部可能取到的值是有限对或可列无限多对,就称（ X,Y）是离散型的随机变量；我们称P Xxi,Yy j pij,i, j1,2,为二维离散型随机变量（X,Y）的分布律；对于二维随机变量 （ X,Y）的分布函数F（ x, y）,假如存在非负可积函数f（ x ,y）,使对于任意 x, y 有 F（ x, y）yxf （ u, v） dudv,就称（ X, Y）是连续性的随机变量,-函数 f（ x,y）
12、称为随机变量（ X,Y）的概率密度,或称为随机变量X 和 Y 的联合概率密度； 2 边缘分布二维随机变量（ X, Y）作为一个整体,具有分布函数F（ x, y）. 而 X 和 Y 都是随机变量,各自也有分布函数,将他们分别记为F（Xx, F（Yy）,依次称为二维随机变量（X, Y）关于 X 和关于 Y 的边缘分布函数；pip ijj 1PXx i , i1,2,p jpiji 1PYy i ,j1,2,分别称 pip j 为（ X, Y）关于 X 和关于 Y 的边缘分布律；f X xf x, y） dyfY yf x, y）dx 分别称f X x ,fY y 为 X, Y 关于 X 和关于 Y
13、 的边缘概率密度 ； 3 条件分布定义设（ X, Y）是二维离散型随机变量,对于固定的j ,如PYy j 0,就称 P Xxi Yyj P Xxi ,Yy j pij, i1,2,为在 Yy j 条件下PYyj p j随机变量 X 的条件分布律, 同样PYy j XXi P Xxi ,Yy j pij , j1,2,P Xxi pi为在 Xxi 条件下随机变量 X 的条件分布律；设二维离散型随机变量（X,Y）的概率密度为f x, y ,（ X,Y）关于 Y 的边缘概率密度为 fY y ,如对于固定的 y,fY y 0,就称f x, y fY y为在 Y=y 的条件下 X 的条件概率密f x,
14、y度,记为f X Y x y =fY y 4 相互独立的随机变量定义 设 F（ x, y）及 FX x , FY y 分别是二维离散型随机变量（X, Y）的分布函数及边缘分布函数 . 如对于全部 x,y有 P Xx,YyP XxPYy ,即F x, yFX xFY y ,就称随机变量X 和 Y 是相互独立的；对于二维正态随机变量（X, Y）, X 和 Y 相互独立的充要条件是参数 0 5 两个随机变量的函数的分布1,Z=X+Y的分布设 X,Y 是二维连续型随机变量,它具有概率密度f x, y . 就 Z=X+Y仍为连续性随机变量,其概率密度为f X Y zf zy, y） dy 或f X Y
15、zf x, zx）dx又如 X 和 Y 相互独立,设（ X, Y）关于 X, Y 的边缘密度分别为f X x,fY y 就f X Y zf X zy） f（Yy) dy和 f XY zf X x） fY zxdx 这两个公式称为f X ,fY 的卷积公式有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍旧听从正态分布Y2, Z的分布、 ZXXY的分布设X,Y 是二维连续型随机变量,它具有概率密度仍为连续性随机变量其概率密度分别为f x, y ,就ZY ,ZXY XfY X zx f x, xz dxf XY z1zf x, dx 又如 X 和 Y 相互独立,设（ X, Y）关xx于 X, Y 的边缘密度
16、分别为f X x,fY y 就可化为fY X zf X xfY xzdxf XY z1f X xxfY z) dx x3 MmaxX ,Y 及NminX ,Y的分布设 X, Y 是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为FX x, FY y 由于M maxX ,Y不大于 z 等价于 X 和 Y都不大于 z 故有PMzPXz,Yz 又由于 X 和 Y 相互独立,得到 MmaxX ,Y的分布函数为Fmax zFX zFY zN minX,Y 的分布函数为Fminz11FX z 1FY z第四章随机变量的数字特点 1数学期望定义设离散型随机变量X 的分布律为P Xxk pk ,k=1,2 ,如级
17、数xk pk 肯定k 1收敛,就称级数xk pkk 1的和为随机变量 X 的数学期望,记为E X ,即E X xk pki设连续型随机变量X 的概率密度为f x,如积分xf x dx 肯定收敛,就称积分xf xdx 的值为随机变量 X 的数学期望,记为E X ,即E X xf x dx定理设 Y 是随机变量 X的函数 Y= g X g 是连续函数 （ i ）假如 X 是离散型随机变量 ,它的分布律为P Xx k pk ,k=1,2 ,如g xk）pkk 1肯定收敛就有E Y Eg X g xk）pkk 1（ ii）假如 X 是连续型随机变量 ,它的分概率密度为f x ,如g xf xdx 肯定
18、收敛就有 EY E g X g x f xdx数学期望的几个重要性质1 设 C是常数,就有 ECC2 设 X 是随机变量, C 是常数,就有ECX CE X 3 设 X,Y 是两个随机变量,就有E XY E X EY ；4 设 X, Y 是相互独立的随机变量,就有2 2 方差E XY E X E Y2定义设 X 是一个随机变量, 如 E XE X 存在,就称 E XE X 2 为 X 的方差,记为 D（ x）即 D（ x） = E XE X ,在应用上仍引入量Dx,记为 x,称为标准差或均方差；D X E XE X 2E X 2 EX 2方差的几个重要性质1 设 C是常数,就有DC0,2 设
19、X 是随机变量, C 是常数,就有DCX C 2 D X ,D XC DX3 设 X,Y 是两个随机变量,就有D XYDXDY2EX- EXY- EY 特别,如 X,Y 相互独立,就有D XY D X DY 4 D X 0 的充要条件是 X 以概率 1 取常数 EX ,即P XE X 1切比雪夫不等式 ：设随机变量X 具有数学期望E X 2,就对于任意正数,不等式P X -22成立 3 协方差及相关系数定义量E XE X YEY 称为随机变量X 与 Y 的协方差为Cov X , Y ,即Cov X , YE XE X YEY E XY E X EY而XYCov X , Y ）称为随机变量 X
20、和 Y 的相关系数DXDY对于任意两个随机变量X 和 Y,D XY_D X D Y2Cov X , Y协方差具有下述性质1 Cov X ,Y CovY , X ,Cov aX , bYabCov X ,Y 2 Cov X1X 2,YCov X 1,YCov X 2 ,Y定理1XY12XY1的充要条件是,存在常数a,b 使P Yabx1当XY0 时,称 X 和 Y 不相关附：几种常用的概率分布表分布参数两分布律或概率密度数学方差期望点0p1分布P Xkpk 1p1k , k0,1 ,pp1p二项n1 0p1式分布泊PXkC k p k 1nk ep nk , k0,1,n ,npnp1p松0P
21、Xk分, k0,1,2,k.布几何0p1分布均P Xk1p k1 p, k1,2,11ppp 2匀分abf x1, abaxb ,ab 2ba 212布指数0f x01 e x,其他, x02分0, 其他布正态分0f x布x21e2 222第五章 大数定律与中心极限定理 1 大数定律弱大数定理（辛欣大数定理）设 X1, X2是相互独立,听从统一分布的随机变量序列,并具有数学期望E X k k1,2, . 作前 n 个变量的算术平均1 nX kn k 1,就对于任意0 ,有lim Pn1 nX k1n k 1定义设 Y1 ,Y2,Yn是一个随机变量序列,a 是一个常数,如对于任意正数,有limP
22、 Ya1,就称序列Y ,Y ,Y依概率收敛于a,记为 Ypann12nn伯努利大数定理设f A 是 n 次独立重复试验中大事A 发生的次数, p 是大事 A 在每次试验中发生的概率, 就对于任意正数0,有 lim P f npnn1或lim P f np0nn 2 中心极限定理定理一（ 独立同分布的中心极限定理）设随机变量X 1 ,X 2 , X n 相互独立,听从同一分布,且具有数学期望和方差E X i , D X k 2（ k=1,2 ,）,就随机变量之和nX k 标准化变量i 1, YnnnX kEk 1k 1nX k nX kni 1,nDXk k 1定理二（ 李雅普诺夫定理 ）设随机变量X 1 , X 2 , X n相互独立,它们具有数学期望和方差E X k k , D X k 20, k1,2n22记 Bnkk 1k定理三（ 棣莫弗 - 拉普拉斯定理 ）设随机变量n n1,2,听从参数为n, p0p1 ）的二项分布,就对任意x ,有lim Pnnnpx np1px1e t 222 dtx